2019版理数练习：第八章第七节双曲线

1、课时作业A组一一基础对点练1.已知F为双曲线C: x2 my2= 3m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近 线的距离为()A. .3B. 3C. 3mD. 3m2 2解析：双曲线方程为為一卷=1,焦点F到一条渐近线的距离为.3.选A.答案：A2 2则 a=()2.已知双曲线予一 = 1(a0)的离心率为2,解析:2 2因为双曲线的方程为 拿一当=1,所以e2=31 +孑=4,因此a2= 1,1.选D.答案:3.双曲线x2 4y2= 1的渐近线方程为(A. xy= 0D. y4x= 0C. xy= 02yi42解析：依题意，题中的双曲线即晋x2二1,因此其渐近线方程是4=0,选 A.答案：A

2、24.已知双曲线3 y2= 1的左、右焦点分别为F1, F2,点P在双曲线上，且满足|PF1|+ |PF2匸2 5，则 PF1F2 的面积为()A. 1B. 31C. 5D.22解析：在双曲线X3 卜1中，a= 3, b= 1, c= 2.不防设P点在双曲线的右支上，则有 |PFi |PF2匸2a = 2 3,又 |PFi|+|PF2|= 2,5,二 |PFi|= 5+ 3, |PF2| =5 3.又 |FiF2|= 2c= 4,而 |PFif+ |PF2|2= |FiF2f, PFi X PF2,- SA PF1F211二2X |PF1|X IPF2匸2X( .5+ ,3)X ( 5. 3)

3、= 1.故选 A.答案：A225已知双曲线C:予一鸽1(a0, b0)，直线I: y= 2x 2.若直线I平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线 C的焦点到渐近线的距离为()A. 1B. 2C. .5D . 422解析：根据题意，双曲线C的方程为拿一養二1(a0, b0)，其焦点在x轴上，渐a b近线方程为y=fx，又由直线I平行于双曲线c的一条渐近线，可知2,直 线I: y= 2x 2与x轴的交点坐标为(1,0),即双曲线C的一个顶点坐标为(1,0), 即a= 1,则b = 2a = 2,故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2,故选B.答案：B6.已知双曲线的焦点到渐近线的距离等

4、于半实轴长，贝U该双曲线的离心率为A.5+ 12B. 2C. .2D. 2 22 2解析：不妨设双曲线的方程为字一希=1(a0, b0)，因为焦点F(c,0)到渐近线bxbcbcbay= 0的距离为a,所以r 22 = a,即一=a,所以-=1,所以该双曲线的离yja + bca心率 e= ：=1+ ；2=,2,故选 C.答案：C7已知双曲线C:2 2 5拿一器=1的离心率e=4且其右焦点为F2（5,0）,则双曲线C的方程为（）2 2Ax _ y = 1A. 4 3 122- J1C.169 122B 丄 一 y=1B.916_12 2x y D = 13 4b2 5、22221 +孑=4,又

5、右焦点为F2（5,0）, a + b = c，所以a = 16,22b2= 9,故双曲线C的方程为16-卷二1.解析：由题意得e=答案：C228.已知双曲线-2 *= 1（a0, b0）的焦距为2 5,且双曲线的一条渐近线与直线2x+ y= 0垂直，则双曲线的方程为（2x 2A才y =1c3x! 3yC.20解析:答案:2V12 2r 3x2 宜5201B. x2b 1x2由题意得c= 5,咅=2则a=2, b= 1,所以双曲线的方程为4 y2= 1.b 1a=22 29. （2018 山西八校联考）已知双曲线C：詁一存=1（a0, b0）的左、右焦点分别为F1, F2，焦距为2c,直线y =

6、 （x+ c）与双曲线的一个交点P满足/ PF2F1 = 2/ PF1F2，则双曲线的离心率e为（）A. ,2B. 3C. 2 3+ 1D. 3+ 1解析：直线y=（x+ c）过左焦点F1,且其倾斜角为30 /PF1F2= 301/ PF2F1 = 60 / F2PFi = 90即卩 FiP丄F2P；. |PF2匸2尸祈2匸c, |PFi|= |FiF2|sin60= 3c,由双曲线的定义得2a= |PF1|PF2= , 3c c,.双曲线 C 的离心率e= a= -3： c= 3+ X 选 D.2答案：D10.已知F1, F2是双曲线C：2 2x yg1(a0, b0)的两个焦点，P是双曲线

7、C上一点，若|PFi|+ |PF2|= 6&,且厶PFiF2最小内角的大小为30,则双曲线C的 渐近线方程是()A. 2x= 0B. x 2y= 0C. 2x/= 0D. x2y= 0解析：不妨设|PFi|PF2|,则*|PFi|PF2匸 2a,JPFi |+ |PF2匸 6a, PFiF2为直角三角形,所以 |PF1|= 4a, |PF2|= 2a,且|F1F2= 2c, 即|PF2|为最小边，即/ PF1F2= 30,则 所以 2c= 2 . 3a, 所以b=Q2a,即渐近线方程为y = 2x,故选A.答案：A2x11.已知双曲线C:弋a2治=1(a0, b0)的焦距为10,点P(2,1)

8、在C的一条渐近线上，贝U C的方程为()2 2x y_A.20512 2Cy- = 1C.80 20- 12工=1-52012 2x y /D 一 -J= 1D.20 80 12B.xa2 + b2= 25解析：依题意 b1 = aX 2r，解得a2 = 204 5，2 2.双曲线C的方程为斜弋=1.答案：A12.已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为y，则该双曲线的标准方程为解析：法一：因为双曲线过点(4, .3)且渐近线方程为y=x，故点(4, .3)在直t 1x 2 2 214.已知双曲线C：拿一*= 1(a0, b0)与椭圆+y = 1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y= x

9、，则双曲线C的方程为解析：易得椭圆的焦点为(一.5, 0), ( 5, 0), a2 + b2 y2线y = 2x的下方设该双曲线的标准方程为孑b2 = 1(a0, b0)，所以aa 2=1,，解得,a=2,故双曲线方程为壬1.x 1,42 X o法二：因为双曲线的渐近线方程为y=,故可设双曲线为；4 y2二双曲线过点(4,3),所以4一( . 3)2=入所以 后1,故双曲线方程为2答案：Xp y2二 12 213.双曲线r 2含=1(a0, b0)的焦距为10,焦点到渐近线的距离为3,则r的实轴长等于解析:双曲线的焦点(0,5)到渐近线y=ax,即ax by= 0的距离为寸 譽訂罟=b= 3

10、,答案:所以 a=4,2a= 8.双曲线2C的方程为x2 4 = 1.答案：x22 215. (2018合肥市质检)双曲线M :字讣=1(a0, b0)的左、右焦点分别为F1,1F2,直线X= a与双曲线M的渐近线交于点P,若sin/ PFiF2=g,则该双曲线的 离心率为.解析：不妨设P为直线x= a与双曲线M的渐近线在第一象限内的交点，则P点 坐标为（a，b），因为 sin/PFiF2 = g,所以 |PFi匸3b,所以（a+ c）25 k+ 9，得两双曲线的焦距相等.答案：D 3. （2018云南五市联考）设P为双曲线x2焉=1右支上一点，M , N分别是圆（x + 4）2 + y2=

11、4和（x 4）2 + y2= 1上的点，设|PM|PN|的最大值和最小值分别为 m, n,则 |m n|=（ ）+ b2= 9b2，即 9孑 + 2ac 7c2= 0,7e2 2e 9= 0，又 e1，解得 e= 9.9答案：7B组一一能力提升练2 21. 已知Fi，F2是双曲线C:字一1（a0，b0）的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足2|PF1+ PF2| |F7F2|，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. （1，2B. （1,2C. 2，+）D . 2，+x）解析：t 2|PF1 + PF2| |F1F2? 4|5P|w 2c? |5P|w 号，又丽a,： a 2a， c: e= c2.

12、故选 D.a答案：D22222. 若实数k满足0k9,则曲线25 9k= 1与曲线25k = 1的（）A .离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D .焦距相等解析：由0k0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A, B, C, D四点，四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为(A.2 x_43y24BxL 4y!B.43C.x_4AQL+ y2 = 4 得 xa=寸4 + 2， yA= 42，故四边形 ABCD 的面积为 4xAyA=432b22 22b,解得b2= 12,故所求的双曲线方程为 号-2= 1,选D.答案：D2 26已知双曲线a2-*

13、= l(a0, b0)的左、右焦点分别为Fi、F2,以|FiF2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，贝吐匕双曲线的方程为(2222xy,xy,A. 169134|2222_ x yx yC- 16= 1D.4 - (3 = 1解析：因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以c= 5,； a4 2 2 =扌，又c2= a2+ b2,所以a= 3, b = 4,所以此双曲线的方程为 令-毛=1.答案：C2 27. 过双曲线02-治=1(a0, b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A,与另一条渐近线交于点 B,若FB = 2FA,贝吐匕双曲线的离心

14、率为()A. ,2B. 3C. 2D. 5解析：不妨设 B(x,- x), |0B|=、x2+( xf= c,可取 B(-a, b),由题意可知点A为BF的中点，所以A(C-a, 2),又点a在直线y=|x上，则一-a=|, c= 2a, e= 2.答案：C8. 若直线11和直线12相交于一点，将直线11绕该点逆时针旋转到与12第一次重k?k1合时所转的角为9,则角B就称为11到12的角，tan 0= 1 + ，其中k1, k2分别2 2是11, 12的斜率，已知双曲线E：拿一岸=1(a0, b0)的右焦点为F, A是右顶2点，P是直线x=色上的一点，e是双曲线的离心率，直线 PA到PF的角为

15、9, c则tan 9的最大值为（）B. l1 eC.2 ,1 + e解析：设PA, PF的斜率分别为k3, k4,由题意可知ta nk4 k31 + k3k4,不妨设2P(P2y.y人ay)(y0)，贝U k3= a2，k4 = a2令 m= T a,aaca ccc2an= c,贝U tan Acyjyn m1+ yx y =n mmn一-，由m n = c a0,得当 凹+ y取得最小值时tan 9取最大值，又y0, 罗+ yym0, n2 mn,当且仅当y= mn时等号成立,m n此时tan A -2pmnc a2a=，故选 C.答案：C2 29. （2018淄博模拟）过双曲线拿一b2=

16、 1（a0, b0）的左焦点F1，作圆x2 + y2= a2的切线交双曲线的右支于点 P,切点为T, PF1的中点M在第一象限，则以下结 论正确的是（）A . b a= |MO| |MT|B. b a|MO| |MT|C. b a0, b0)的一个焦点，以点F为圆心的圆与C的渐近线相切，且与C交于A, B两点，若AF丄x轴，则C的离心率为.解析：不妨设F为双曲线的右焦点，则F(c,0),易知双曲线的渐近线方程为y= b ax,则双曲线的焦点F到渐近线的距离d =bc二b,所以圆F的半径为b.在因为点A在圆F上，所以双曲线方程中，令x=c,得y=a，所以A(c,号)b, 即卩 a= b, 所以

17、c= , a2+ b2=2a, 所以 e=c = 2.a1a答案：22 211. 双曲线Oa-器=1(a0, b0)上一点M(-3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点 F2,则该双曲线的标准方程为 .22b解析：不妨设双曲线 a2- 1 的右焦点F2(c,0)关于渐近线y=bx对称的点在双 曲线上,则过焦点F2且垂直于该渐近线的直线方程为y 0= a(x c),即y= (x c).(bI 尸 ax，联立可得方程组彳2ac，abc，y=- b(x- c),x=解得彳y=22a2ab由中点坐标公式可得F2关于渐近线对称的点的坐标为(2a c, 2匹),cc2 2 2 2 2将其代入双曲线的方程可

18、得 2a f 鹫二1,化简可得c2= 5a2, c2 = a2+ b2= a c c225a2,所以b2= 4a2.因为M( 3, 4)在双曲线拿語11,所以 a2 = 5,b2= 20,则该双曲线的标准方程为9 169 16上，所以a2 b2二=孑荷X2 y2=15202答案：X25 2o= 1212.设双曲线x23 = 1的左，右焦点分别为Fi, F2.若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则IPF11+ |PF21的取值范围是.解析：由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2丄X轴时,|PF1|+ |PF2|有最大值8;当/ P为直角时，|PF1|+ |PF2|有最小值2 7因为 F1PF2为锐角三角形，所以IPF11+ |PF21的取值范围为(2 7, 8).答案：(2 7, 8)213.(2018沈阳质量监测)已知p是双曲线Xy2= 1上任意一点，过