考研数学考前必背常考公式集锦线性代数篇

1、2016考研数学考前必背：常考公式集锦（线性代数篇）离考试还有最后几天，跨考教育数学教研室牛老师为考生整理了2016年数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生最后冲刺复习有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。1、行列式的展开定理行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即推论：行列式的一行（或列）所有元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零，即2、设，（注意的列数和的行数相等），定义矩阵，其中，称为矩阵与矩阵的的乘积，记作.如果矩阵为方阵，则定义为矩阵的次幂.不成立的运算法则3、设为阶方阵，为它的伴随矩阵则有.设为阶方阵，那么当或时，有4、对单位

2、矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：交换单位矩阵的第行和第行得到的初等矩阵记作，该矩阵也可以看做交换单位矩阵的第列和第列得到的.如.将一个非零数乘到单位矩阵的第行得到的初等矩阵记作；该矩阵也可以看做将单位矩阵第列乘以非零数得到的.如.将单位矩阵的第行的倍加到第行上得到的初等矩阵记作；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第列的倍加到第列上得到的.如.注：1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的.2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵看做列变换是将单位矩阵第列的倍加到第列，这一点考生比

3、较容易犯错.5、矩阵最高阶非零子式的阶数称之为矩阵的秩，记为.1）；2）； 3）且各行元素成比例；4）设为阶矩阵，则.6、线性表出设是个维向量，是个常数，则称为向量组的一个线性组合.设是个维向量，是一个维向量，如果为向量组的一个线性组合，则称向量可以由向量组线性表出.线性相关设是个维向量，如果存在不全为零的实数，使得，则称向量组线性相关.如果向量组不是线性相关的，则称该向量组线性无关.与线性表出与线性相关性有关的基本定理定理1：向量组线性相关当且仅当中至少有一个是其余个向量的线性组合.定理2：若向量组线性相关，则向量组也线性相关.注：本定理也可以概括为“部分相关整体相关”或等价地“整体无关部分

4、无关”.定理3：若向量组线性无关，则向量组的延伸组也线性无关.定理4：已知向量组线性无关，则向量组线性相关当且仅当可以由向量组线性表出.定理5：阶梯型向量组线性无关.定理6：若向量组可以由向量组线性表出，且线性无关，则有.注：本定理在理论上有很重要的意义，是讨论秩和极大线性无关组的基础.定理内容也可以等价的描述为：若向量组可以由向量组线性表出，且，则线性相关.对于这种描述方式，我们可以把定理内容简单地记为：“多数被少数线性表出，则必相关.”定理7： 个维向量必然线性相关.7、线性方程组解的存在性设，其中为的列向量，则线性方程组有解向量能由向量组线性表出；线性方程组解的唯一性当线性方程组有解时，

5、的解不唯一（有无穷多解）线性方程组的导出组有非零解；向量组线性相关；.注：1）注意该定理成立的前提条件是线性方程组有解；也就是说，仅告知是不能得到有无穷多解的，也有可能无解.2）定理2是按照有无穷多解的等价条件来总结的，请考生据此自行写出有唯一解的条件.8、特征值和特征向量：设为阶矩阵，是一个数，若存在一个维的非零列向量使得关系式成立.则称是矩阵的特征值，是属于特征值的特征向量.设为阶单位矩阵，则行列式称为矩阵的特征多项式.注：1）要注意：特征向量必须是非零向量；2）等式也可以写成，因此是齐次线性方程组的解，由于，可知是有非零解的，故；反之，若，那么齐次线性方程组有非零解，可知存在使得，也即.

6、由上述讨论过程可知：是矩阵的特征值的充要条件是（或），而特征值的特征向量都是齐次线性方程组的非零解.3）由于是次多项式，可知有个根（包括虚根），也即阶矩阵有个特征值；任一特征值都有无穷多特征向量9、矩阵的相似对角化定理1：阶矩阵可相似对角化的充要条件是矩阵存在个线性无关的特征向量.同时，在等式中，对角矩阵的元素为的个特征值，可逆矩阵的列向量为矩阵的个线性无关的特征向量，并且中特征向量的排列顺序与中特征值的排列顺序一致.推论：设矩阵有个互不相同的特征值，则矩阵可相似对角化.定理2：阶矩阵可相似对角化的充要条件是对任意特征值，线性无关的特征向量个数都等于的重数.推论：阶矩阵可相似对角化的充要条件是

7、对任意特征值，的重数.10、设为实对称矩阵（），则关于的特征值与特征向量，我们有如下的结论：定理1：的所有特征值均为实数，且的的所有特征向量均为实数.定理2：属于不同特征值的特征向量必正交.定理3：一定有个线性无关的特征向量，即可以对角化.且存在正交矩阵，使得，其中为矩阵的特征值.我们称实对称矩阵可以正交相似于对角矩阵.11、如果二次型中，只含有平方项，所有混合项的系数全为零，也即形如，则称该二次型为标准形。如果二次型合同于标准形，则称为二次型的合同标准形。利用正交变换法求二次型的合同标准形由于实对称矩阵是可以正交相似对角化的，也即存在正交矩阵及对角矩阵，使得。而求二次型的合同标准形就是求可逆矩阵以及对角矩阵，使得，对比可知，我们可以将可逆矩阵取成，此时就等于。正交矩阵及对角矩阵的求法我们在上一章有详细的介绍，这里不再赘述。正交变换法是求二次型合同标准形的主要方法，考生要熟练掌握。需要注意的是，二次型的合同标准形是不唯一的，但通过正交变换法求得的标准形是唯一的（不考虑排列次序的话），标准形中平方项的系数均为矩阵的特征值，同时正交矩阵的列向量都是矩阵对应的特征向量。可