第四讲导数题的解题技巧

1、第四讲导数题的解题技巧金堂中学刘际成选编【命题趋向】 导数命题趋势：综观20XX年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：（1 ）多项式求导（结合不等式求参数取值范围），和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题（2 ）求极值，函数单调性，应用题，与三角函数或向量结合.分值在12-17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题【考点透视】1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一 点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2 熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则，会求 某

2、些简单函数的导数.（导3 理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的1 3例1.（20XX年北京卷）f（X）是f（x）丄x3 2x 1的导函数，贝U f （ 1）的值是 3考查目的本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力2 2解答过程Q f （x）x2 2, f （ 1）123.故填3.例2.设函数f（x） l_a,集合M=x|f（x） 0,P=x| f

3、9;（x） 0，若 MP则实数a的取值范围是（ x 1A. （- g ,1）B.（0,1）C.（1,+ g） D. 1,+ g）考查目的本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力解答过程由30,当a>1时,1 x a;当a<1时,a x 1.x 10.a 1.综上可得M P时，a 1.考点2 曲线的切线(1) 关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P (x,y)的切线，即求出函数 y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率(2) 关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线 典型例题1 3 1 2例3已知函数f(x) x3 -ax2

4、 bx在区间1,1)，(1,3内各有一个极值点.32(I) 求a2 4b的最大值；(II) 当a2 4b 8时，设函数y f(x)在点A(1, f(1)处的切线为I，若I在点A处穿过函数y f (x)的图象(即动点在点 A附近沿曲线y f (x)运动，经过点A时，从I的一侧进入另一侧)，求函数f(x) 的表达式.思路启迪：用求导来求得切线斜率1 312解答过程：(I)因为函数 f(x) x3ax2 bx在区间1,1) , (1,3内分别有一个极值点，所以32f (x) x2 ax b0在1,1) , (1,3内分别有一个实根，设两实根为人，X2 ( xx2),则 x2 x-i a2 4b ,且

5、 0 x2x! < 4 .于亍是0、a24b < 4,0a2 4b < 16 ,且当 x11 , x2 3 ,即 a2, b3时等号成立.故a2 4b的最大值疋16.(II)解法一一：由 f (1)1 a b知f (x)在点(1 , f (1)处的切线I的方程是2 1 y f (1) f (1)(x 1)，即 y (1 a b)xa,3 2因为切线I在点A(1, f (x)处空过y f (x)的图象，2 1 所以g(x) f (x)(1 a b)xa在x 1两边附近的函数值异号，则3 2x 1不是g(x)的极值点.而 g(x)x31 2ax bx(1a b)x21口a ,且3

6、232g (x) x2 axb (1 ab)2x axa1 (x 1)(x 1 a)若11 a，则x 1和x 1 a都是g(x)的极值点.所以 11 a，即 a 2，又由 a2 4b 8，得 b 1，故 f (x)1 x3 x2 x .32 1解法二：同解法一得 g(x) f (x) (1 a b)xa3212 3a3-(x 1)x 2 5(1 )x (2-a).322因为切线I在点A(1, f(1)处穿过y f (x)的图象，所以g(x)在x 1两边附近的函数值异号，于是存在 mi， m2 ( mi 1 m2).或当m1设 h(x)或当m11 时，g(x) 0，当 1 x1 时，g(x)m2

7、时，g(x) 0 ；x m)2时，g(x)x21 3a2，则1 时，h(x)m2 时，h(x) 0x 1 时，h(x) 0，当 1x m2 时，h(x)由 h(1)所以a2，又由a2 4b8，得b1，故 f(x)例4.若曲线x4的一条切线l与直线xB.D .4y 80垂直,x 4yx 4y13-x3则I的方程为( )A. 4xC. 4x考查目的本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力 解答过程与直线x 4y 8 0垂直的直线l为4x y m 0，即yy x4在(1， 1)处导数为4，此点的切线为4x y 3 0.x4在某一点的导数为 4，而y 4x3，所0知x 1是h(x)的一个极

8、值点，贝y h(1)2故选A.例5.过坐标原点且与x2+y2 y 1-,圆心为 -4x+2y+ 5 =0相切的直线的方程为21111A. y=-3x 或 y= x B. y=-3x 或 y=_x C.y=-3x 或 y=_ x D. y=3x 或 y= x3333考查目的本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力解答过程解法1 ：设切线的方程为y kx, kx y 0.2,2k 1故选.53k2 8k 3 0. k2 121 x,或 y 3x.3A.*,k3.解法2:由解法1知切点坐标为3) 3 J 由2), 2,2 ,C2有且只有一条公切线，求出此时公(x、22/52)y

9、1x2 x2(x2)2 y1/yx0,/x 2yxy 1.k1/yx13(2, 2)3, k2/yx3 1(2,2)3x1y,y -x.3故选A.例6已知两抛物线C1:yx2132x,C2 : y x2 a, a取何值时 G ,切线的方程思路启迪：先对C1 : y x2 2x,C2： y x2 a求导数解答过程：函数y x2 2x的导数为y' 2x 2，曲线Ci在点P(xi,xi2 2x1 )处的切线方程为 y (x122x1)2(x12)(x x1)，即卩y2(x11)xx12曲线C1在点Q(x2, x22 a)的切线方程是y ( x2 a)2x2 (x x2)即2y2x2x x2a

10、若直线l是过点P点和Q点的公切线，则式和式都是I的方程，故得x1 1 x2,x12x221，消去 X2 得方程，2x)22x)1 a 0若厶=4 42(1a)0,即a 1时，解得x1丄，此时点P、Q重合2 2二当时a 1，C1和C2有且只有一条公切线，由式得公切线方程为y x 1 2 4考点3导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析， 为我们解决求函数的极值、 最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰 富了中学数学思想方法复习

11、时，应高度重视以下问题 ：1.求函数的解析式；2.求函数的值域；3解决单调性问题；4.求函数的极值(最值)；5构造函数证明不等式典型例题例7函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数 f (x)在开区间 (a,b)内有极小值点()A. 1个的应B. 2个C. 3个D. 4个考查目的本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识 用能力解答过程由图象可见，在区间(a,0)内的图象上有一个极小值点. 故选A.例8 设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值.(I)求a、b的值；(U)若对于任意的x 0 ,，都有f(x)

12、 c2成立，求c的取值范围.思路启迪：利用函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值构造方程组求 a、b的值.2解答过程：(I) f (x) 6x 6ax 3b ,因为函数f (x)在x 1及x 2取得极值，则有f (1)0 , f (2)0 .口 6 6a 3b 0,即24 12a 3b 0.解得a 3, b 4 .32")由(I)可知， f (x) 2x 9x 12x 8c,f (x) 6x2 18x 126(x 1)(x 2).当 x (0,时，f (x)0 ；当 x (1,2)时，f (x)0 ;当 x (2,3)时，f (x)0 .所以，当 x

13、1 时，f(x)取得极大值 f (1)5 8c，又 f(0) 8c, f(3)9 8c .则当x 0,3时，f (x)的最大值为f(3) 9 8c .因为对于任意的x0,3，有f(x) c2恒成立，所以9 8c c2,解得 c 1或c 9 ,因此c的取值范围为(,1)U (9,).例9.函数y V2 x 4 <x 3的值域是.思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。1y'、.2x 412x32.x 3 2x 42.、2x 4x3又2 x 3 2x

14、42x 82 x 3.2x 4解答过程：由2x 4 0得，x2，即函数的定义域为2,).x 30当 x 2 时，y' 0，函数y2x4x3在(2,)上是增函数，而f ( 2)1 ,y2x 4. x 3 的值域是1,).例10已知函数f x4x3 3x2!3其中xcoscosR,为参数，且02 .16(1)当时cos0,判断函数f x是否有极值；(2) 要使函数f(x)的极小值大于零，求参数的取值范围；(3) 若对(2)中所求的取值范围内的任意参数，函数f x在区间2a 1,a内都是增函数，求实数a的取值范围.考查目的本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础

15、知识，考查 综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法解答过程(I)当cos 0时，f(x) 4x3，贝y f(x)在(，)内是增函数，故无极值(D) f '(x) 12x2 6xcos ，令 f'(x) 0，得 x, 0,%2由(I),只需分下面两种情况讨论.因此，函数f (x)在x2江 处取得极小值f(込)，且f (匹)_ 2 21 3cos4316要使f (空2必有cos (cos23)0，可得 0 cos4由于0 cos或2 211xcos(，-T)cos2cos(丁 ,。)0(0,)f '(x)+0-0+f(x)Z极大值极小值Z当时cosf '

16、;(x)的符号及f(X)的变化情况如下表:620,随x的变化,当 cos 0时，随x的变化f '(x)的符号及f (x)的变化情况如下表:x(,0)0(0鳥)cos2(Cos(2 ,)f '(x)+0-0+f(x)/极大值极小值/若f (0)0，则cos 0 矛盾.所以当cos综上，要使函数f(x)在(因此，函数f(x)在x 0处取得极小值f(0)，且f (0)±cos160时，f(x)的极小值不会大于零)内的极小值大于零，参数的取值范围为(_ _)(乞竺(III )解：由(II )知，函数f (x)在区间(由题设，函数f(x)在(2a2a 1 aa 01,a)内是增

17、函数，则1,)与(答，a须满足不等式组)内都是增函数。2a2aa1 cos2(_)(丄)时,(6,2) ( 2 , 6 )有2a 1 -3，即4由(II),参数时cos-2 要使不等式2a2lcos关于参数恒成立，必2a8综上，解得a 0或4a 1 8(6,?) (t,_t)所以a的取值范围是(,0) 4).求f(x)的单调区间例 11.设函数 f(x)=ax (a+1)ln(x+1)，其中 a -1,考查目的本题考查了函数的导数求法，函数的极值的判定，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力解答过程由已知得函数f(x)的定义域为(1,)，且f'(x)1),x 1，(1 )当

18、1 a 0时，f '(x) 0,函数f (x)在(1,)上单调递减，(2)当a 0时，由f (x)0,解得X !af'(x)、f(x)随x的变化情况如下表x(1丄) a1 a1(,) af'(x)一0+f(x)极小值Z从上表可知(1丄)时，af'(x)0,函数f (x)在(1,丄)上单调递减)时,1(,a综上所述：当 1a 0时，函数f'(x) 0,函数f(x)在(1)上单调递增a，a 0时，函数f (x)在(1,)上单调递减.f(x)在(1!)上单调递减，函数f(x)在(!,)上单调递增，aa，例12.已知函数f (x)ax3 bx2 cx在点x0处取

19、得极大值5，其导函的图象经过点(1,0) , (2,0)，如图所示求:()x0的值;数 y f '(x)' a(D) a, b, c 的值.考查目的本小题考查了函数的导数，函数的极值的判定，闭区间上二次函数的最值,函数与方程的转化等基础知识的综合应用，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力解答过程解法一：(I)由图像可知，在,1上f'x 0，在1,2上f ' x 0，在2, 上f'x 0,故f(x)在(-,1),( 2 , + )上递增，在(1,2)上递减，因此f x在x 1处取得极大值，所以x01(u) f'(x) 3ax2 2bx

20、 c,由 f(1) =0, (2)= 0,( 1)= 5,3a 2b c 0,得12a 4b c 0,a b c 5,解得 a 2,b9,c 12.解法二：(I)同解法一(n)设 f (x) m(x 1)(x 2) mx2 3mx 2m,又 f (x) 3ax2 2bx c,所以 m3所以 a -,bm,c 2m3 2f (x) mx3-mx21 2mx,3 2由 f(1) 5,即 m -m 2m 5,得 m 6,3 2所以 a 2,b9,c 12例13.设x 3是函数f x x2 ax b e3 x x R的一个极值点.(I) 求a与b的关系式(用a表示b )，并求fx的单调区间；(H)设a

21、 0 , g x a2空£若存在1, 2 0,4使得f , g 21成立，求a的取值范围.4考查目的本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力解答过程(I) f、(X) = x2+ (a- 2)x+ b- a e3_x,由 f '(3)=0，得 -32+ (a-2)3 + b-a e3-3 = 0,即得 b=- 3- 2a, 则 f '(x) = x2 + (a 2)x- 3 2a- a e3-x=-x2 + (a 2)x- 3-3a e3-x=- (x-3)(x+ a+ 1)e3-x.令f'(x) = 0，得X1= 3或

22、x2=- a- 1,由于x= 3是极值点，所以x+a+ 1工0,那么a 4.当 a< - 4 时，X2>3 = X1,贝U在区间(一a,3) 上, f '(x) <0, f (x)为减函数；在区间(3, a 1) 上, f '(x)>0 , f (x)为增函数；在区间(一a 1,+a)上，f '(x)<0 , f (x)为减函数.当 a> 4 时，X2<3 = xi,贝U在区间( g, a 1) 上, f'(x)<0, f (x)为减函数；在区间(一a 1, 3) 上, f '(x)>0 , f (x

23、)为增函数；在区间(3,+)上，f '(x)<0, f (x)为减函数.()由(I)知，当 a>0时，f (x)在区间(0, 3) 上的单调递增，在区间(3, 4)上单调递减，那么f (x)在区间0, 4上的值域是min(f (0) , f )，f (3),而 f (0) = ( 2a+ 3) e3<0 , f =(2a + 13) e1>0 , f =a + 6,那么f (x)在区间0, 4上的值域是(2a + 3) e3, a+ 6.又g(x) (a2 25®在区间0，4上是增函数，且它在区间0, 4上的值域是a2+ 25 , ( a2 + 25

24、) e4,4 4由于(a2 + 25 ) ( a+ 6)= a2 a+ 1 =( a 1) 2 >0,所以只须仅须4 2(a2+25 ) ( a+ 6)4<1 且 a>0,解得 0<a<_3.2故a的取值范围是(0,例14已知函数f (x)13,2-ax bx3(2b)x 1在x X1处取得极大值，在 x X2处取得极小值，且0x11 x22.(1) 证明a 0 ；(2) 若z=a+2b,求z的取值范围。解答过程求函数f(x)的导数f (x)2ax 2bx(I)由函数f (x)在x X1处取得极大值，在X2处取得极小值，知 x, X2是f (x)0的两个根.所以f

25、(X)a(x x-i )(x x2)x X!时,f (x)为增函数，f (x)0，由X1X2(n)在题设下,X1 1 X2 2等价于f (0)f (1)f2b 24a4b 22化简得 a3b4a5b 2所围成的 ABC的内部，其三个顶点分别为:A 4，, B(2,)7 7C(4,2).z在这三点的值依次为16，所以z的取值范围为小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性规划有机结合.考点4导数的实际应用建立函数模型，利用典型例题例15.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2： 1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？考查目的本小题主

26、要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的 能力解答过程设长方体的宽为x ( m),则长为2x(m)，高为18 12x3h4.5 3x(m)CK x v4 2故长方体的体积为22333V(x) 2x (4.5 3x) 9x 6x (m )(0< xv-).从而 V(x) 18x 18x当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (II) 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？(4.5 3x) 18x(1 x).令V'( x)= 0，解得x=0 (舍去)或x=1，因此x=1.当 0< x<

27、 1 时，V'( x)> 0 ;当 1< x< 2 时，V'( x)< 0,3故在x=1处V (x)取得极大值，并且这个极大值就是V (x)的最大值。从而最大体积 V= V'( x)= 9X 12-6 x 1考查目的本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的 能力. ( m3),此时长方体的长为 2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为 2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为 3 m3。 例16统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度 x (千米/小时

28、)的函数解析式可以表示为：13x128000詁8(0x 120).已知甲、乙两地相距100千米.解答过程(I)当x 40时，汽车从甲地到乙地行驶了100 25小时，40要耗没(_1403 40 8) 2.5 17.5 (升)128000 80答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。(II)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100小时，设耗油量x1331001280015h(x) (xx8).x(0 x120),12800080x 1280x4x80033x 80h'(x)2-(0 x 120).640x640x2令 h'(x)0,得

29、x80.当 x (0,80)时，h'(x)0, h(x)是减函数；当x (80,120)时，h'(x)0, h(x)是增函数当x 80时，h(x)取到极小值h(80) 11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.【专题训练与高考预测 4】、选择题1. y=esinxcos(sinx),贝U y'(0)等于()A.0B.1C. 1D.22. 经过原点且与曲线 y= U 相切的方程是x 5A. x+y=0 或 A+y=025B. x y=0 或+y=025C. x

30、+y=0 或y=025D. x y=0 或y=0253. 设 f(x)可导，且 f'(0)=0,又 |im_La)= 1,则 f(0)()x 0 xA. 可能不是f(x)的极值B. 一定是f(x)的极值C. 一定是f(x)的极小值D.等于04. 设函数fn(x)= n2x2(1 x)n(n为正整数)，贝U fn(x)在0,1上的最大值为()A.0B.1 C.(1 旦)nD.4(丄)n12 nn 2A、有极大值B、无极值C、有极小值D、无法确定极值情况6.f(x)=ax 3+3x2+2 , f' (-1)=4，贝U a=()A、10B、13C、16D、1933337.过抛物线y=

31、x2上的点m (2,2)2 4的切线的倾斜角是()A、30°B、450C、 600D、 9008. 函数f(x)=x 3-6bx+3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()A、(0，1) B、( -a, 1) C、(0, +R) D、( 0, 1)29. 函数y=x3-3x+3在?,?上的最小值是()2 2A、89 B、1C、33D、58810. 若 f(x)=x 3+ax2+bx+c，且 f(0)=0 为函数的极值，则()A、cm0B、当a>0时，f(0)为极大值C、b=0D、当a<0时，f(0)为极小值11. 已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2

32、处有极值，则该函数的一个递增区间是()A、(2, 3)B、(3, +a)C、(2, + a)D、(-a, 3)12. 方程6x5-15x4+10x3+仁0的实数解的集合中()A、至少有2个元素B、至少有3个元素C、至多有1个元素D、恰好有5个元素二、填空题13. 若 f'(X0)=2, lim f(x° k) f(x。) =.k 02k14. 设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+ n),则 f'(0)=.15. 函数 f(x)=loga(3x2+5x 2)(a>0 且 a工1)的单调区间 .16. 在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时它的面

33、积最大.三、解答题17. 已知曲线C: y=x3 3x2+2x,直线l:y=kx,且I与C切于点(X0,y0)(x0丸)，求直线I的方程及切点坐标18. 求函数 f(x)=p 2x2(1-x)P(p N+)，在0, 1内的最大值.19. 证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数20. 求函数的导数(1)y=(x2 2x+3)e2x；y=3 x .I11 x21. 有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.22. 求和 Sn=12+22x+32x2+ n2xn 1,(

34、x0,n N*).23. 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定 a的取值范围，并求其单调区间24. 设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+b/+x的两个极值点.(1) 试确定常数a和b的值；(2) 试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由25. 已知a、b为实数，且b> a>e,其中e为自然对数的底，求证：ab> ba.26. 设关于x的方程2x2- ax 2=0的两根为a、 aV卩),函数f(x)= 4x a .x21(1) 求f( %) (卩)的值；(2) 证明f(x)是a,旳上的增函数；(3) 当a为何值时，f(x)在区间a,旳上的

35、最大值与最小值之差最小？【参考答案】、1.解析：y'=esinx cosxcos(sinx) cosxsin(sinx) ,y'(0)=e°(1 0)=1.答案：B2. 解析：设切点为(xo,yo),则切线的斜率为k=西,另一方面，y'J9)*_，故Xox 5 (x 5)2y'(xo)=k,即卩4y°_x0_9 或x02+18x0+45=O得 x0(1)= 3,y0二一15,对应有 y0=3,y0(2)=_9 3 ,因筑5)2X。x°(x° 5)1555此得两个切点 A( 3, 3)或B( 15, 3),从而得y'

36、(A)=4= 1及y'(B)= 41，由于切线过5 ( 3 5)3( 15 5)225原点，故得切线：lA：y= x或lB：y=.25答案：A3. 解析：由|im_L0 = 1,故存在含有0的区间(a,b)使当x (a,b),x丸 时_L(0) V 0,于是当x (a,0)时f (0) > 0,x 0 xx当x (0,b)时，f'(0) V 0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减.答案：B2(1 x) nx,令 f n(x)=0,得 X1=O,X2=1,X3=2Fn易知fn(x)在=2时取得最大值，最大值fn( 2)=n2( 2 )2(1 2)n=4( 2

37、 )2 n2 n2 n2 n2 n答案:D5、B， 6、A7、B8、D9、B 10、C 11、B12、C、13.解析:根据导数的定义：f'(X0)=limf【(x。(k)心0)(这时xk)4解析：f'n(x)=2x n2(1 x)n n3x2(1 x)n-1=n 2x(1 x)n-1k okkimo1 f (xo k)2 kf(xo)limf(xo k) f(xo)k 02k2k 0k答案：114.解析：设 g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),则 f(x)=xg(x),于是 f'(x)=g(x)+xg '(x).f'(0)=g(0)+0 '

38、(0)=g(0)=1 2 - n=n!答案：n!15.解析：函数的定义域是若a> 1则当x> 1时,3x> 1 或 xv 2,f '(x)=logae.(3x2+5x 2) '= (6x 5)如乞33x2 5x 2(3x 1)(x 2)logae> 0,6x+5 >0,(3x 1)(x+2) > 0,.f'(x)> 0,二函数 f(x)在(J ,+)上是增函数, 3v 2时，f (x) v 0.函数f(x)在(一8, 2)上是减函数.若0v av 1,则当x> 1时，f'(x) v 0,/.f(x)在(1 ,+a)

39、上是减函数，当xv 2时,3f '(x)> 0, Af(x)在( a, 2)上是增函数.答案：(一a， 2)16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为h=AO+BO=R+ R2 x2 ,解得x"=h(2R h),于是内接三角形的面积为S=xh= (2Rh h2) h(2Rh3 h4),1从而 S 1 (2Rh3 h4) 2(2Rh3 h4)2134223(2Rh h ) (x xo),(6Rh 4h )h2(3R 2h)(2R h)h3令S'=0,解得h= xo R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下:2h(o, ?R)23r2(2,2R)2S

40、'+oS增函数最大值减函数由此表可知，当x=3R时，等腰三角形面积最大2答案：3 R2三、17.解：由 I 过原点，知 k= 21(X0丸),点(xo,yo)在曲线 C 上，yo=xo3- 3xo2+2xo, Xo=xo2 3xo+2,y'=3x2 6x+2,k=3xo2 6xo+2Xo又 k=, J3xo2 6xo+2=xo2 3xo+2,2xo2 3xo=o, /-xo=o 或 xo=_3 .Xo2由XM0,知xo= 3,2yo=(|)33(|)2+l = 32 2 8.k= yo =Xo'J方程y=切点(2 ,42p 1p x(1 x)p 2|).18.f'

41、;(x)令 f' (x)=o 得，x=o ,在0,1上，f(0)=0 , f(1)=0 ,(2 P)x,X=1 , x= 22 P24(冷2J f(X)max 4£2P19设双曲线上任一点2 a2" xok y |x xoP (xo,yo),切线方程yy02a /令 y=o ,则 x=2x令x=o ,则yo2a2X o. 1- S 2|XHyl2a22o解：(1)注意到y> o,两端取对数，得Iny=ln(/ 2x+3)+ln e2x=ln(x2 2x+3)+2x,12(x 2x 3) yx2 2x 322x222(x2x2)yx2 2x 32x22x3.y2

42、2( x x 2) yx2 2x 32(x22 xx2x2) / 23 (x2x 3)2x e .22x2(x x 2) e .(2)两端取对数，得In |y|= 1 (l n|x| ln|1 x|),3两边解x求导，得21.解:又s'=3G rx)1 13 x(1 x)设经时间1 13 x(1 x),13x(1 x).t秒梯子上端下滑 s米，则s=5 25 9t2 ,当下端移开1.4 m时，to=d 73151 (25 9t2) 2 ( 9 2t)=9t2.25 9t2所以 s'(to)=9 X 71525 91=0.875(m .7 2(15)22.解：(1)当 x=1 时，Sn=1 2+22+32+