2021版高考文科数学一轮复习第五章第2讲平面向量基本定理及坐标表示

1、第2讲平面向量基本定理及坐标表示I J.解平网向量的班表定理及L箪怖平辛向下的正誉分学及用坐标衣示.家会用坐标表抵平而向的加法、法与过来诺尊.，况眦T串楙&示韵平面向世外讴的:条H琳cfl趋势W平而同咕忖“汜用及生林人小的U熊工箕昭加.酒，皆霜及 向可此蹲定总的处而走示及应月.R格式集牌学理,皿现 乳抻赳、地空跑为主,南引创斜月的蝴日出现. 1中他档跑.林心索舞理教回树宴坐备知识一、知识梳理1 .平面向量基本定理(1)定理：如果 ei、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向 量a,有且只有一对实数 入1,入2,使a = jiei+ ?2e2.(2)基底：不共线的向

2、量 ei、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2 .平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a=(xi, y), b=(x2, y2),则a + b = (x+ x4 yi+ y2), a b = (x一x2, yi y2),入 a =(入 k.入 yi), |a |= yx2+ y2.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；设 A(xi, yi), B(x2, y2),则 AB = (x2 xi, y2 yi),岫4J!x2 xi) 2+ (y2yi) 23 .平面向量共线的坐标表示设 a=(xi, yi), b=(x2, y2),

3、a / b? xiy2 x2yi= 0.提醒当且仅当x2y2W。时，all b与=y2等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.常用结论1.若 a=(xi, yi), b=(x2, 丫2)且 a = b,则 xi= x2H yi= y2.2.已知P为线段AB的中点，若A(xi , yi), B(x2, y2),则P点的坐标为X1 + X22 ，yi + y223.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.二、教材衍化1 .若Pi(1, 3), P2(4, 0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点 P的坐标

4、为()A. (2, 2)B, (3, 1)C. (2, 2)或(3, - 1)D. (2, 2)或(3, 1)一 、广一,廿一，I 二1，、2二、一一，7解析：选 D.由题思得 P1P = 1P1P2或P1P=qP1P2, P1P2=(3, -3).设 P(x, y),则PP = 33,1 _Y 一，1_ 一 (x-1, y-3),当 P1P = .P1P2 时，(x-1, y-3) = -(3, 3),所以 x= 2, y=2,即 P(2, 2); 332 > -,2 一当PP=3P1P2时，(x- 1, y-3) = 3(3, -3),所以 x=3, y= 1,即 P(3, 1).故

5、选 D.2 .已知向量 a=(2, 3), b=(-1, 2),若 ma+nb 与 a 2b 共线，则三=().1一A.- 2B.2C. 2D. 2解析：选 A.由向量 a=(2, 3), b = (1, 2),得 ma+nb= (2mn, 3m+2n), a 2b = (4, 1).由 ma+nb 与 a2b 共线，得一(2mn) = 4(3m+2n),所以m= 2.故选 A.走出误区一、思考辨析判断正误(正确的打“，”，错误的打"x”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)在4ABC中，向量AB, BC的夹角为/ ABC.( )同一向量在不同基底下的表示是相同的

6、.()若a=(x1，y1), b=(x2, y2),则a/ b的充要条件可表示成 葭=。)(5)若a, b不共线，且 1 a+ 岫=尬a+ 的，贝U h= 2 , (11=咫.()答案：(1)X (2)X (3)X (4)X (5)V二、易错纠偏常见误区(1)利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线;(2)由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误.AD1 .设O是平行四边形 ABCD的两条对角线 AC, BD的交点，则给出下列向量组:与A B;D A与B C;C A与D C;O D与O B.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A.B.C.D.解析：选B.平面内任意两个不共线的向量都

7、可以作为基底，如图:对于，AD与AB不共线，可作为基底；. ， 对于，DA与BC为共线向量，不可作为基底；一 一 对于，CA与DC是两个不共线的向量，可作为基底；对于，OD与OB在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底.2,已知点 A(0, 1), B(3, 2),向量 aC=(4, 3),则向量 BC=()A. (-7, - 4)B. (7, 4)C. (-1, 4)D, (1, 4)解析：选A.法一：设C(x, y),一，-则AC=(x, y1) = ( 4, 3),x= - 4,所以y=-2,从而 BC=(4, 2)(3, 2)=(7, -4).故选 A.法二：AB=(3, 2)(0,

8、1)=(3, 1), BC=AC-AB=(-4, -3)-(3, 1)=(-7, -4).故选A.明考向，a节考例考法考点平面向量基本定理及其应用(师生共研)例团(1)在4ABC中，点D, E分别在边BC, AC上，且BD=2DC, Ce=3EA,若AB =a, AC= b,则 DE = ()15A. 3a + 12b113Bya一讲c-3a-合(2)(2020郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形 ABCD中，E, F分别为边AB,BC的中点，连接 CE, DF,交于点G.若cG= XCD+ 康(入 w C R),则：=D【解析】(i)DE=DC + Cl= 1BC+3CA34= 3(AC

9、AB)AC(2)由题图可设CG = xCE(x>0),一M 1 丁 x一.则 CG=x(CB+BE) = x CB + 2CD =2CD+xCB.因为 CG, > 一，. x,CD与CB不共线，所以入=2,x,所以21.心2【答案】(1)C运算遵法则基底定分解(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解 是

10、不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的.1 .在 ABC中，P, Q分别是 AB, BC的三等分点，且 AP = 1AB, BQ=；BC,若AB = 33a, AC=b,则 PQ=()A.1a + 1b33C.1a-1b33解析：选 A.由题意知 IPQ= PB+ BQ=2AB + 1BC = |>AB + (>AC-AB)=1AB + AC=1a+ 33333333b,故选A.2.已知点A, B为单位圆。上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且OA与OB不共线.在4OAB中，点P在AB上，且AP=2PB,若AP=rOB + sOA,求r+s的值；. . ->.一 .(2

11、)已知点P满足OP= mOA+ OB(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值.解：(1)因为 AP = 2PB,所以 AP = 2AB,3所以 AP= 2(OBOA)= 2oB2OA, 333又因为 AP=roB + sOA,所以 r = 2, s=- 2, 33所以r + s=0.(2)因为四边形OABP为平行四边形， 所以 OB=OP+OA,一一、， 又因为 OP=mOA+OB,所以 OB=OB+(m+ 1)OA,依题意OA, OB是非零向量且不共线，所以m+ 1 = 0,解得m=- 1.考点平面向量的坐标运算(师生共研)例国已知 A(2, 4), B(3, 1), C(-3,

12、 4).设A=a, BC=b, CA=c,且ClM =3c, CN=-2b.求 3a+b-3c；(2)求满足a=mb + nc的实数m, n的值；(3)求M, N的坐标及向量mN的坐标.【解】由已知得 a=(5, -5), b=(-6, -3), c=(1, 8).(1)3a+b-3c= 3(5, 5)+(6, -3)-3(1, 8)= (156 3, -15-3-24)=(6, -42).(2)因为 mb+nc= ( 6m+n, 3m+8n),6m+ n= 5,m= 1,所以解得-3m + 8n=- 5,n= - 1.、一，一， 一， (3)设O为坐标原点，因为CM= OM OC = 3c,

13、所以 oM = 3c+oC=(3, 24)+(3, -4)=(0, 20). 一一、， 所以 M(0, 20).又因为 CN = ON-OC=- 2b,所以 ON= 2b + OC=(12, 6)+(3, -4)=(9, 2),所以 N(9, 2).所以 MN = (9, 18).团面国国向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算.(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则

14、应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用.， ，一， 一，一 1 ,， 1.已知。为坐标原点，点 C是线段AB上一点，且 A(1, 1), C(2, 3), |BC|=2|AC|,则向量OB的坐标是.解析：由点C是线段AB上一点,|BC|=2|Ac|,彳#BC=2AC.设点B为(x, y),则(2x,2x= 2,x= 4,一3-y) = -2(1 , 2),即解得 所以向量OB的坐标是(4, 7).3 y= - 4,y= 7.答案：(4, 7)2.如图所示，以ei, e2为基底，则a=.解析：以ei的起点为原点建立平面直角坐标系，则 ei=(1, 0), e2=(-1, 1), a=

15、(-3, 1),令 a= xei + y% 即(3, 1) = x(1, 0)+y(x-y=- 3,1, 1),则y= 1,x= - 2,所以即 a = 2e1 + e2.y=1,答案：2e1 + e2者占El平面向量共线的坐标表示(多维探究)角度一利用向量共线求向量或点的坐标例 13Hl 已知梯形 ABCD,其中 AB/CD,且 DC = 2AB,三个顶点 A(1 , 2), B(2, 1),C(4, 2),则点D的坐标为【解析】因为在梯形 ABCD中，AB/£D, DC = 2AB ,所以 比=2能.设点D的坐标为(x, y),则DC=(4, 2)-(x, y)=(4 x, 2-

16、y), AB=(2, 1)(1, 2)=(1, 1),所以(4 4 x = 2,x= 2,x, 2- y)= 2(1, 1),即(4 x, 2-y) = (2, -2),所以解得 故点 D 的2 y= 2, y=4,坐标为(2, 4).【答案】(2, 4)角度二 利用两向量共线求参数例巨国已知向量oA = (k, 12), OB=(4, 5), OC=( k, 10),且A, B, C三点共线，则k的值是()2 4A . oB.q3 3C.2D. 323【解析】 AB=OB-OA=(4-k, -7),7 7fAC=OC-OA=(-2k,-2).因为A, B, C三点共线，所以AB, AC共线，

17、2所以一2X(4k) = 7X( 2k),解得 k=.3【答案】 A团面国国(1)向量共线的两种表示形式设 a=(x1，y1), b=(x2, y2),a/b? a= ；b(bw0)；a/b? xy2x2y1=0,至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条 件可以列出方程(组)，求出未知数的值.1.已知向量 a=(2, 1), b=(1, m), c=(1, 2),若(a+ b)/c,则 m=解析：因为 a=(2, 1), b=(1, m),所以 a+ b= (1

18、, m 1).因为(a+b)/c, c= (- 1, 2),所以 2(1) (m1)=0.所以m=- 1.答案：12.已知 a= (1, 0), b= (2, 1).当k为何值时，ka b与a+2b共线？(2)若AB= 2a+3b, BC=a+mb且A, B, C三点共线，求 m的值.解：(1)kab=k(1, 0)(2, 1)=(k-2, -1),a+2b= (1, 0)+2(2, 1)=(5, 2).因为 ka- b 与 a+2b 共线,所以 2(k 2)(1)X5= 0,一11即 2k 4+5=0,得 k= 2.(2)法一：因为A, B, C三点共线，所以 AB=?BC,即 2a+3b=

19、 Xa+mb),2 =13所以 ，解得m=2.法二：AB=2a+3b=2(1, 0)+3(2, 1)=(8, 3),心BC=a+mb=(1, 0) + m(2, 1) = (2m+ 1, m).因为A、B、C三点共线，所以 AB/ BC.所以 8m-3(2m+1)=0,一 3即 2m 3=0,所以 m= 2.后素养丁助9培优思想方法系列8坐标法解决平面向量的线性运算典例（2020湖北十堰调研）在直角三角形 ABC中，/A=90° , AB = 3,AC=4,P在 ABC斜边BC的中线AD上，则AP (PB+ PC)的最大值为()B(3, 0), 0(0, 4),AB, AC的方向分别

20、为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则BC中点D 2, 2 ,则直线AD的方程为y = 4x.设P x, 4x ,所以 西=3-x, 4x , PC =3333一x,.44即，AP =x,450 2 , 25503x ,AP (PB+ PC)= "9x +-3x=-3 2 253x- +-7,所以当x=时484 -25 ,AP (PB+PC)的最大值为 §.故选B.【答案】堡国华系要建得巧，题就解得妙坐标是向量代数化的媒介，而坐标的获得又要借助于直角坐标系，对于某些平面向量问 题，若能建立适当的直角坐标系，往往能很快实现问题的转化.常见的建系方法如下:(1)利用图形中现成

21、的垂直关系若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系；(2)利用图形中的对称关系图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系.建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点Has在坐标轴上，或在同一象限.如图，在正方形 ABCD中，M, N分别是BC, CD的中点，若AC=以M+ pB N，贝U 入+产解析：法一：以AB, AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为卜 2=1，法二：由AM = AB+1AD, BN=又AC=AB+AD,所以卜

22、 2=1,答案：5，bn=i211, 26 入=5,解得25,所以一一 f f f，AC=(1 ,1).因为 AC= ?AM+ gN1 2AB +AD,得品-H . 匚 - 艮，. 入. 之=?AM + pBN = 卜 2 AB+ 2+ AD,解得6 入=5,所以入+尸8.5练好番，舅做高分瓶前基础题组练1.已知e=(2, 1),e2=(1, 3),a=(1,2).若a=Xie+Me2,则实数对(为，入2)为()A. (1, 1)B. (1, 1)C. (-1, 1)D. (1, - 1)解析：选 B.因为 e1=(2, 1), e2=(1, 3),所以 a= ?1a+ 江%= 21(2, 1

23、)十处(1, 3) = (2 /2为+法=1 , X = 1 ,+ 2入 1+3切.又因为a=(1, 2),所以解得故选B.加+3尬=2,?2 = 1.2. (2020河南新乡三模)设向量e1, e2是平面内的一组基底，若向量a= 3e1一 e2与be1一枝共线，则上()1 A.o 3B.C. 3D. 3解析：选B.法一：因为a与b共线，所以存在4 R,使得 a=即3e1 e2一榕.1 故尸3, 一入产一1,斛得入=7.3故选B.法二：因为向量ei, e2是平面内的一组基底，11故由a与b共线可得，=，解得入=-1. 313故选B.3.已知OB是平行四边形 OABC的一条对角线,O 为坐标原点

24、，OA= (2, 4), OB=(1,3）,若点E满足OC=3EC,则点E的坐标为（）A.223'3B.3'D._ 1 C.3解析：选 A.易知 OC=OB OA = ( 1, -1),则 C(-1, -1),设 E(x, y),则 3EC= 3(-_ 3 3x= 1,1-x, -1-y)=(-3-3x, -3-3y),由OC=3EC知一 3 一 3y= 一 1,23，2所以所以E 3,y=-3，4. (2020河北豫水中学质检)已知在 RtAABC中，/ BAC = 90° , AB=1, AC=2, D是 ABC内一点，且/ DAB = 60°,设AD

25、= 岫+ 晟（入，wCR）,则（）,3B.3C. 3D, 273解析：选A.如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1, 0), C点的坐标为(0, 2),因为/DAB = 60°,所以设D点的坐标为(m, 43m)(mw0).AD=(m, 5m)= ?AB+ pAC= 1, 0) + M。，2)=(% 2力，则入=m,且 尸2m,入逑 所以 T.5.设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量？a+b与向量c= (4, 7)共线，则 4解析：因为 a=(1, 2), b=(2, 3),所以?a+b=(X, 2 ?)+(2, 3)=

26、(入+ 2, 2 入+ 3).因为向量 右+b与向量c= (4, 7)共线，所以一7(计2) + 4(2入+ 3) = 0.所以 42.答案：26.已知点 A(2, 3), B(4, 5), C(7, 10),若AP=AB+ ?AC( K R),且点 P 在直线 x 2y =0上，则入的值为解析：设 P(x, v),则由 A P=A B+ A C,得(x 2, y3)=(2, 2)+乂5, 7)=(2+5 A, 2 + 7?),所以x=5计4, y=7入+ 5.又点P在直线x-2y=0±,故5入+ 4-2(7 H 5)=0,解得公2.3,2答案：237 .在平行四边形 ABCD中，E

27、和F分别是CD和BC的中点.若aC=以E+ 由，其中 e R,贝U ?d- (i=解析：选择AB, AD作为平面向量的一组基底 ，一。1 71 则AC=AB + AD, AE=2AB + AD, AF=AB+2AD,又品=孤E+ pAF= g计AB+ 计gAD,于是得_4入+ P 3.入=2,解得所以2产34答案：38 .已知点 O 为坐标原点，A(0, 2), B(4, 6), OM =t1OA+t2AB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A, B, M三点共线.He，“、士.解：(1)OM = tQA+12AB = t1(0, 2)+t2(

28、4, 4)= (4t2, 2t1 + 4t2).4t2V0,点M在第二或第三象限？2t1 + 4t2W0,解得 t2V0 且 t1+2t2W0.故所求的充要条件为t2 V 0且t1 + 2t2却.(2)证明：当 t1=1 时，由(1)知OM = (4t2, 4t2+2).一一 f f f因为 AB=OB OA=(4, 4),f 一fAM = OM-OA=(4t2, 4t2)=t2(4, 4)=t2AB,所以A, B, M三点共线.综合题组练1 .若a, 3是一组基底，向量 产x a+ y x, yC R),则称(x, y)为向量丫在基底a, 3 下的坐标，现已知向量 a在基底p=(1, 1), q=(2, 1)下的坐标为(一2, 2),则a在另一 组基底m=(1, 1), n = (1, 2)下的坐标为()A. (2, 0)B, (0, - 2)C. (-2, 0)D, (0, 2)解析：选D.因为a在基底p, q下的坐标为(一2, 2),即 a=-2p+2q= (2, 4),令 a = xm + yn= (x+y, x+2y),x+ y=2, x=0, 所以即x+ 2y=4, y= 2.所以a在基