透视仿射对应仿射对应仿射变换及其关系图形的仿射性质和仿射变换的特例

1、章主要讨论透视仿射对应，仿射对应，仿射变换及其关系，图形的仿射性质和仿射变换的特例。关键词：透视仿射对应，仿射变换，仿射对应，仿射坐标，图形的仿射性质，单比，同素性，结合性，平行性;引言在欧氏平面上建立仿射坐标系，研究仿射变换下图形的仿射性质（单比，同素性，结合性，平行性）及仿射变换的特例（正交变换，位似变换，相似变换，压缩变换等）为以后学习射影变换和图形的射影性质打下基础。1. 预备知识1.1单比定义1：设,是有向直线上的两个定点， 是这有向直线的另一点，分有向线段为两个有向线段和，则其量数的比叫做三点的单比；记为，即=，其中 ，叫做基点，叫做分点显然 当在,之间时, 当在,之外时, 当与重

2、合时, 当与重合时, 不存在 当为线段的中点时, =-1.如果已知一直线上三点的单比,另一直线上两点,则在第二直线上可以唯一地确定一点而使=。现在我们将共线三点的单比用坐标表示。 定理：设共线三点的仿射坐标顺次为则单比 =； 这就是单比的坐标表示。1.2 透视仿射对应. 透射仿射对应的分类一般透射仿射对应可以分为两个：（1）二直线间的透视仿射对应定义1：在一平面上设有直线和，为此平面上与，均不平行的另一直线，通过直线上各点分别作与平行的直线，顺次交于这样 （图1）使得到直线上点到上点的一个一一对应,称为透视仿射对应。 如果直线与相交，则交点是透视仿射对应的二重点或称自对应点， （如是自对应点）

3、；（2）二平面间的透视仿射对应 定义2：设有两个平面与，通过平面内各点引平行线交于这样使平面内的点与平面内的点建立一种一一对应 （图2）关系，这种对应叫做到的透视仿射对应。如果平面和相交于直线，则上的每个点都是自对应点，并且在平面和间的透视仿射对应下的所有自对应点都在其交线上，直线叫做透视轴，简称轴，如果平面和平行则无自对应点，也不存在透视轴了。显然，透视仿射对应由平行射影所得到的对应。 透视仿射对应的性质透视仿射对应具有如下的性质：（1）透视仿射对应保持同素性； 即透视仿射对应使点对应点，直线对应直线，我们称这个性质为同素性。（2）透视仿射对应保持结合性；如图2中，点在直线上，经过透视仿射对

4、应后，其对应点在对应直线上，这就是说，透视仿射对应保持点和直线的结合关系。（3）透视仿射对应保持共线三点的单比不变；如图2中，平面内的共线三点，经过透视仿射对应后，变为平面内的共线三点由于互相平行，所以有，即；（4）透视仿射对应保持二直线的平行性；图3中，在平面内，直线，经过平面和间的透视仿射对应后，对应，对应，对应，对应；容易可得，； （图3） 1.3 仿射对应 . 仿射对应的分类我们所讨论的仿射对应有两种情况：（1）两直线间的仿射对应定义1：设同一平面内有条直线，顺次表示到，到，到的透视仿射对应，经过这一串透视仿射对应，使上的点与上的点建立了一一对应，这个对应称为到的仿射对应，用表示，于是

5、有，即间的一一对应。 （图4） 定义2：（两直线间的仿射变换的另一种定义）：两直线之间的一个一一对应，如果满足任何三点的单比不变，那么这种对应叫做两直线间的仿射对应。（2）两平面间的仿射对应定义1:设有个平面,如果在平面偶之间都存在着透视仿射对应,即每两个相邻平面之间都存在着平行投影,这样在平面与的点之间就建立一种一一对应,这种对应叫做平面到的仿射对应. 既有限个透视仿射对应的乘积为一个仿射对应。 (图5表示经过四次平行投影而得到的平面到的仿射对应.) （图5）定义2：(两平面间的仿射对应的另一种定义)两个平面与之间的一个一一对应,如果满足以下条件:任何共线点的象仍是共线点，任何共线三点的单比

6、不变；则此一一对应叫做平面与的仿射对应。仿射对应和透视仿射对应的关系将透视仿射对应可以看作仿射对应,但是仿射对应不一定透视仿射对应，因为在透视仿射对应中,连接对应点的直线相互平行,但是在仿射对应中,连接对应点的直线不一定相互平行.仿射对应的性质仿射对应具有下列性质：(1) 仿射对应保持同素性和结合性，(2) 仿射对应保持共线三点的单比不变， (3) 仿射对应保持直线的平行性；2. 仿射变换下面介绍仿射变换的三种定义：定义1：如果平面与重合，则到的仿射对应叫做平面到自身的仿射变换。定义2：平面上点之间的一个线性变换中，如果，则这种变换叫做仿射变换。定义3：平面内的点之间的一个一一变换，如果满足以

7、下条件：（1）任何共线点的象仍是共线点，（2）任何共线三点的单比不变;则此一一变换叫做平面内的仿射变换。2.1. 仿射变换的性质仿射变换具有下列性质；(1) 仿射变换保持同素性和结合性，(2) 仿射变换保持共线三点的单比不变； (3) 仿射变换保持直线的平行性。2.2. 仿射变换的代数表示式设在平面内给定仿射坐标系,如果有一个仿射变换把变为坐标系,把点变为点,其中都是对于的坐标。现在要求出与的关系,假定向量在坐标系中的坐标分别为,点在坐标系中的坐标为。（图6） 在图6中,由于仿射变换保持平行性不变,所以为平行四边形（分别为的象),又由于仿射变换保持单比不变,所以点在坐标系中的坐标为。因为 所以

8、 但是 比较以上两个等式得 这就是仿射变换的代数表示式。推论:不共线的三对对应点决定唯一一个仿射变换。例1：求使三点顺次变到点的仿射变换。解：设所求仿射变换为于是有 ， , , ， ， 解方程组,得 , ， , 故所求的仿射变换为例2：试确定仿射变换,使轴, 轴的象分别为直线,且点的象为原点。解：设式为所求变换的逆变换表示式,于是有的象为的象为但由题设的对应直线 的对应直线，所以 与表示同一直线,即 因此,有 同理,由于 与表示同一直线,所以,有 又因为的象为，所以 , 代入，得所求变换式的逆变换式为解出,得所求变换式为;3. 图形的仿射性质定义：图形经过任何仿射变换后都不变的性质(量),称为

9、图形的仿射性质.(仿射不变量).由以上可知同素性,结合性是图形的仿射性质,单比是仿射不变量,关于图形的仿射性质。下面再利用仿射变换的代数表示推论一些仿射性质与仿射不变量。定理1：两条平行直线经过仿射变换后仍变为两条平行直线。证明：设在笛氏坐标系下,已知二平行直线： 其中 ，经过仿射变换后,，分别变为： 令 ， 则 ； 于是 ， ， 但是 （因为否则将有，因此）所以，表示的两直线平行。由定义1得到下面的两种推论：推论1：两条相交直线经仿射变换后仍变成两条相直线。推论2：共点的直线经仿射变换后仍变为共点的直线。定理2：两平行线段之比是仿射不变量。证明：设在笛氏直角坐标系下，已知四点且经过仿射变换后

10、变为。 则由定理1知，所以， 由仿射变换可得 因此有又 ， 所以 ；推论：一直线上两线段之比是仿射不变量。定理3：两个三角形面积之比是仿射不变量。证明：在笛氏直角坐标系下，已知不共线三点，则的面积为 的绝对值经过仿射变换后变为，则 ， 的面积为 的绝对值. 的绝对值. 的绝对值. 所以 同理，另一个三角形与其象三角形面积之比 ； 所以 根据定理3可得下面的两个推论：推论1：两个多边形面积之比是仿射不变量。推论2：两个封闭图形面积之比是仿射不变量。例1：求一仿射变换，将椭圆变成一个圆。 解：设，则变换 是一个仿射变换，椭圆 经过这个仿射变换后的象为 ；这是一个圆。当然也可以经过一个仿射变换将圆变

11、为椭圆（如例2）。由于圆和椭圆为仿射对应图形，所以可以从圆的某些性质导出椭圆的一些性质，如图7，已知及其内切圆，内切圆与三边形的切点顺次为，则三线共点，经过放射变换，圆的象为椭圆，三角形的象仍为三角形，又由于仿射变换保持结合性。所以图7的对应图形为图8，显然有三线共点。（图7）（图8）例2：求椭圆的面积。解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为，经过仿射变换 其对应图形为圆 如图9，在仿射变换之下，所以对应，其中；有 , (图9)所以 因此所给椭圆的面积为；4. 仿射变换的特殊情况仿射变换的特殊情况有几种:(1)正交变换定义：平面上的变换,如果保持任何两点的距离不变,即当时必然有,这样的变换叫做平

12、面上的正交变换。正交变换的代数表示式为 正交变换的系数必顺满足以下条件 （2）位似变换定义：在平面上取定一点,规定的象即自己,平面上其他点与其象点满足以下条件:点在直线上单比 (为常数),则这种变换叫做位似变换,常数叫做位似比,定点叫做位似中心；（图10） （图11）在位似变换下,除位似中心外,其他任何两点的连线与它们对应点的连线平行,在图10与图11分别表示位似比与的情况,其中为位似中心，为三对对应点。下面求位似变换的代数表示式。取笛氏直角坐标系的原点为位似中心，设点在位似变换下变成点， 则 其中为位似比。更一般地，考虑变换 不难证明所表示的变换或者是一个以原点为位似中心的位似变换于一个平移

13、的乘积，或者是二者之中的一个（当时为平移，当时为位似变换）。(3)相似变换定义：平面上的变换,如果任何两点，与其象点,满足以下条件 (为常数)则这种变换叫做相似变换.叫做相似比。相似变换是正交变换的推广(时即为正交变换),正交变换保持图形的大小与形状都不变,而相似变换只保持图形的形状不变.但是不一定保持大小不变.相似变换可以表示为一个正交变换与一个位似变换的乘积.所以在笛氏直角坐标系下,相似变换的代数表示式为其中为四个独立参数。当时,叫做同向相似变换；当时,叫做异向相似变换。不难看出同向相似变换是第一种正交变换与位似变换的乘积，异 ( 图12）向相变换是第二种正交变换与位似变换的乘积。注意：同向相似变换与异向相似变换也可以分别写为其中 与 其中 相似变换具有以下性质：共线点变为共线点；共线三点的单比保持不变；两直线所构成的角度不变。(4)压缩变换 定义：形式如 的变换叫做压缩变换。仿射变换的特殊情况很多，不只以上几种，这里不再一一列举了。总结上面论述了关于仿射变换与它的特殊情况的有些概念证明和例题。希望读者在阅读过程中进一步探索规律，总结证明方法，从而讯速，准确的解决与仿射变换有关的问题，而不断提高对仿射变换的了解。参考文献梅向明，刘增贤等编，高等几何，高等教育出版社 M 1983年11月第一版 (17-34)梅向明，刘增贤等编，高等