带电粒子在有界磁场中的运动(全)

1、带电粒子在有界匀强磁场中运动带电粒子在有界匀强磁场中运动vvvvvvvvvvvvvv例题例题1、如图所示，一束电子、如图所示，一束电子(电量为电量为e)以速度以速度v垂直垂直射入磁感强度为射入磁感强度为B，宽度为宽度为d的匀强磁场中，穿透磁的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30 ，则，则电子的质量是电子的质量是_，穿过磁场的时间是，穿过磁场的时间是_。若电子能穿过磁场，则最小速度应是多大？穿过时若电子能穿过磁场，则最小速度应是多大？穿过时间是多少？间是多少？由几何关系找圆运动半径由几何关系找圆运动半径根据物理规律确定半径与根据物理规

2、律确定半径与其他量的关系。其他量的关系。v例题例题2 2、长为长为l l的水平极板间，有垂直纸面向内的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B B，板间距板间距离也为离也为l l，板不带电，现有质量为板不带电，现有质量为m m，电量为电量为q q的的带正电粒子带正电粒子( (不计重力不计重力) )，从左边极板间中点处，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度垂直磁感线以速度v v平射入磁场，欲使粒子不打平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是什么？在极板上，可采用的办法是什么？例例3 3、如图直线、如图直线MNMN上方有磁感应强度为上方有磁

3、感应强度为B B的匀的匀强磁场。正、负电子同时从同一点强磁场。正、负电子同时从同一点O O以与以与MNMN成成3030 角的同样速度角的同样速度v v射入磁场（电子质量为射入磁场（电子质量为m m，电荷为电荷为e e），），它们从磁场中射出时相距多远？它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？射出的时间差是多少？MNBOv2mvsBe 43mtBq 例例4 4、 一个质量为一个质量为m m、电荷量为电荷量为q q的带电粒子从的带电粒子从x x轴上的轴上的P P( (a a，0)0)点以速度点以速度v v，沿与沿与x x正方向成正方向成6060 的方向射入第一的方向射入第一象限内的匀强磁场

4、中，并恰好垂直于象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y y轴射出第一象限。轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感强度求匀强磁场的磁感强度B B和射出点的坐标。和射出点的坐标。 yxOBvavO23, 23amvmvrBBqaq得得射出点的坐标射出点的坐标(0, )3a例例5 5、一质量为、一质量为m m，带电量为带电量为q q的粒子以速度的粒子以速度v v0 0从从O O点沿点沿y y轴的正方向射入磁感强度为轴的正方向射入磁感强度为B B的一圆形匀强磁场区域，的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从（磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从（b b，0 0）处穿过处穿过x x轴

5、，速度方向与轴，速度方向与x x轴正向夹角为轴正向夹角为3030 ，如图，如图所示，粒子的重力不计，试求：所示，粒子的重力不计，试求：（1 1）圆形磁场区域的最小面积。）圆形磁场区域的最小面积。（2 2）粒子从）粒子从O O点进入磁场区域到达点进入磁场区域到达b b点所经历的时间。点所经历的时间。例例6 6、一带电质点，质量为一带电质点，质量为m m，电量为电量为q q，以平行于以平行于x x轴的速轴的速度度v v从从y y轴上的轴上的a a点射入图中第一象限所示的区域，为了使该点射入图中第一象限所示的区域，为了使该质点能从质点能从x x轴上的轴上的b b点以垂直于点以垂直于x x轴的速度轴的

6、速度v v射出，可在适当射出，可在适当的地方加一个垂直于的地方加一个垂直于xyxy平面、磁感强度为平面、磁感强度为B B的匀强磁场。若的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计最小半径。重力忽略不计qBmvRRvmqBv,:2解解qBmvRMNr222221例例7 7、如图、如图, ,在一水平放置的平板在一水平放置的平板MNMN上方有匀上方有匀强磁场强磁场, ,磁感应强度的大小为磁感应强度的大小为B,B,磁场方向垂磁场方向垂直于纸面向里直于纸面向里, ,许多质量为许多质量为m,m,带电量为带电量为+

7、+q q的的粒子粒子, ,以相同的速率以相同的速率v v沿位于纸面内的各个方沿位于纸面内的各个方向向, ,由小孔由小孔O O射入磁场区域射入磁场区域, ,不计重力不计重力, ,不计粒不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域电粒子可能经过的区域, ,其中其中R=R=mvmv/ /qBqB。哪个哪个图是正确的图是正确的? ( )? ( )2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.AMNBO2RR2RMNO解解: :带电量为带电量为+ +q q的粒子，以相同的速率的粒子，以相同的速率v v沿位于纸面

8、内沿位于纸面内的各个方向，由小孔的各个方向，由小孔O O射入磁场区域，由射入磁场区域，由R=R=mvmv/ /qBqB, ,各各个粒子在磁场中运动的半径均相同个粒子在磁场中运动的半径均相同, , 在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以O为圆心、以为圆心、以R=mv/qB为半径的为半径的1/2圆弧上，如图虚线示圆弧上，如图虚线示: 各粒子的运动轨迹如图实线示各粒子的运动轨迹如图实线示: 带电粒子可能经过的区域阴影部分如图斜线示带电粒子可能经过的区域阴影部分如图斜线示例例8 8、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下

9、高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图所示，环状匀通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为场的内半径为R R1 1=0.5m=0.5m，外半径外半径R R2 2=1.0m=1.0m，磁场的磁感强度磁场的磁感强度B B=1.0T=1.0T，若被束缚

10、带电粒子的荷质比为若被束缚带电粒子的荷质比为q/mq/m=4=4C/C/，中空区中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算（1 1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。速度。（2 2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。所有粒子不能穿越磁场的最大速度。解析：（解析：（1 1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切, ,轨迹如图所示。轨迹如图所示。由图中知，由图中知， 解得解

11、得由得由得得得 r12122121)(rRRrmr375. 011211rVmBqV smmBqrV/105 . 1711所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为大速度为smV/105 . 171OO2（2 2）当粒子以）当粒子以V V2 2的速度沿与内圆相切方向射的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以入磁场且轨道与外圆相切时，则以V V2 2速度沿速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图所示。界，如图所示。由图中知由图中知由由 得得所以所有粒子不能穿越磁场的最

12、大速度所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度带电粒子在有带电粒子在有“圆孔圆孔”的磁场中运动的磁场中运动mRRr25. 021222222rVmBqV smmBqrV/100 . 1722smV/100 . 172例例9 9、在如图所示的平面直角坐标系在如图所示的平面直角坐标系xoy中，有一个中，有一个圆形区域的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直圆形区域的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于于xoy平面，平面，O点为该圆形区域边界上的一点。现有一点为该圆形区域边界上的一点。现有一质量为质量为m，带电量为带电量为+q的带电粒子（重力不计）从的带电粒子（重力不计）从O点为以初速度点为以初速度vo沿

13、沿+x方向进入磁场，已知粒子经过方向进入磁场，已知粒子经过y轴上轴上P点时速度方向与点时速度方向与+y方向夹角为方向夹角为30，OP=L 求：求：磁感应强度的大小和方向磁感应强度的大小和方向 该圆形磁场区域的最小该圆形磁场区域的最小面积。面积。OyxPv0v0L分析分析: : OP的垂直平分线与的垂直平分线与v v0 0的反向延的反向延长线交于长线交于Q, Q, 作作OQOQ的垂直平分线与的垂直平分线与OP相相交于交于O, O即带电粒子运动轨迹圆的圆即带电粒子运动轨迹圆的圆心。带电粒子在磁场中所做的是心。带电粒子在磁场中所做的是1/31/3圆圆周的匀速圆周运动。周的匀速圆周运动。OyxPv0v

14、0OQOyxPv0v0解：解：（1）由左手定则得磁场方向垂直）由左手定则得磁场方向垂直xoy平面向里平面向里,粒子粒子在磁场中所做的是在磁场中所做的是1/3圆周的匀速圆周运动，如图所示，圆周的匀速圆周运动，如图所示，粒子在粒子在Q点飞出磁场，设其圆心为点飞出磁场，设其圆心为O，半径为半径为R，Q OL120(L-R)sin30=R R=L/3得由RMvBqv200qBmvR0 得得qLmvB03（2）由图得）由图得LROQ33322122LQOS例例10 、如图所示，现有一质量为、如图所示，现有一质量为m、电量为电量为e的电的电子从子从y轴上的轴上的P（0，a）点以初速度点以初速度v0平行于平

15、行于x轴射出，轴射出，为了使电子能够经过为了使电子能够经过x轴上的轴上的Q（b，0）点，可在点，可在y轴右侧加一垂直于轴右侧加一垂直于xOy平面向里、宽度为平面向里、宽度为L的匀强磁的匀强磁场，磁感应强度大小为场，磁感应强度大小为B，该磁场左、右边界与该磁场左、右边界与y轴轴平行平行,上、下足够宽（图中未画出）。已知，上、下足够宽（图中未画出）。已知， Lb。试求磁场的左边界距坐标原试求磁场的左边界距坐标原点的可能距离。点的可能距离。（结果可用反三角函数表示）（结果可用反三角函数表示）002mvmvaeBeBxy0Qv0P解：解：xy0Qv0P图图1设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为设电子在

16、磁场中作圆周运动的轨道半径为r, 则则200veBvmr0mvreB解得解得 当当rL时，磁场区域及电子运动轨迹如图时，磁场区域及电子运动轨迹如图1所示，所示，由几何关系有由几何关系有 0sinLeBLrmv则磁场左边界距坐标原点的距离为则磁场左边界距坐标原点的距离为1(1 cos ) cotxbLar 01(1 cos ) cotmvxbLaeB0arcsineBLmv（其中（其中 ） 当当rL时，磁场区域及电子运动轨迹如图时，磁场区域及电子运动轨迹如图2所示，所示，xy0Qv0P图图2由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为222()xbrar解得解

17、得 2022mv axbaeB例例11、设在地面上方的真空室内，存在匀强电设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场，已知电场强度和磁感应强度的场和匀强磁场，已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小方向是相同的，电场强度的大小E=4.0V/mE=4.0V/m，磁磁感应强度的大小感应强度的大小B=0.15TB=0.15T。今有一个带负电的质今有一个带负电的质点以点以v=20m/sv=20m/s的速度在的区域内沿垂直场强方向的速度在的区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量之比之比q/mq/m以及磁场的所有可能方向（角度可用反以及磁场的所有可能方向（角度可用反三角函数表示）。三角函数表示）。 分析：分析：带负电的质点在同时具有匀强电场、匀强磁场和重力场中做匀速直线运动，表明带电质点受重力mg、电场力qE和洛仑兹力qvB的作用处于平衡状态。因重力方向竖直向下，3个力合力为零，要求这3个力同在一竖直平面内，且电场力和洛仑兹力的合力方向应竖直向上。 由此推