题型分类汇编二计算题

1、题型三、计算题：注意：计算题部分是整个高等数学(经济数学)占分最重的一部分，希望大家好好巩固、做到举一反三.(一) 求数列、函数的极限：1. 求数列的极限：思路点拨：数列极限的典型特征便是无限项的加和，所以无法运用极限的四则运算，此时求解的方法是充分运用高中阶段数列前n项和的求法，主要方法有：拆项求和（等差数列与等比数列的加减）、公式法（适用于等差数列和等比数列）、裂项相消法（适用于分母为相邻几项的乘积）、倒序相加法、错位相减法（适用于等差数列与等比数列的复合）. 其中以公式法和裂项相消法为掌握的重点.(1) 公式法等差数列、等比数列求和：已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，则Sn=na

2、1+n(n-1)d/2; （d为公差）Sn=An2+Bn；A=d/2，B=a1-(d/2)Sn=2a1+(n-1)d n/2 已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，则(2) 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. (3) 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.(4) 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.(5)

3、通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和.(6) 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有：；，； ；.例题1. 求极限.例题2. 求极限.例题3. 求数列极限例题4. 求极限.2. 求函数的极限：思路点拨：常见的求极限问题归纳为八类主要题型，现总结如下;模型一 型方法：上下同除以的最高次幂例题5. 求极限例题6. 求极限例题7. 求函数极限例题8. 求极限例题9. 求极限 模型二：型原式=例题10. 求极限例题11. 求极限例题12. 求极限例题13. 求极限模型三：若，有界例题14. 求极

4、限例题15. 求极限例题16. 求极限模型四：(0/0型) ：适用于含有三角函数的函数求极限，实际运用时经常是它的变量替换形式，即当limxx0（x）=0时，limxx0sin（x）/ （x）=1例题17. 求极限例题18. 求极限例题19. 求极限例题20. 求极限例题21. 求极限模型五：(型)识别此类题型尤为重要，主要特征为未定式步骤如下：这种模型适用于分式函数幂的模型，常用到分离常数法和凑配法.通常运用它的变量替换形式，即当limxx0=时，有lim xx01+1/（x） （x）=e成立. 若是一元一次分式函数，则采用分离常数法；若是一元二次分式函数，则采用凑配法，即运用完全平方法或平

5、方差法.例题22. 求极限例题23. 求极限例题24. 求极限例题25. 求极限例题26. 求极限模型六： 等价无穷小替换：替换公式： 替换原则：乘除可换，加减忌换.例题27. 求极限例题28. 求极限例题29. 求极限例题30. 求极限例题31. 求极限例题32. 求极限例题33. 求极限例题34. 求极限模型七：洛必达法则：洛必达法则：若且在的邻域附近可导. 如果成立则. 注：洛必达法则处理的形式必须是未定式。对于,，等必须变形为形式. 方法是对分子分母同时求导，再代入检验，一直到极限不再是如上所述的不定式为止.洛必达法则是一个充分性的法则，若不存在，则说明此方法失效.洛必达法则只要前提正

6、确，可重复使用.一般而言，洛必达法则和求极限模型五配合使用效果会更佳.注意其和连续，可导概念结合的综合题.对于衍生不定式的处理方式现总结如下：0型：设f（x）g（x）为0型不定式，则lim f（x）g（x）=limf（x）/1 /g（x）是0/0型（或lim g（x）/1/f（x）是/型）；型：设f（x）g（x）为型不定式，则limf（x）g（x）=lim（1/1/f（x）1/1/g(x) ）=lim1/g（x）1/f（x）/1/f（x）1/g（x）是0/0型（即通分）；幂指形式的不定式（如00型、1型、0型）：设limf（x）g（x）为幂指形式的不定式，则limf（x）g（x）=limeg（

7、x）f（x）=elimg（x）f（x），而limg（x）f（x）为0型不定式，可将其化为0/0型或/型不定式，进而利用洛必达法则求解.例题35. 求极限例题36. 求极限例题37. 求极限例题38. 求极限例题39. 求极限例题40. 求极限例题41. 求极限例题42. 求极限例题43. 求极限例题44. 求极限模型八：变上限积分有关积分：变上限积分是函数的另一种重要形式。求导公式（其中）是一个非常重要的公式，它提供了利用导数来研究它的工具更一般的结论是：例题45. 求极限例题46. 求极限(二) 函数连续与可导之间的关系：思路点拨：函数的极限存在、连续、可导、可微四者之间的关系是：(1) 可

8、微与可导之间的关系: 函数在x处可微在x处可导.(2) 可导与连续的关系：若函数在点处可导，则在点x处连续，但函数连续不一定可导.(3) 导数与左右导数的关系：存在.(4) 函数在某一点处存在极限未必在该点处连续，但函数在该点处连续，在该点处也一定存在极限.(5) ,其中分别表示左、右极限.例题1. ，若在处连续，求.例题2. ，若在处连续，求.例题3. 讨论函数,在处的连续性与可导性.(三) 求复合函数的导数、微分：思路点拨：1. 复合函数在求导数时，一定要弄清楚是哪个函数与哪个函数的复合，可参照基本初等函数即可分辨出被复合的部分.因此我们将求导的所谓“链式规则”等价转化为求导“口诀”：“外

9、及里；号变号；则用则；层间乘”. 注意：导数符号“”在不同位置表示对不同变量求导数，这就要求一定要看清楚导数符号的位置.例如f（arcsinx）表示对arcsinx求导，即f（arcsinx）=df（arcsinx）/d（arcsinx），而f（arcsinx）表示对x求导，即f（arcsinx）=d f（arcsinx）/d（arcsinx）d（arcsinx）/d（x）= f（arcsinx）（arcsinx）= f（arcsinx）1/（1-x2）1/2（-1x1）.分段函数求导时，必须验证在分界点处的可导性；若不存在可导性，则分段函数在分界点处的导数无意义，最后所求得的导函数中不包括分

10、界点；若在分界点处可导，则分段函数中的各个部分才可采用求导法则以及求导公式，并且最后所求得的导函数中包含分界点.验证可导性时可利用导数的定义判断.2. 求复合函数的微分：在可导可微，且.可作为微分求解公式.例题1. 已知函数，求.例题2. 已知函数，求.例题3. 已知函数，求.例题4. 已知函数，求.例题5. 已知函数，求.例题6. 已知函数，求例题7. 已知函数.（1）求；（2）试判断在处的连续性.例题8. 已知函数，求.例题9. 已知函数，求.例题10. 已知函数，求.(四) 求隐函数、由参数方程所确定的函数的导数：1. 求隐函数的导数：思路点拨：隐函数导数的求法一般有三种方法：(1) 直

11、接求导法：方程两边对求导，要记住是的函数，则的函数是的复合函数. 例如，等均是的复合函数. 对求导应按复合函数连锁法则做.(2) 公式法. 由知 其中，分别表示对和的偏导数.(3) 利用微分形式不变性. 在方程两边求微分，然后解出.(4) 对数求导法：对数求导法适用于幂指函数、多因子乘幂型函数求导，方法如下： 将函数y=f（x）两边同时取自然对数，得到y=f（x）； 利用隐函数的求导方法进行求导，得到y的一个表达式； 将y用原式y=f（x）代换，此时新得到的表达式即为y的最终表达式.(5) 底数求导法：底数求导法与对数求导法一样，都是适用于幂指函数、多因子乘幂型函数求导，具体方法如下： 将函数

12、y=f（x）g（x）取自然底数，得到y=eg（x）f（x）； 利用复合函数的求导法则（链式法则）进行求导； 将含有自然底数的函数表达式还原为f（x）.例题1. 由确定隐函数，求.例题2. 由方程确定隐函数, 求.例题3. 已知由方程确定，求.2. 求由参数方程确定的导数：思路点拨： 已知，求,.求导公式： =，=.例题4. 已知 求,.例题5. 已知，求，并给出时的切线和法线方程.例题6. 已知由确定，求.(五) 导数的几何应用求切线方程、法线方程：思路点拨：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：.

13、若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为. 下面将列举四种常见的类型及解法.：已知切点，求曲线的切线方程.方法总结：此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可.例如：曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D. ：已知斜率，求曲线的切线方程.方法总结：此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决.例如：与直线的平行的抛物线的切线方程是（）A. B. C. D. ：已知过曲线上一点，求切线方程.方法总结：过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法.例如：求过曲线上的点的切线方程.：已知过曲线外一点，求切线方程.方法

14、总结：此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解.例如：求过点且与曲线相切的直线方程.例如：已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程.例如：曲线在点处的法线方程为_ .例题1. 已知函数，求过的切线方程.例题2. 过点引抛物线=的切线，求切线方程.例题3. 已知是周期为5的连续函数，它在的某邻域内满足关系式，其中是当时比的高阶无穷小，且 在处可导，求曲线在点处的切线方程.(六) 一元函数的不定积分（有理分式函数、三角函数、无理根式函数）思路点拨：求不定积分的四种基本方法：1. 直接积分法：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！例题1. 求不定积分 例题2. 求不定积分

15、例题3. 求不定积分 例题4. 求不定积分 例题5. 求不定积分例题6. 求不定积分 例题7. 求不定积分 例题8. 求不定积分 例题9. 求不定积分 例题10. 求不定积分 例题11. 求不定积分 例题12. 求不定积分 例题13. 求不定积分 例题14. 求不定积分 例题15. 求不定积分 例题16. 求不定积分 例题17. 求不定积分 例题18. 求不定积分 例题19. 求不定积分 例题20. 求不定积分例题21. 设，求.例题22. 一曲线通过点，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程.2. 第一换元法(凑微分法)：做数学题首先需要审题，审题看看是否需要凑微分

16、. 直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握.基本原理：.一些常见的固定类型 等等.常考模型：有理分式函数、三角函数、无理根式函数的不定积分.有理分式函数：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，若是假分式，通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后再具体问题具体分析. 也可以采用待定系数法解决有理分式函数的不定积分.四中典型的有理分式函数的不定积分：变分子为，再分项积分.变分子为，再分项积分.求R(x)dx的步骤：1. 将 Q(x) 在实数范围内分解成一次式和

17、二次质因式的乘积 .2. 将R(x)=P(x)/Q(x)拆成若干个部分分式之和. (分解后的部分分式必须是最简分式).3. 求出各部分分式的原函数 , 即可求得R(x)dx利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和，从而利用有理真分式的积分法求解.注意：若被积函数为(hx+e)/(ax2+bx+c)型，则他可分为(2ax+b)/(ax2+bx+c)与1/(ax2+bx+c)之和，前一式可用第一换元法，后一式分三种情况讨论：、当= b2-4ac0时，将ax2+bx+c因式分解，被积函数分项后，结合裂项相消用第一换元法即可，所利用的公式为= b2-4ac=0时，将ax2+bx+c写

18、成(Ax2+B)，再用第一换元法，所利用的公式为xu+1/u+1+C（u-1）= b2-4ac0时，配方得ax2+bx+c=(x+A)2+B，再利用第一换元法，所利用的公式为=三角函数： 三角函数的不定积分可以利用就近原则巧妙使用凑微分法求解不定积分.无理根式函数：可以采用第一换元法(凑微分法)，也可以采用第二换元法(变量替换法)去解决相关不定积分的问题，具体详见2.例题23. 求不定积分 例题24. 求不定积分 例题25. 求不定积分 例题26. 求不定积分 例题27.求不定积分 例题28. 求不定积分 例题29. 求不定积分 例题30. 求不定积分例题31. 求不定积分例题32. 求不定积

19、分例题33. 求不定积分例题34. 求不定积分例题35. 求不定积分 例题36. 求不定积分 例题37. 求不定积分 例题38. 求不定积分 例题39. 求不定积分 例题40. 求不定积分例题41. 求不定积分例题42. 求不定积分 例题43. 求不定积分例题44. 求不定积分 例题45. 求不定积分 例题46. 求不定积分例题47. 求不定积分 例题48. 求不定积分 例题49. 求不定积分 例题50. 求不定积分 例题51. 求不定积分 例题52. 求不定积分例题53. 求不定积分 例题54. 求不定积分 例题55. 求不定积分例题56. 求不定积分例题57. 求不定积分例题58. 求不定

20、积分 例题59. 求不定积分例题60. 求不定积分例题61. 求不定积分 例题62. 求不定积分 例题63. 求不定积分 例题64. 求不定积分 例题65. 求不定积分 例题66. 求不定积分 例题67. 求不定积分 例题68. 求不定积分 例题69. 求不定积分 例题70. 求不定积分例题71. 求不定积分3. 第二换元法(变量替换法)：常用的变量替换：三角替换、幂函数替换、指数函数替换、倒代换下面具体介绍这些方法.根式代换无理一次根式，设：；三角函数代换无理二次根式：被积函数含根式所作代换三角形示意图倒代换被积函数的分母为xn(x2a2) 或xn(a2-x2) 形式时，常可通过倒代换t=1

21、/x，消去分母中的xn的因子，当有理函数的分母比分子至少高一次幂时，倒代换通常有效.指数替换被积函数含ex时，由t=ex，设x=t；被积函数含(ex+a) 或(ex-a) 时，由(ex+a) 或(ex-a) =t，设x=(t2-a)或(t2+a).(1)根式代换：题型.方法：令，则.例题72. 求不定积分例题73. 求不定积分例题74. 求不定积分例题75. 求不定积分(2)三角换元法：题型 变换 变换 变换例题76. 求不定积分例题77. 求不定积分例题78. 求不定积分例题79. 求不定积分例题80. 求不定积分(3)倒代换：例题81. 求不定积分(4)指数代换：例题82. 求不定积分4.

22、 分部积分法适用于特定函数相乘时的积分公式：(1)模型：选取u=Pm(x)，v(x)=ex例题83. 求不定积分例题84. 求不定积分例题85. 求不定积分(2)或模型：选取u=Pm(x)，v(x)=cosx或sinx例题86. 求不定积分例题87. 求不定积分例题88. 求不定积分例题89. 求不定积分(3)或模型：可以选取u=ex，也可以选取cosx或sinx，最后利用解方程思想求解即可.例题90. 求不定积分(4)模型：选取u=(ax+b)或arcsin(cx+d)、arctan(mx+n)，v(x)= Pm(x)例题91. 求不定积分例题92. 求不定积分例题93. 求不定积分例题94

23、. 求不定积分例题95. 求不定积分补充内容：5. 含有绝对值的函数的积分：例题96. 求不定积分例题97. 求不定积分6. 分段函数的积分：例题98. 已知函数，求.7. 递推关系：例题99. 求不定积分8. 特殊的变换：例题100. 求不定积分9. 特殊的积分：例题101. 求不定积分例题102. 求不定积分例题103. 求不定积分10. 三角有理函数的积分万能代换公式：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角函数有理式.一般记为 R(sin x , cos x) ，则万能代换公式：则：注意：三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能代换. 通常含有sin2x、cos2

24、x及sinxcosx的有理式的积分时，用代换u=tanx往往更方便.例题104. 求不定积分例题105. 求不定积分例题106. 求不定积分(七) 一元函数的定积分有理分式函数、三角函数、无理根式函数、绝对值函数（分段函数）：思路点拨：1. 定积分的计算：定积分计算的主要依据是牛顿莱伯尼兹公式：设，则.其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第类直接交换法，注意积分限的变化：.例题1. 计算定积分例题2. 计算定积分例题3. 计算定积分 2. 特殊类函数的定积分计算：(1)含有绝对值函数的定积分计算：利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值

25、，直接积分即可.例题4. 计算定积分例题5. 计算定积分(2)分段函数的定积分计算：原理如同绝对值函数定积分的计算.例题6. 已知函数，求.例题7. 已知函数，求.(3)奇函数的定积分计算：如果 为定义在的奇函数，则，这是一个很重要考点.(4)偶函数的定积分计算：如果 为定义在的偶函数，则偶函数在对称区间上的定积分等于在区间0,a上的定积分的两倍. 这也是一个很重要的考点.3. 一些特殊的含有特定技巧的积分：例题8. 计算定积分例题9. 计算定积分例题10. 计算定积分4. 定积分的综合运用：例题11. 求.例题12. 计算定积分例题13. 设，在上连续，且，求例题14. 求, 其中为自然数.

26、例题15. 求例题16. 已知两曲线与在点处的切线相同，其中，试求该切线的方程并求极限.例题17. 试求正数与，使等式成立.例题18. 设，求, 并讨论的连续性.5. 广义积分的敛散性：定义：存在有限基本结论： （其中）复习时应着重掌握通过直接计算来研究广义积分的敛散性.例题19. 讨论的敛散性.例题20. 当为何值时，广义积分收敛？当为何值时，这个广义积分发散？又当为何值时，广义积分取得最小值？(八) 定积分的几何应用1. 求曲边图形的面积：思路点拨：(1) 曲线及轴所围图形，如下图，面积微元，面积.(2) 由上、下两条曲线及所围成的图形，如下页右图，面积微元，面积.(3)由左右两条曲线及所

27、围成图形（图见下页）面积微元（注意，这时就应取横条矩形 ，即取 为积分变量），面积.例题1. 求由与直线所围图形面积. 例题2. 求由轴所围图形面积.例题3. 求由所围图形面积.例题4. 求由过抛物线y=上点的切线与抛物线本身及轴所围图形的面积.例题5. 过作抛物线两切线，求两切线与抛物线本身所围图形的面积.例题6. 由直线及抛物线围成一个曲边三角形，在曲边上求一点，使曲线在该点处的切线与直线的围成的三角形面积最大.2. 求在直角坐标系下旋转体的体积：思路点拨：设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 上连续, 则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为.例题7. 计算由和轴所围成的平面

28、图形绕轴，轴分别旋转而得到的旋转体的体积.例题8. 已知抛物线(1)抛物线上哪一点处切线平行于轴？写出切线方程？(2)求由抛物线与其水平切线及轴所围平面图形的面积.(3)求该平面图绕轴旋转所成的旋转体的体积.(九) 求解一阶线性微分方程：1. 一阶齐次线性常微分方程的解法分离变量：思路点拨：一阶齐次线性常微分方程的基本型：基本解法： 分离变量：(原则:y与dy扎堆，x与dx扎堆或者是各找各爹，各找各妈)等式两边同时取不定积分例题1. 求解微分方程.例题2. 求解微分方程.例题3. 求解微分方程.例题4. 已知满足，求.2. 一阶线性常微分方程的解法公式法：思路点拨：基本模型(标准形)：.公式：

29、应用此公式要注意： 微分方程必须化为标准形式； 不定积分不带C.例题5. 求解微分方程.例题6. 求解微分方程.(十) 求二元函数的偏导数、全微分以及隐函数的求导：思路点拨：多元函数一阶偏导数计算主要有下面问题：(1) 显式函数一阶偏导；(2) 复合函数一阶偏导；(3) 隐函数一阶偏导数.1. 显函数的一阶偏导数的求法：函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数求一阶偏导数时，分母是哪个变量就把另外一个变量看做是常数.2. 显函数的二阶偏导数的求法：始终如一型：三心二意型(二阶混合偏导数)：求二阶偏导数时，分母中哪个变量在前就说明先对谁求的一阶偏导数.结论：在连续条件下.例题1. 已知

30、二元函数，求.例题2. 已知二元函数，求.例题3. 已知二元函数，求.3. 二元复合函数的求导连锁法则：我们用具体的例子来说明复合函数的求偏导的解题步骤。例如，其中为已知可微三元函数，求.第一步：变量的关系网络图其中1，2，3分别表示第二步：寻找与对应的路径，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”同理，寻找与对应的路径，.例题4. 已知二元复合函数，求.例题5. 已知二元复合函数求.4. 隐函数一阶偏导：由方程决定隐函数。求偏导公式为：，注意：这里的Fx指的是隐函数方程中将y和z看做是常数，仅仅对x求导数；同理，Fy指的是隐函数方程中将x和z看做是常数，仅仅对y求导数、Fz指的是隐函数方程

31、中将x和y看做是常数，仅仅对z求导数.例题6. 已知隐函数方程由方程决定，求.例题7. 已知隐函数方程，求.5. 全微分：，全微分，全微分例题8. 已知二元函数，求.例题9. 已知二元函数，求.例题10. 已知二元函数，求.(十一) 多元函数的积分学二重积分的计算：1. 直角坐标系下二重积分的计算：思路点拨：总口诀：(陈氏穿线法)后积先定常数限，先积方向正直穿；相交必须同一线，否则域内要分拆；隐含边界须周全，6类对称挂耳边；极坐标逆弧线， 多种边界同园拆。型区域图示8.1型区域图示8.2上述型，型区域的定限方法非常重要，将直角坐标下二重积分转换为累次积分，更复杂的区域可以看成（拆分）为若干型，

32、型区域组合而成.例题1. 已知由在第一象限所围的区域，计算.例题2. 已知由曲线轴所围的区域，计算.例题3. 已知由曲线在（1，1）点处切线，本身，轴所围的区域，计算.例题4. 已知为从，连线PQ，正方形，去除右上角剩余部分，计算.2. 极坐标系下二重积分的计算：思路点拨：极坐标系下二重积分的计算公式为：如下图所示：能否使用极坐标主要由被积函数的特点决定，而不是由区域特点所决定；使用极坐标方式有两种：原位法：平移法：.选择的原则是使被积函数容易积出，一般来说，被积函数具有或形式时，使用极坐标会大大简化计算. 如果选择不当会使积分求解复杂.常用结论： 例题5. 已知为计算.例题6. 已知为且，计

33、算.例题7. 已知且，计算例题8. 已知为圆周与轴在第一象限所围部分，求.(十二) 求幂级数的收敛半径、收敛域：思路点拨：(1)标准形式幂级数: 先求收敛半径 R，再讨论x=R处的敛散性. (2)非标准形式幂级数:通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法设liman+1/an=，则：当0时，R=1/=c（c为非零常数）；当=0时，R=1/=+；当=+时，R=1/=0.例题1. 求下列幂级数的收敛域：(1) (2) (3)例题2. 求下列幂级数的收敛域：(1)(2)例题3. 求下列幂级数的收敛半径：(1)(2)(十三)幂级数的和函数：思路点拨：1. 幂级数和函数的求法：若对幂级数中的每一个都有

34、，则称为幂级数的和函数.幂级数的部分和记为且部分和有如下性质 （1）定义法对于幂级数，若前项和函数列有极限，即 存在，则此幂级数收敛，且.例如：求幂级数的和函数，其中，.（2）分项组合法我们通过观察可以发现有些幂级数具有某些明显的特征，比如可以将已知级数的通项拆项组合，再计算所拆得各项的和函数，从而求得该级数的和函数。例如：求的和函数.（3）逐项求导与逐项积分法 若幂级数的通项系数是自然数或相邻的自然数相乘的形式，可考虑用“先积分，再求导”的做法；若幂级数的通项系数是自然数的倒数或相邻的自然数乘积的倒数，可考虑用“先求导，再积分”的做法。定理：设幂级数在内的和函数为，则1.在内每一点都是可导的

35、，且有逐项求导公式：求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径。2. 在内可以积分，且有逐项积分公式：其中是内任意一点，积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径。在函数项级数一致收敛的前提下，对其进行逐项微分或积分。通过逐项求导或逐项积分将给定的幂级数化为已知和函数的级数形式，从而得到新级数的和函数；将得到的和函数做与之前相反的分析运算，便得到所求幂级数的和函数。例如：求幂级数的和函数.例如：求幂级数的和函数.（4）代数方程法此种方法目的在于建立以所求幂级数的和为变量的代数方程，并解之，从而得到原幂级数的和函数。例如：设有等差数列 ： 等比数列 ： 则各项为等差数列、等比数列对应项的乘积所构成的

36、级数为求其和函数,其中为常数.例如：求幂级数 的和函数，其中 为 的 次多项式。（5）微分方程法在幂级数中，有一类含有阶乘运算的幂级数，这种幂级数的和函数的求法，在现行高等数学教材中涉及的不多，因此成为很多同学学习的一个盲点。此方法将通过实例介绍这类幂级数和函数的求法，把幂级数求和问题划归为求解微分方程的问题，也就是把幂级数的和函数微分后，再与原来幂级数作某种运算，得到一个含有幂级数和函数以及和函数导数的关系式，即微分方程。最后求解此微分方程即得和函数。例如：求幂级数 在下列情况下的和函数：，即公差为的等差数列，其中为常数；，即公比为的等比数列，其中为常数.（6）柯西方法如果级数 与 都绝对收敛，作这两个级数的乘积，其中，则也绝对收敛，且必有。例如:求幂级数的和函数（7）差分算子求和法此方法适用于通项系数是以为自变量的有限次多项式的幂级数求和问题。若为任意实函数，为差分算子，则定义函数的一阶差分为 阶差分为 定理：设为次多项式，则当时收敛，而且其和函数 例如：求幂级数 的和函数.2. 函数的幂级数展开式：常用函数的幂级数展开式：(1)(2)例题1. 求下列级数的和函数(1) (2) (3)例