选修复数全套学案

1、§ 数系的扩充与复数的概念 学习目标 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念. 学习过程 一、课前准备（预习教材P60 P62，找出疑惑之处）复习1：实数系、数系的扩充脉络是： ，用集合符号表示为： 复习2：判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：（1） （2） （3） （4）二、新课导学 学习探究探究任务一：复数的定义 问题：方程的解是什么？为了解决此问题，我们定义，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 . 新知：形如的数叫做复数，通常记为（复数的代数形式），其中叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集.

2、试试：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。，0反思：形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部.对于复数当且仅当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数；探究任务二：复数的相等若两个复数与的实部与虚部分别 ，即: ， .则说这两个复数相等.= ；=0 .注意:两复数 比较大小. 典型例题例1 实数取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式：已知复数，试求实数分别取什么值时，分别为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ 小结：数集的关系： 例2已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：的值. 变式：设复数，则

3、为纯虚数的必要不充分条件是（ ） A B且C且 D且小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件. 动手试试练1. 若，求的值.练2. 已知是虚数单位，复数，当取何实数时，是：（1）实数；（2） 虚数；（3）纯虚数；（4）零.三、总结提升 学习小结1. 复数的有关概念；2. 两复数相等的充要条件；3. 数集的扩充. 知识拓展复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同时也体现了人类理性思维的作用. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一

4、般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 实数取什么数值时，复数是实数（ ）A0 B C D2. 如果复数与的和是纯虚数，则有（ ）A且 B且C且D且3. 如果为实数,那么实数的值为（ ）A1或 B或2 C1或2 D或4.若是纯虚数，则实数的值是 5. 若，则实数= ；= . 课后作业 1. 求适合下列方程的实数与的值:(1)(2)2. 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在，请举出例子；若不存在,请说明理由.(1)实部为的虚数(2)虚部为的虚数(3)虚部为的纯虚数§ 复数的几何意义 学习目标 理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描

5、出其对应的点及向量. 学习过程 一、课前准备（预习教材P62 P64，找出疑惑之处）复习1：复数，当取何值时为实数、虚数、纯虚数？复习2：若，试求的值，（呢？）二、新课导学 学习探究探究任务一：复平面 问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？ 分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.结论：复数与平面内的点或序实数一一对应.新知：1.复平面：以轴为实轴， 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面.复数与复平面内的点一一对应.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外

6、，虚轴上的点都表示纯虚数.2. 复数的几何意义:复数复平面内的点；复数平面向量；复平面内的点平面向量.注意：人们常将复数说成点或向量，规定相等的向量表示同一复数.3. 复数的模向量的模叫做复数的模,记作或.如果,那么是一个实数,它的模等于(就是的绝对值),由模的定义知:试试：复平面内的原点表示 ，实轴上的点表示 ，虚轴上的点表示 ，点表示复数 反思：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的. 典型例题例1在复平面内描出复数，0分别对应的点.变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1). 小结：复数复平面内的点. 例2已知复数，试求实数分别取什么值时，对应的点（1）在

7、实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线上；（4）在上半平面（含实轴）变式：若复数表示的点（1）在虚轴上，求实数的取值；（2）在右半平面呢？小结：复数平面向量. 动手试试练1. 在复平面内画出所对应的向量.练2. 在复平面内指出与复数，对应的点，.试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.三、总结提升 学习小结1. 复平面的定义；2. 复数的几何意义；3复数的模. 知识拓展 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是（2）任何两个复

8、数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（ ）A3 B4 C5 D62. 对于实数，下列结论正确的是（ ）A是实数 B是虚数C是复数 D 3. 复平面上有点A，B其对应的复数分别为和，O为原点，那么是是（ ）A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D正三角形4. 若，则 5. 如果P是复平面内表示复数的点，分别指出下列条件下点P的位置：（1） （2） （3） （4） 课后作业 1实数取什么值时，复平面内表示复数的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线上

9、？2. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数是（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数.（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.§ 复数代数形式的加减运算及其几何意义 学习目标 掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义. 学习过程 一、课前准备（预习教材P66 P67，找出疑惑之处）复习1：试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量.复习2：求复数的模 二、新课导学 学习探究探究任务一：复数代数形式的加减运算规定：复数的加法法则如下：设，是任意两个复数，那么。很明显，两个复数的和仍然是 .问题：复数的加法满足交换律、结合律吗？ 新知

10、：对于任意，有探究任务二：复数加法的几何意义问题：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？由平面向量的坐标运算，有=（ ）新知：复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）试试：计算（1）= （2）= （3）= （4）= 反思：复数的加法运算即是： 探究任务三：复数减法的几何意义问题：复数是否有减法？如何理解复数的减法？类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算.新知：复数的减法法则为：由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.复数减法的几何意义：复数的减法运算也可以按向量的

11、减法来进行. 典型例题例1 计算 变式：计算（1）（2）（3）小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减. 例2 已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0，试求： （1）表示的复数；（2）表示的复数；（3）B点对应的复数.变式： ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是，求点D对应的复数.小结：减法运算的实质为终点复数减去起点复数，即： 动手试试练1. 计算：（1）；（2）；（3）；（4）练2. 在复平面内，复数与对应的向量分别是与，其中是原点，求向量，对应的复数.三、总结提升 学习小结两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以

12、按照向量的加减法进行. 知识拓展复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 是复数为纯虚数的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件 D既非充分也非必要条件2. 设O是原点，向量，对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（ ）A B C D3. 当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4. 在复平面内表示的点在第 象限.5

13、. 已知，点和点关于实轴对称，点和点关于虚轴对称，点和点关于原点对称，则= ；= ；= 课后作业 1. 计算：（1）；（2）；（3）；（4）2. 如图的向量对应的复数是，试作出下列运算的结果对应的向量： （1）；（2）；（3） § 复数代数形式的乘除运算 学习目标 1. 理解共轭复数的概念；2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算. 学习过程 一、课前准备（预习教材P68 P70，找出疑惑之处）复习1：计算（1） （2） （3） 复习2：计算： = = = 二、新课导学 学习探究探究任务一：复数代数形式的乘法运算规定，复数的乘法法则如下：设，是任意两个复数，那么 =即：两个复数相乘，类似

14、于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可.问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？试试：计算（1） （2） （3）（4）新知：对于任意，有反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律.探究任务二：共轭复数新知：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.试试：的共轭复数为 的共轭复数为 的共轭复数为 问：若是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系为： （2）是一个怎样的数？ 探究任务三：复数的除法法则 典型例题例1 计算：（1）；

15、（2）变式：计算：（1）；（2）；（3） 小结：复数的乘法运算类似于实数集上的乘法运算. 例2 计算（1）；（2）变式：计算（1），（2） 小结：复数的除法运算类似于实数集上的除法运算。 动手试试练1. 计算：（1）练2. 计算：（1）， （2）， （3）三、总结提升 学习小结1. 复数的乘除运算； 2. 共轭复数的定义. 知识拓展具有周期性，即：； 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 复数的共轭复数是（ ）A B C D2. 复数的值是（ ）A B C D13. 如果复数的实部

16、和虚部互为相反数，那么实数的值为（ ）A B2 C D4.若，则的值为 5. 若复数满足，则的值为 课后作业 1. 计算：（1）；（2）（3）；（4）2. 已知是关于的方程的一个根，求实数的值.第三章 数系的扩充与复数的引入（复习课） 学习目标 掌握复数的的概念，复数的几何意义以及复数的四则运算. 学习过程 一、课前准备（预习教材P72找出疑惑之处）复习1：复数集C、实数集R、有理数集Q、整数集Z和自然数集N之间的关系为： 复习2：已知，求.二、新课导学 学习探究探究任务：复数这一章的知识结构问题：数系是如何扩充的？本章知识结构是什么？新知：试试：若，且为纯虚数，求实数的值.变式：（1）对应的

17、点在复平面的下方（不包括实轴），求的取值范围.（2）对应的点在直线，求实数的值.反思：若复数是实数，则 是虚数，则 ；是纯虚数，则 ；其模为 ；其共轭复数为 .若，则 . 典型例题例1 已知，复数，当为何值时，（1）？（2）是纯虚数？（3）对应的点位于复平面第二象限？（4）对应的点在直线上？变式：已知，其中是实数，是虚数单位，则= 小结：掌握复数分类是解此题的关键.在计算时，切不可忘记复数为纯虚数的一个必要条件是，计算中分母不为0也不可忽视. 例2 设存在复数同时满足下列条件：（1）在复平面内对应的点位于第二象限；（2）；试求的取值范围变式：已知复数满足，求复数 小结：复数问题实数化是解决复数

18、问题的主要方法，其转化的依据主要就是复数相等的充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式，由复数相等得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量. 例3 在复平面内（1）复数，（2）满足的复数，对应的点的轨迹分别是什么？ 动手试试练1. 已知复数，当实数取什么值时，复数是（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.练2. 若，则实数的值（或范围）是 .三、总结提升 学习小结复数问题实数化是解决复数问题最基本的也是最重要的思想方法，其转化的依据主要就是复数相等的充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式，由复数相等可以得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个