2021版高考文科数学一轮复习第六章第2讲等差数列及其前n项和

1、第2讲等差数列及其前n项和最新考考向预潮L押解7?/汽河的毗念.2.卞帆等至就列的通电公式1前，用和公式.L年在R体的问置情境中何刖数列的等相美系, 井相用行大知识圈梅相应的问呦鼾等技利。一左南教，二次医靛K系.起势代得兄高号求声*:旨的内容，翔及可蒙粒列的电工.宇策中项 通修公式.前和我式及性质等内窖.嘴形式多片¥样. ft 以皂黑朋或如空屋的形式考哀等或敷刊的屉串运算，清单性质.解答做;往北)等此依列.般翎求RI.不等长等问盟寿台号杳一柩心素养:走进教材、知识梳理1.等差数列与等差中项定义：文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一念常数;符号语言：an+1

2、an = d(n C N + , d为常数).(2)等差中项：若三个数a, A, b组成等差数列，则 A叫做a, b的等差中项.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：an = a1+ (n 1)d.(2)前n项和公式:n (n 1)Sn=na1+2 d =n (a1+ an)23 .等差数列的性质已知数列 an是等差数列，Sn是其前n项和.(1)通项公式的推广：an=am+ (n m)d(n, mC N + ).(2)若 k+l=m+n(k, l, m, nC N +),则 ak+ ai= am+ an .(3)若an的公差为d,则a2n也是等差数列，公差为 3.(4)若 bn是

3、等差数列，则pan+qbn也是等差数列.(5)数列Sm, S2m-Sm, S3mS2m构成等差数列.常用结论4 .等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差 dw。时，等差数列的通项公式an= a+(n1)d = dn+a1一d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d>0,则为递增数列，若公差 d<0,则为、， 一 ，.，、， 一，一 n (n-1) do. d 一、，一 一 ，(2)刖n项和：当公差 dw0时，Sn=nai+2d = ,n2 + ai 万n是关于 n的一次函数且常数项为0.5 .两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质Stan右项数为2n,

4、则S偶一$奇=门,=;S禺 an+i若项数为2n1,则S偶=(n-1)an $奇=门2门，S奇一S偶=2门， =.S禺 n- 1(2)两个等差数列an, bn的前n项和Sn, Tn之间的关系为 笠1 =普T2n 1 bn二、教材衍化1 .已知等差数列一8, 3, 2, 7,，则该数列的第10项为.答案：372 .已知等差数列an的前n项和为Sn,若a=12, S5=90,则等差数列an的公差d答案：33.某剧场有20排座位，后一排比前一排多 2个座位，最后一排有 60个座位，则剧场 总共的座位数为.解析：设第n排的座位数为an(nCN + ),数列an为等差数列，其公差d=2,则an=a1+

5、(n-1)d = a1+2(n-1).由已知 a20= 60,得 60= a+2X (201),解得 a1 = 22,则剧场总共的座位数为20 (a1+ a20)220 X (22 + 60) 2=820.答案：820一、思考辨析判断正误(正确的打“，”，错误的打"X”)(1)若一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()(2)已知数列an的通项公式是an = pn+q(其中p, q为常数)，则数列an 一定是等差数列.()(3)数列 an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()数列an为等差数列的充要条件是对任意nCN + ,都有2a

6、n+i = an + an+2.()(5)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为 0的二次函数.()答案：(1)X (2)， (3)X (4)， (5)， (6)X二、易错纠偏常见误区(1)等差数列概念中的两个易误点，即同一个常数与常数;(2)错用公式致误;(3)错用性质致误.一，、“一.11 .已知数列an中，a1=1, an = an 1 + 2(n>2),则数列an的前9项和等于1 .1斛析：由a1=1, an= an 1 + 2(n>2),可知数列an是首项为1,公差为2的等差数列，9X (91)1故 S9= 9a1+2* 2= 9

7、+ 18= 27.答案：272 .记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24, S6 = 48,则an的公差为a1+3d+a +4d = 24,Q， a1 = 2,解析：由已知得5解得所以数列an的公差为4.6a1 + 6X2d = 48,d = 4,答案：43 .在等差数列an中，右 a3 + a4+a5+a6+a7 = 450,则 a2 + a8 =解析：由等差数列的性质，得a3+ a4 + a5 + a6+ a7= 5a5= 450,所以a5= 90,所以a2 +a8= 2a5= 180.答案：180明考向，a节考例考法考点等差数列的基本运算(师生共研)1 、，(2020福州市质

8、量检测)已知数列an中，a3 = 2, a7=1.若数列 £为等差数列,则 a9=()1 A.2B.5c.5D- -5(2)(2019高考全国卷I)记&为等差数列an的前n项和，已知S4=0, a5=5,则()A. an=2n5B. an=3n10C. Sn=2n28nD- &=$2-2n【解析】(1)因为数列1 -不为等差数列，a3=2, a7=1, an1所以数列米的公差d=111_ 1 a7 a327-3738, 所以!=2+(97)*8=4,所以 a9=?故选C.(2)法一：设等差数列an的首项为ai,公差为d,S4= 0,因为所以a5= 5,4X34a1+

9、2 d= °，ai + 4d= 5,a1 = 3,解得所以 an= a+(n1)d = 3+2(n d=2,n (n 1)21)=2n 5, Sn= na+2 d=n24n.故选 A.法二：设等差数列an的公差为d,S4= 0,因为所以a5= 5,4X34a1 + d = 0,2 解得ai = 3,ai + 4d= 5,d=2.选项 A , a1=2X 1 -5=- 3;选项 B, a1=3X 110= 7,排除 B;选项 C, S1=2-8=- 6,排除 C;13选项D, S1 = 2 2 = 2,排除D.故选A.【答案】(1)C (2)A等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列

10、的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an, d, n, 知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而ai和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法.1 .(一题多解)(2020惠州市第二次调研)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2+a3 + a4=15, a7= 13,则 S5=()A. 28B. 25C. 20D. 18ai + d+ ai+ 2d+ ai+ 3d= 15,解析：选B.法一：设等差数列an的公差为d,由已知得a1 + 6d=13,a1=1，-5X45X4 一 一_解得所以S5= 5a1

11、 + jd= 5X 1十一厂* 2= 25,故选B.5 (a1 + a5)5X 2a3d = 2,22法二：由an是等差数列，可得a2+a4=2a3,所以a3=5,所以S5= 25,故选B.2.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a2=4,S4=22,an = 28,则n=()B. 7A. 3C. 9D. 10解析:选 D.因为 S4= a + a2+a3+a4= 4a2+2d=22, d=(22 432)2= 3,a1= a2 d = 4 3=1, an=a + (n 1)d= 1 + 3(n-1)= 3n-2,由 3n 2=28,得 n=10.考点等差数列的判定与证明(典例迁移).-12s

12、2例21已知数列an中，a1=4,其刖n项和为&,且满足an=2S_1 (n>2).1 .(1)求证：数列sn是等差数列；(2)求数列an的通项公式.【解】(1)证明：当n>2时，&Sn_1 = 12S-2Sn- 1整理,得 Sn 1-Sn=2SnSn 1.两边同时除以11 一SnSn-1 ,得看一=2.Sn Sn 11 一 ，、一，所以Sn是以4为首项，以2为公差的等差数列.11,(2)由(1)可得数列S；的通项公式为Sn=4+ (n-1)X2=2n + 2,所以Sn=12 (n+ 1)11当 n >2 时，an = Sn Sn 1 = c2 ( n+ 1)

13、2n 2n ( n+ 1), 一， 1 “ ，、当n = 1时，a1 = 1,不适合上式.所以an=1 ,n > 2. 2n ( n+ 1)【迁移探究】(变条件)本例的条件变为：Sn =4Sn 1(n>2)2Sn 1+1'),证明£是等差S1数列.Sn 111证明：因为Sn =,所以 2Sn-1Sn+ Sn= Sn-1 ,即 Sn 1 Sn= 2SnSn 1,故一2Sn 1 + 1Sn Sn 1= 2(22),11一一 I、，又匕=工=4,因此数列 S是首项为4,公差为2的等差数列.S1 a1Sn方法等差数列的判定与证明的常用方法(1)定义法：an+ian= d(

14、d 是常数，n C N+)或 anan-1 = d(d 是常数，nCN+,n>2)? an为等差数列.(2)等差中项法：2an+1=an+an+2(nC N+)? an为等差数列.(3)通项公式法：an=an + b(a, b是常数，n C N+)? an为等差数歹U.前n项和公式法：Sn=an2+bn(a, b为常数)？ an为等差数列.an, an+1, an+2, 使得这三提示若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项项不满足2an+1=an+an+2即可；但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.娈式魂炼an11,已知数列an满足a1 = 1, an+1=且b

15、n = _, nC N + .求证：数列bn为等差数an+ 1an列.1 一证明：因为bn = ,且an+1 = ananan + 1an+ 1an= 1+2=1+加，故 bn + 1C. 1D. 3，1，一加=1.又b1 =,nan+i (n+ 1)an= 2n2+ 2n.所以数列bn是以1为首项，1为公差的等差数列.2. （2020贵州省适应性考试）已知数列an满足a1=1,且求a2, a3的值;an ,（2）证明数列 是等差数列，并求an的通项公式.解：（1）由已知，得a22a1=4,则 a2= 2a1 + 4,又 a1= 1,所以 a2= 6.由 2a33a2=12,得 2a3=12+

16、3a2,所以 a3= 15.(2)由已知 nan+1(n+1)an= 2n(n+1),nan+1 (n+1) anan+1 an得=2,即- - =2,n (n+1)n+ 1n所以数列 n是首项牛=1,公差d = 2的等差数列.则胃=1 + 2(n1) = 2n1，所以 an=2n 4a3+an 3a5= 10,则 /4 = 5 n.考占©等差数列的性质及应用（多维探究）角度一等差数列项性质的应用例（1）（ 一题多解）在公差不为0的等差数列an中,B. 0A. 1(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32 ： 27,则该数列的公差d =.【解析

17、】(1)通解：设数列an的公差为d(dw0),由4a3+aii 3a5= 10,得4(ai+2d)1+ (a1+ 10d)-3(a1+4d)= 10,即 2a1+6d=10,即 a1+3d=5,故 a4=5,所以"524=1,故选 C.优解一：设数列an的公差为 d(dw0),因为an= am+(n m)d,所以由4a3+a11 3a51，= 10,得 4(a4d)+(a4+7d) 3(a4+d)= 10,整理得 a4=5,所以ga4= 1,故选 C.优解二：由等差数列的性质，得2a7+3a33a5= 10,得4a5+a33a5= 10,即a5+a31一=10,则 2a4 = 10,

18、即 a4 = 5,所以 5a4= 1,故选 C.(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为 S奇，偶数项的和为S偶，公差为d.S奇+ S禺= 354,由已知条件，得S禺：砺=32 ： 27,-禺=192,解得St = 162.又S偶一S奇=6d,所以="= 5.6【答案】(1)C (2)5角度二等差数列前n项和性质的应用例叵豆(1)已知等差数列an的前10项和为30,它的前30项和为210,则前20项和 为()A. 100B. 120C. 390D. 540(2)在等差数列an中，a1=- 2 018,其前n项和为Sn,若S2 Sf= 2,则$ 018的值等 于()A. 2 018B.

19、 2 016C. - 2 019D. - 2 017【解析】(1)设Sn为等差数列an的前n项和，则S10, S20-S10, S30S20成等差数列，所以 2(S20 Sio)=Sio + (S30S20),又等差数列an的前10项和为30,前30项和为210,所以 2(S20 30)= 30+ (210-S20),解得 S20= 100. Sn 一, S2 018 S1(2)由题意知，数列 为等差数列，其公差为1,所以2S而8 =彳+(2 018 1)X 1 = 2 018+ 2 017 = - 1.所以 S2 018= 2 018.【答案】(1)A (2)A角度三等差数列的前n项和的最值

20、例叵豆(一题多解)(2020广东省七校联考)已知等差数列an的前n项和为 S, a6+a8=6, S9-S6=3,则Sn取得最大值时n的值为()A. 5B. 6C. 7D.8a1 + 5d+a+7d= 6,【解析】 法一：设数列an的公差为d,则由题意得，a1 + 6d+a+7d+ a +8d=3,a1= 15,解得所以an=2n+17,由于a8>0, ag< 0,所以Sn取得最大值时n的值是8,d = - 2.故选D.a1+5d+a1+7d=6,法二：设数列an的公差为d ,则由题意得，解得a1+ 6d+ a1 +7d+ a+ 8d= 3,a1=15，n (n 1)则 Sn=15

21、n+- x ( 2)= (n8) + 64,所以当 n= 8 时，Sn取得最大值，d=- 2,2故选D.【答案】 D(1)等差数列前n项和的性质在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2n= n(a1+a2n) =二 n(an+an+1);S2n 1=（2n 1）an;当项数为偶数 2n时，S偶一$奇=门;项数为奇数 2n 1时，S奇一S偶=2中，S奇：S偶=n : （n 1）.（2）求数列前n项和的最值的方法an> 0,通项法：1右a1>0, d<0,则Sn必有最大值，其n可用不等式组来确定;an + 1 & 0an< 0,2若a1<0, d>0,

22、则Sn必有最小值，其 n可用不等式组来确定.an+1 > 0二次函数法：等差数列二次函数求最值的方法来求前 定n的值.an中，由于nSn= na1+ 一n d- 2-1a+2n d- 2n项和的最值，这里应由nC N +及二次函数图象的对称性来确小一一一 .Sn>Si-1， 一不等式组法：借助 Sn最大时，有（n>2, nCN + ）,解此不等式组确定 n的Sn>Sn + 1范围，进而确定n的值和对应Sn的值（即$的最值）.变式训1 .（一题多解）（2020江西南昌模拟）等差数列an的前n项和为Sn,且a8 a5=9, Ss- S5= 66,则 a33=（）A. 82B

23、. 97C. 100D. 115as a5 = 9,解析：选C.通解：设等差数列an的公差为d ,则由得S8 S5= 66,(a1+7d) ( a1 + 4d) = 9,d= 3,解得所以 a33 = a1 +32d = 4 + 32X 3= 100,故(8a1 + 28d) ( 5a1+10d) =66, a1=4,选C.优解：设等差数列an的公差为d,由 a8 a5= 9,得 3d=9,即 d=3.由 S8 S5= 66,得a6+a7+a8=66,结合等差数列的性质知3a7=66,即a7 = 22,所以a33 = a7+(33 7)x d = 22 + 26X3= 100,故选 C.2.已

24、知无穷等差数列an的前n项和为S6<S7,且S7>Sb,则（）(ai+a2i) x 2i2 Si(bi+b2i) x 2i T* 2i2i4924答案:据漆养砧麻聃勒思路A.在数列an中，ai最大B.在数列an中，a3或a4最大C. S3= S10D.当 n>8 时，an>0解析：选 A.由于 S6<S7, S7>S8,所以 S7-S6=a7>0, S8-S7=a8<0,所以数列an是递减的等差数列，最大项为ai,所以A正确，B错，D错；Si0 S3 = a4+a5+ai0=7a7>0,故C错误.Sn 7n_l_2a2_l_ a203.两等

25、差数列an和bn的前n项和分别为 Sn,Tn,且S=二，则7=Tn n+3b7+bi5a2 + a20 ai + a2i解析：因为数列an和bn均为等差数列，所以=b7+bi5 bi+ b2i7 X 2i + 2 i492思想方法系列i0整体思想在等差数列中的应用典例 在等差数列an中，其前n项和为Sn.已知Sn=m,Srn=n(mwn),则Sm+n=【解析】设数列an的公差为d,则由 Sn=m, Sm= n,n (n i)Si=nai+2d=m,得m (m i)Sm = mai +2d = n.一得(m n)ai +(m n) ( m+ n i)d= n m.m+ n i因为 mwn,所以

26、ai+2d= i.所以 Sm+ n= (m+n)ai +(m+ n) ( m + n i)m + n 1= (m+n) ai+2一d=(m+ n).【答案】(m+n)堆升华从整体上认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等.在等差数列中，当要求的Sn所需要的条件未知或不易求出时，可以考虑整体代入.(2020驻马店市第一次模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,C. 7D. 9且f(x)在(-1, +8)上单调，若数列an是公差不为0的等差数列，且f(a50)

27、= f(a5i),则数列an的前100项的和为()A . - 200B. 100C. - 50D. 0解析：选B.因为函数f(x)的图象关于直线x= 1对称，又函数f(x)在(-1,+8)上单调，数列an是公差不为0的等差数列，且f(a50) = f(a51),所以a50+a51 = 2,所以Sw0 =100 (a1+ a100)= 50(a50+a51)=- 100,故选 B.2基础题组练1. (2020长春市质量监测(二)等差数列an中，S是它白前n项和，a2+a3=10, S6 =54,则该数列的公差 为()A. 2C. 4B. 3D. 6a + d + a + 2d= 10,解析：选C

28、.由题意，知 6x5解得6a1+-2-d= 54,a1 = 1,故选C.d = 4,2. (2020江西省七校联合考试 )在等差数列an中，若a3+a5+a7+a9 + an=55, S3= 3,则a5等于()A. 5B. 6解析：选C.设数列an的公差为d,因为数列an是等差数列，所以a3+a5+a7+a9 + a7 = a1 + 6d=11,ai = 1,aii = 5a7=55,所以a7=11,又S3= 3,所以解得所以a5=7.S3= 3ai + 3d = 3,d = 2,故选C.3.已知数列an满足 a = 15,且 3an + 1=3an 2,若 ak - ak+1<0,则正

29、整数 k=()A. 21B. 22C. 23D. 242 . 一 47 2 一.斛析：选 C.3an+1= 3an2? an + 1= an- -? an是等差数列，则 an=Nqn.因为 ak ak+ 3331<0,所以 4f-|k 竽2k <0,所以45<k<47,所以 k= 23. 333 3224. (2020辽宁丹东质量测试(一)我国明代伟大数学家程大位在算法统宗中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明. "意

30、思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为()A. 0.9 升B. 1 升C. 1.1 升D. 2.1 升解析：选B.设竹筒从下到上的盛米量分别为a1 , a2 ,，a9,依题意得a1 + a2+ a3= 3.9,a2= 1.3,故即 a2+5d+a2+6d = 2a2+11d=2.6+11d=1.5,解得a6 + a7 + a8+ a9= 3,a7 + a8= 1.5,d=- 0.1 ,故 a5=a2+3d=1.30.3 = 1 升.故选 B.5.已知数列an的前n项和为Sn, a=1, a2=2,且对于任意 n>1, nCN + ,满

31、足Sn+1 + Sn-1 = 2(Sn+ 1),则()A. a9= 17B, a10= 18C. S9=81D. S10=90解析：选B.因为对于任意n>1, nCN + ,满足Sn+1 + Sn1= 2(Sn+1),所以 Sn+1 Sn= Sn- Sn-1 + 2,所以 an+1 an = 2.所以数列an在n>2时是等差数列，公差为2.又a1=1, a2=2,则 a9=2 + 7X 2= 16, ai0=2+8X2= 18, S9= 1 + 8 X 2+2-X 2= 73, Si0= 1 + 9X2 +9X 82X 2= 91.故选 B.6. (2019高考全国卷 出)记Sn为

32、等差数列an的前n项和.若 a3= 5, a7= 13,则S10a1 + 2d= 5,a1 = 1,解析：通解：设等差数列an的公差为d,则由题意，得解得所a1+6d=13,d=2,10X 9以 S10= 10X 1 + 2X2 = 100.， 一 .1一一10 (a1+a10)优斛：由题忌，得公差d = 4(a7 a3)= 2,所以a4=a3+d=7,所以S10=2=5(a4+a7)= 100.答案：1007. (2020陕西渭南调研考试)设2门是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，已知S1, S2, S4成等比数列，且 a3=5,则数列 an的通项公式为 .解析：设数列an的公差为d(

33、dw0),因为an是等差数列，S1，S2, S4成等比数列，所以(a1 + a2)2= a(a+a2+a3+a4),因为 a3= 5,所以(5 2d + 5d)2= (5 2d)(5 2d +15),解得 d=2 或 d=0(舍去)，所以 5=a + (31)X2,即 a1=1,所以 an=2n1.答案：an = 2n 18 .(2020福建龙岩期末改编)已知数列an的前n项和为Sn,a= 1,an+an+1 = 2n+1(n C N+ ),贝U a20的值为, S21的值为.解析：将 n= 1 代入 an+an+1 =2n+ 1 中得 a2=3- 1 = 2.由 an+ an+1 = 2n+

34、 1，得 an+1 + an+2= 2n+ 3.一，得an+2an=2,所以数列an的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，则 a21= 1 + 10X2= 21, a20 = 2+ 9X 2= 20,所以 S21 = (a + a3+a5+ a21)+(a2 + a4(1+21) X 11(2+20) X 10+ a6 + + a20) =2+2= 231.答案：20 2319 . (2019高考全国卷I)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9= - a5.若a3= 4,求an的通项公式；(2)若ai>0,求使得Snan的n的取值范围.解：(1)设an的公差为d,由 S9= a5得

35、 ai + 4d=0,由 a3= 4 得 ai+ 2d = 4,于是 ai = 8, d = 2.因此an的通项公式为 an=10-2n.n ( n 9) d(2)由(1)得 ai = 4d,故 an=(n5)d, S =2.由 ai>0 知 d<0,故 Snan 等价于 n2-11n+10<0,解得 iwnwi。.所以n的取值范围是n|1 < n< 10, n C N.10 .已知等差数列的前三项依次为a, 4, 3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值；(2)已知数列bn满足bn=S证明数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn解：(1)设该等差数

36、列为an,则ai = a, a2 = 4, a3= 3a,由已知有 a+3a= 8,得 ai = a=2,公差 d=4 2=2,k (k1)k (k 1)所以 Sk= kai +2 d = 2k+2 x 2 = k2+ k.由 Sk= 110,得 k2+k-110=0,解得 k=10 或 k= 11(舍去)，故 a=2, k= 10.n (2+2n)(2)由(1)得 Sn=2=n(n+ 1),故 bn+1 bn=(n+ 2)- (n+ 1)=1,即数列bn是首项为2,公差为1的等差数列，所以Tn =n (2 + n+ 1) n (n + 3)22综合题组练1 an1 . (2020广东揭阳期末改编)已知数列an满足ai = -, an+i = 8an+ 1 (n C N ),则an ,数列an中最大项的值为 .解析： 由题意知 anW0, 由an+i= - 得 = "=+ 8, 整理得 = 8,8an+ 1 an + 1an anan + 1 anr ,1 i 、，即数列-是公差为1, 2 时，anV0；当-1值为a3 = 7.,1答案：I11 18的等差数列，故一=一十 (