立体几何是研究三维空间中物体的形状

1、 立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间。所以，学习立体几何对我们更好地认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义。直观感知，操作确认，思辩论证，度量计算，是探索和认识空间图形及性质的主要方法。一、本章教育目标通过本章学习，学生从对空间几何体的整体观察入手，直观认识空间几何体的结构特征，理解空间点、线、面的位置关系，并会用数学语言表述空间有关平行、垂直的性质与判定，能运用这些结论对有关空间位置关系的简单命题进行论证。了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。进而培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、合情推理能力、运用

2、图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力。1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。2.能画出简单几何体的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料制作模型，会用斜二测法画出它们的直观图。3.通过观察用两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。4.完成实习作业，能画出一些简单实物的视图与直观图。5.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式（不要求记忆公式）。6.了解公理1、公理2、公理3、公理4及其推论1、推论2、推论3。了解定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。7.通过直观感知、

3、操作确认，归纳出以下判定定理：(1平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。(2一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。(3一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。(4一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。8.通过直观感知、操作确认、思辩论证，归纳并证明出以下性质定理：(1一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行。(2两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。(3垂直于同一个平面的两条直线平行。(4两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直。9.能运用已获得

4、的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 10.在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间点、线、面位置关系的过程中，努力渗透数学思想方法及辩证唯物主义观念。二、本章设计意图本章内容是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与提高，重点是帮助学生逐步形成空间想象能力。为了符合学生的认知发展规律，培养学生对几何学习的兴趣，增进学生对几何本质的理解，在内容的编选及内容的呈现方式上，与以往的处理有较大的变化。本章内容的设计遵循从整体到局部，从具体到抽象的原则，强调借助实物模型，通过整体观察，直观感知，操作确认，思辩论证，度量计算，引导学生多角度、多层次地揭示空间图形的本质。重视合情推理与逻辑推理的结合，注意

5、适度形式化。倡导学生积极主动，勇于探索的学习方式。帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力。本章分为“空间几何体”、“点、线、面之间的位置关系”、“柱、锥、台、球的表面积和体积”三大节。第一节“空间几何体”。教材借助模型，从整体观察入手，运用运动变化的观点，引导学生认识柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征。如将棱柱看成是由平面多边形通过平移生成的几何体，棱锥看成棱柱的一个底面缩为一个点时得到的几何体等等。这种与以往不同的设计，突出空间几何体的本质特征，注意适度的形式化，有利于学生主动探索的学习方式的形成，有利于学生空间想象能力的提高。教材通过投影的概念给出物体三视图的定义，巩固和提高了学生对义务

6、教育阶段有关三视图的学习和理解。同时也培养学生作图、识图、运用图形语言进行交流的能力。第二节“点、线、面之间的位置关系”。教材借助于长方体模型，并以长方体为主线，使学生在直观感知的基础上，认识空间点、线、面之间的位置关系。与以往不同的是，教材通过大量的观察、实验和思辩论证，使学生逐步理解直线与平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直关系的性质和判定方法（其判定定理的证明将在选修系列2中用向量方法加以论证）。重视展现知识发生和发展的过程。如从观察长方体的棱、对角线与面的各种位置关系中，抽象出直线与平面的三种位置关系。接着，教材又从两条平行的棱中选取一条，观察它通过平移形成平面的过

7、程，直观感受直线与平面平行的判定方法。通过对直线与平面平行定义的深入分析和探索，发现并论证了直线与平面平行的性质定理。这样既达到了学习目的要求，又降低了学生学习立体几何的难度。教材中给出了有关“角”与“距离”的概念，目的是增强学生对空间点、线、面关系的理解，而关于它的度量问题，本章要求不高，在选修系列2中还将作深入的研究。第三节“柱、锥、台、球的表面积和体积”。教材中的大多数公式，学生是不陌生的，教材没有象以往那样重在介绍公式的推导过程，而是侧重介绍了公式推导的思想方法，让学生体会祖目恒原理和积分思想。教材还通过“问题与建模”栏目介绍了两种体积计算的近似方法，增强学生应用数学的意识，既有利于提

8、高学生的建模能力，又为学生解决生产、生活中的实际问题提供知识基础和基本方法。为了适应不同层次学生的需要，本章在习题和复习参考题中，增加了一些“探究与拓展”的问题，包括阅读题、操作题及思维易于拓展的问题，供同学们开展课外学习与研究。本章突出直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等探索研究几何的过程。涉及的数学思想主要有：（1）数形结合思想；（2）符号化与形式化的思想；（3）化归思想等。涉及的一般科学方法主要有：观察、实验、归纳、类比、分析、综合、抽象等。三、本章教学建议1由于是从运动变化的观点来认识柱、锥、台、球的几何特点，因此教学时要通过大量的柱、锥、台、球实物模型进行演示，有条件的可以使用计

9、算机演示柱、锥、台、球的生成过程，以帮助学生空间观念的形成。2由于本章内容遵循从整体到局部的原则设计的，因而有些概念在教学时只需通过大量实例让学生感受、认识即可，不必给出它们的严格定义。如关于棱台中涉及的“两个平面平行”与正投影中涉及的“正对着（直线与平面垂直）”等。 3在研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系时，首先应强调的是位置关系的分类标准，然后引导学生给出正确分类。由于都是通过直观感知、操作确认，探索关于“垂直”、“平行”的判定定理，所以教学中要给出大量的空间图形，有条件的可用计算机演示，让学生通过观察、实验确认“垂直”、“平行”的判定方法。关于“垂直”、“平行”判定与性质定

10、理的应用，教学时应先让学生理解定理的条件，分析时着重引导学生创设定理的条件。并逐渐让学生感悟到：空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直或平行问题常常相互转化，将空间问题化归为平面问题是处理立体几何问题的重要思想。对空间中“角”与“距离”的度量问题，教学中不必拓展延伸，随意地提高教学要求。4关于“柱、锥、台、球的表面积和体积”的教学，对一些简单组合体的表面积与体积计算，重在通过分析，得出它是由哪些基本几何体组合而成。在介绍 “柱、锥、台、球的表面积和体积”方法时，着重让学生体会祖目恒原理和积分思想在表面积与体积计算中的应用。5本章教学中要注意联系平面图形的知识，利用类比、引申、联想等方法

11、，理解平面图形和立体图形的异同，以及两者的内在联系，逐步培养学生的空间想象能力。 四、本章教材分析 章头图、引言章头图中天坛始建于1426年，是我国现存的精美的古建筑群之一。通过观察可以发现，如此雄伟的建筑是由一些基本的空间图形组合而成。它和引言提供了本章的主背景，唤起了学生生活中的经验，让他们注意到现实世界中空间图形与我们的生活息息相关的联系，是本章的知识与方法的生长点。立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，学习立体几何对我们更好地认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义。引言又进一步从整体到局部提出统领本章的中心问题：（1）空间几何体是由哪些基本几何体

12、组成的？（2）如何描述和刻画这些基本几何体的形状和大小？（3）构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系？揭示了本章研究问题的基本思路，为学生的学习活动提供了研究的课题，指明了方向。3.1空间几何体1教学目标（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的几何特征，了解柱、锥、台、球的概念。（2）了解画立体图形三视图的原理，并能画出简单几何图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合的三视图。能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出立体图形的直观图。（3）通过本节的学习，进一步体会观察、比较、归纳、分析等科学方法的运用。2编写意图与教学建议（1）棱柱、棱锥和棱台教材给出一组几何体，让学生观

13、察棱柱的生成特点（核心是平移），然后用图形平移的方法引出棱柱的概念，这样有利于学生的空间观念的形成。 教学时应给出多种棱柱的实物模型（有条件的可以用计算机演示平移多边形生成棱柱的过程），让学生感知棱柱的结构特征。在“平移”的过程中，学生初步感受了空间两个平面互相平行，但教学中不必给出“两个平面互相平行”的严格定义。归纳棱柱的特点时，教学中既要引导学生观察棱柱模型，又要根据棱柱的生成过程进行探索。棱锥的概念，是通过与棱柱比较，并用图形放缩的方法引出，即将棱锥看作是棱柱的一个底面收缩为一点时得到的图形。再用棱锥的概念去定义棱台，这样有利于学生用运动变化的观点认识棱柱、棱锥、棱台的辩证关系。教学时应

14、给出多种棱锥、棱台的实物模型（有条件的可以使用计算机演示棱锥、棱台的生成过程），让学生感知棱锥与棱台的结构特征。对于棱台要注意引导学生认识棱台的重要特点侧棱延长后交于一点。通过对棱柱、棱锥、棱台的认识，教材又给出了多面体的概念。教学时可结合生活中的实物，让学生进一步了解、认识多面体。（2）圆柱、圆锥、圆台和球教材先让学生思考圆柱、圆锥、圆台、球的生成规律，然后给出它们的定义，意在让学生初步理解“旋转体”的概念。教学中结合实物模型（有条件的可用计算机演示圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程），引导学生思考圆柱、圆锥、圆台的结构特征。教学中也可以按照棱柱、棱锥、棱台的生成过程进一步认识圆柱、圆锥、圆台、

15、球面的结构特征。例如，圆柱可以看作圆面沿着圆面的铅垂方向平移形成的空间几何体；圆锥可以看作圆柱的一个底面缩为它的圆心时形成的空间几何体；圆台可以看作圆锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的空间几何体。对于球面可以类比圆的定义（在一个平面内和一个定点距离为定长的点的集合是一个圆）给出，即在空间中和一个定点距离为定长的点的集合是一个球面。（3）中心投影和平行投影教材以生活中实例为背景，引出投影、中心投影和平行投影的概念。对于中心投影，教学时学生只需知道它的意义即可，不必讨论其画法。对于正投影，教学中也可引导学生通过思考“圆锥顶点在底面上的正投影是什么”与“圆台上底面的圆心在底面上的正投影是什

16、么”，来理解它的意义。教材以平行投影为基础，介绍了三视图的画法。教学时要通过观察（有条件的要用计算机演示）立体图形的三视图，让学生理解三视图中图形之间“长对正，高平齐，宽相等”之间的内在联系。这有利于学生空间想象能力的培养。画实物的三视图时，教学中应首先分析实物结构，观察它是由哪些简单几何体组成，从而准确地画出它的视图。（4）直观图画法教材简单介绍了中心投影的有关性质，教学时可结合实际生活经验进行解释，对中心投影的其它性质不必介绍，也不必讨论物体的中心投影直观图的画法。教学的重点是斜投影画平面图形直观图的方法，即斜二测画法。画直观图时，可以取?/AN =，也可以取?/AN =。教材给出了圆的直

17、观图画法。教学时可以适当延伸，讨论圆柱、圆锥、圆台、球的直观图画法。3.2 点、线、面之间的位置关系1教学目标（1）了解公理1、公理2、公理3、公理4及其推论1、推论2、推论3。了解定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。（2）通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理。平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。（3）通过直观感知、操作确认，归纳并证明出以下性质定理。一条直线与一个平

18、面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。垂直于同一个平面的两条直线平行。两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（4）能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 （5）会用符号语言表达空间点、线、面之间的位置关系。能将自然语言转化为图形语言和符号语言。（6）在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间点、线、面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辩证唯物主义观念。2编写意图与教学建议（1）平面的基本性质平面是一个原始的概念，教材只对它进行描述而不加定义，教学中可以借助上一节所研究的柱体表面

19、、圆柱的底面来描述，如图。但这种直观教学容易使学生错误地认为平面是有边界的。为此，可以将平面和直线进行类比，用直线的无限延伸来帮助学生理解平面的无限延展性。用直线没有粗细来帮助学生理解平面没有厚薄。还可以引导学生讨论 “一条直线将平面分成两个部分，那么一个平面可以将空间分成几个部分？”，来理解平面的无限延展这一本质属性。公理1实际上表明，平面是“平”的。对此也可进行如下解释：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上就不会存在如图所示跳出平面的点 。 公理2实际上表明，平面是“无限延展的”。它是研究两个平面位置关系的基础。教学时应强调对于两个不重合的平面，只要它们有公共点，它们就是相交的

20、位置关系，公共部分是一条直线，而不是一个点。公理3是确定平面的依据。 “确定”通常是指“有且只有”，这里的“有”是说平面存在，“只有一个”是说平面唯一，要引导学生完整地理解和运用它，不能用“只有一个平面”代替“有且只有一个平面”。教学时还应突出公理3中的“不在同一条直线上”这几个字。引导学生讨论：分别经过三点、四点能确定平面吗？为什么？三个推论都是由公理3演变而成的，教学时可引导学生猜想结论并进行证明。推论1的证明，是学生学习立体几何初步遇到的第一个需要论证的例题，教学时应注重分析证明的思路及论证的依据，并指出证明的过程包括存在性与唯一性两部分。另外两个推论也可以作类似的分析。在推理的过程中，

21、应用了符号语言，意在帮助学生尽快熟悉和应用它。在进行三个推论的教学时，还可以结合生活中的实际问题说明它们的广泛应用。（2）空间两条直线的位置关系教材首先设置问题情景，然后借助长方体棱所在直线以及机械蜗杆和蜗轮的轴线的位置关系，引出异面直线的概念。教学时可引导学生分析两条直线位置关系的分类标准，进而得出两条直线的三种位置关系。教材通过提出问题：平面几何中“平行的传递性”能否推广到空间？引导学生运用类比，并借助长方体和圆柱模型让学生通过观察来感受和理解空间中“平行的传递性”即公理4。第25页例1是公理4的一个简单应用，同时也为 “等角定理”的证明作了铺垫。证明“等角定理”的关键是引导学生构造两个全

22、等三角形，通过分析让学生明白，将空间问题化归为平面问题是处理空间问题的基本策略。“过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线”可以作为判断两条直线“异面”的依据。教材上是用反证法证明的，教学时应通过分析，引导学生理解反证法的“反设”与“归谬”，进而得到正确的结论。关于两条异面直线所成角的度量问题，将在空间向量与立体几何中作深入的研究，这段教材中编写例题的目的是为了巩固异面直线所成角的概念。在教学中，研究异面直线所成角的问题时不必拓宽加深。 （3）直线与平面的位置关系教材借助长方体模型，观察长方体的棱、对角线和长方体的面的位置关系，讨论直线与平面位置关系的分类标准，进

23、而得出直线与平面的三种位置关系。学生对“直线在平面外”这一关系理解上容易出错，教学中要特别提醒学生注意。直线与平面平行教材借助长方体模型，让学生感受：“如果平面外一条直线与和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面没有公共点”。教学时要使学生理解，平面可以看作一条直线沿着另一条直线平移所得，有条件的可以用计算机演示平面的生成过程。还应引导学生观察图形，给出“直线与平面平行判定定理”的符号表示。教材通过设问，引导学生讨论：直线与平面平行时，直线与平面内任一条直线的位置关系，然后通过区分“异面与平行” 引出“直线与平面平行的性质定理”，这样比较自然，也符合学生的认知规律。此外还应引导学生观

24、察图形，对“直线与平面平行的性质定理”用符号语言表示。直线与平面垂直教材通过观察、探索圆锥的轴与底面任一半径之间的关系，得出圆锥的轴与底面任一条直线都垂直，从而引出直线与平面垂直的概念。根据直线与平面垂直的定义，帮助学生进一步理解正投影概念。“投影方向正对着投影面”就是“投影方向垂直于投影面”，即“投影方向垂直于投影面”的平行投影叫正投影，否则叫斜投影。教材通过生活中的实例，引入 “直线与平面垂直的判定定理”，教学时必须让学生初步理解：“折痕”之所以垂直于桌面，是因为“折痕”垂直于紧靠桌面的矩形一边所形成的“折线”；“旗杆”垂直于地面（水平面）是因为“旗杆”垂直于两条相交的“水平线”。关于直线

25、与平面垂直的性质定理的证明，教材采用反证法，学生理解上会有一定的困难，教学时注意引导学生理解反证法的反设、归谬，进而得出正确的结论。证明中用到“如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”和“过一点有且只有一条直线与已知平面垂直”的事实。垂直是直线与平面相交的特例，为了使学生了解直线与平面“斜交”的“程度”，教材引入直线与平面所成的角，同时也从“逻辑”上给学生“直线与平面位置关系”的一个完整体系。教学时只须让学生明白引入直线与平面所成的角的概念即可，关于它的度量问题将在空间向量与立体几何中作深入研究。第36页例3是直线与平面垂直判定定理的一个应用，也称“三垂线定理”，是

26、证明线、线垂直的一个典型范例。教学时要引导学生归纳，证明线、线垂直有哪些方法？让学生初步体会到，证明线、线垂直可以转化为证明线、面垂直，证明线、面垂直也可以转化为证明线、线垂直。（4）平面与平面的位置关系教材借助长方体模型，观察平面和平面的位置关系，讨论得出两个平面位置关系的分类标准，然后根据两个平面公共点的分布情况归纳出两个平面的位置关系。学生对两个平面互相平行并不陌生，早在学习“棱台”定义时，对两平面互相平行有所了解。教学时可结合平面互相平行定义，回顾棱柱、棱台、圆柱、圆台的概念。 两个平面平行教材通过生活中的实例，引入 “两个平面平行的判定定理”，教学时必须让学生认识到：水平仪的气泡在中

27、央，说明水平仪所在直线是水平线；“桌面”之所以是水平平面，是因为“桌面”内有两条相交“水平线”。教学时要引导学生根据“两个平面平行的判定定理” 的自然语言，作出图形，再用符号语言表示。第40页例3是两个平面平行的判定定理的一个应用，教学时应指出，应用定理的关键是创设定理成立的条件。通过分析让学生感受到：要证明面、面平行可以转化为证明线、面平行，证明线、面平行可以转化为证明线、线平行。教材通过讨论两个平行平面内的线、线关系，然后通过区分“异面和平行”，自然地引出两个平面平行的性质定理及其证明。教学时既要引导学生认真分析教材中的两个问题，又要引导学生给出“两个平面平行的性质定理”的符号表示。并指出

28、：性质定理表明面、面平行可以转化为线、线平行。二面角教材通过实例阐述引入二面角及其平面角的必要性，这从“逻辑”上给学生“平面与平面位置关系”的一个完整体系。实际上是为引出两个平面互相垂直作好铺垫。教学时重在让学生明白：二面角的平面角是客观刻画二面角的重要概念，二面角平面角的大小就是二面角的大小。教材为了让学生了解所学知识在空间技术中的应用，以数学文化的形式，介绍了“东方红1号”卫星的轨道平面与地球赤道平面所成的二面角大小。教学时要给出人造卫星轨道模型（有条件的可以用计算机演示人造卫星轨道），让学生感受科学的力量，从而激发学生的学习兴趣。第43页例1是教材中第二个求角的例题，目的是：（1）理解二

29、面角的平面角的概念；（2）为下面证明两个平面互相垂直提供方法。教学时重点是引导学生如何找出二面角的平面角。关于二面角的有关度量问题主要在空间向量与立体几何中来研究。两个平面垂直在引入两个平面互相垂直的定义时应指出：两个平面互相垂直的定义，是证明两个平面互相垂直的基本方法之一。教材通过生活实例，引入平面与平面垂直的判定定理，教学时应重点分析：门转到任何位置时，门所在的平面与地面垂直是因为门轴始终与地面垂直，让学生感受门所在平面与地面垂直，是因为门所在的平面过地面所在平面的垂线。还应引导学生，根据“平面与平面垂直的判定定理”自然语言，作出图形，然后用符号语言表示。第44页例2是平面与平面垂直判定定

30、理的一个应用，教学时应指出，应用定理的关键是创设定理成立的条件。通过分析让学生领会：证明面、面垂直，通常转化为证明线、面垂直，或转化为证明线、线垂直。教材通过问题“如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面？”来探索平面与平面垂直的性质定理。教学时要引导学生根据定理的自然语言，作出图形，然后用符号表示。 对于平面与平面垂直的性质定理的证明，重在引导学生在平面内找出一条与CD相交的直线垂直于AB。第45页例3是性质定理的一个应用，教学时应指出，应用定理的关键是创设定理成立的条件。3.3简单几何体的表面积与体积1教学目标（1）了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式（不要求记

31、忆公式）。 （2）会求一些简单几何体的表面积和体积，并体会积分思想在计算表面积与体积中的应用。2编写意图与教学建议（1）空间图形的展开图教学时先通过演示一些多面体的平面展开图的过程，让学生了解平面展开图的概念。教材介绍了直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念，并在“平面展开图”的基础上分析给出了直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式，教学时主要是侧重分析它的“侧面展开图”构成。关于正棱锥、正棱台的形状特点，教学时要强调三条：底面是正多边形；顶点在底面的正投影是底面的中心，即顶点和底面中心连线垂直于底面（棱锥的高）；当且仅当它是正棱锥、正棱台时，才有斜高。通过分析正棱柱、正棱锥、正棱台的图形的内在联系，让学生发现正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积之间的关系，体会“数”和“形”的完美结合。教材分析了圆柱、圆