窗函数法设计FIR滤波器

1、FIR数字滤波器的设计方法 IIR数字滤波器最大缺点：不易做成线性相位，而现代图像、语声、数据通信对线性相位的要求是普遍的。正是此原因，使得具有线性相位的FIR数字滤波器得到大力发展和广泛应用。1 线性相位FIR数字滤波器的特点 FIR DF的系统函数无分母，为，系统频率响应可写成：，令，H(w)称为幅度函数，称为相位函数。这与模和幅角的表示法有所不同，H(w)为可正可负的实数，这是为了表达上的方便。如某系统频率响应，如果采用模和幅角的表示法，的变号相当于在相位上加上，从而造成相位曲线的不连贯和表达不方便，而用这种方式则连贯而方便。 线性相位的FIR滤波器是指其相位函数满足线性方程： （是常数

2、）根据群时延的定义，式中表示系统群时延，表示附加相移。线性相位的FIR系统都具有恒群时延特性，因为为常数，但只有0的FIR系统采具有恒相时延特性。问题：并非所有的FIR系统都是线性相位的，只有当它满足一定条件时才具有线性相位。那么应满足什么样的条件？从例题入手。例题：令h(n)为FIR数字滤波器的单位抽样相应。时h(n)=0，并假设h(n)为实数。（a） 这个滤波器的频率响应可表示为（这是按幅度函数和相位函数来表示的，不是用模和相角的形式），为实数。（N要分奇偶来讨论）（1） 当h(n)满足条件时，求和（）（2） 当h(n)满足条件时，求和（）（b） 用表示h(n)的N点DFT（1） 若h(n

3、)满足，证明H(0)=0；（2） 若N为偶数，证明当时，H(N/2)=0。解：（a）（1），当N为奇数时，其中幅度函数：得到 得到 ，。所以，得出，。得出第一类FIR DF的特点：ü 恒相时延，相位曲线是过原点的曲线；ü 可通过h(n)灵活设计幅度函数的零点位置；ü 幅度函数对频率轴零点偶对称，对点偶对称。（1），当N为偶数时，其中得到， 所以，得出，。第二类FIR DF的特点：ü 恒相时延，相位曲线是过原点的直线；ü 幅度函数对频率轴零点偶对称；ü 幅度函数对频率轴点奇对称。由的连续性，点一定是幅度函数的零点。即时，在z=-1处有零

4、点；因此这类滤波器不适合高通或带阻滤波器。（2），当N为奇数时推导省略，结果是，。第三类FIR DF的特点：ü 恒群时延，有附加相移，相位曲线是截距为、斜率为的直线；ü 幅度函数对零频点奇对称，零频是的零点；ü 对奇对称，也是的零点。（2），当N为偶数时推导省略，结果是，。第四类FIR DF的特点：ü 恒群时延，有附加相移，相位曲线是截距为、斜率为的直线；ü 幅度函数对零频点奇对称，零频是的零点；ü 对偶对称。（b）（1），当，不论N为奇数还是偶数，中都含有项，所以。（2），N为偶数 ，因为（）是的奇数倍，因此0，即。问题：FIR D

5、F线性相位的条件是什么？总结四种FIR DF的特点：u 当h(n)为实数且偶对称时，FIR DF为恒相时延，相位曲线是一条过原点、以为斜率的直线。信号通过这类滤波器后，各种频率分量的时延都是。当N为奇数时，时延是整数，是采样间隔的整数倍，采样点时延后仍是采样点。但当N为偶数时，时延不是整数，采样点时延后就不在采样点位置上了，这在某些应用场合会带来一些意外的问题。同时，N为偶数时，点是幅度的零点，不能做高通、带阻滤波器。一般情况下，第一类FIR DF特别适合做各种滤波器。u 当h(n)为实数且奇对称时，FIR DF仅是恒群时延。相位曲线是一条截距为2，以为斜率的直线。信号通过该滤波器产生的时延也

6、是个采样周期，但另外对所有频率分量均有一个附加的90度的相移。单边带调制及正交调制正需要这种特性。因此这种滤波器特别适合做希尔伯特滤波器以及微分器。FIR滤波器的极点都在原点上，而h(n)是因果稳定的有限长序列，因此H(z)在有限z平面上是稳定的。线性相位FIR DF的零点有自己的特点：它们必定是互为倒数的共轭对。证明如下：（线性相位） （z变换的性质）如果是一个零点，代入上式有0，则也是零点。因为零极点总是成共轭对出现（有理分式特性），所以，也是零点。所以，都是零点。2 窗函数设计法因为，对FIR系统而言，冲击响应就是系统函数的系数。因此设计FIR滤波器的方法之一可以从时域出发，截取有限长的

7、一段冲击响应作为H(z)的系数，冲击响应长度N就是系统函数H(z)的阶数。只要N足够长，截取的方法合理，总能满足频域的要求。一般这种时域设计、频域检验的方法要反复几个回合才能成功。2.1 设计原理设计目标：设计一个线性相位的FIR DF；已知条件：要求的理想频率响应。是w的周期函数，周期为，可以展开成傅氏级数，其中是与理想频响对应的理想单位抽样响应序列。但不能用来作为设计FIR DF用的h(n)，因为一般都是无限长、非因果的，物理上无法实现。分析：为了设计出频响类似于理想频响的滤波器，可以考虑用h(n)来近似。窗函数的基本思想：先选取一个理想滤波器（它的单位抽样响应是非因果、无限长的），再截取

8、（或加窗）它的单位抽样响应得到线性相位因果FIR滤波器。这种方法的重点是选择一个合适的窗函数和理想滤波器。例1：设截止频率为的理想FIR低通滤波器，其理想频响是，其中称为采样延时。对应的由下式求出：注意：关于对称，这对设计线性相位的FIR DF很重要。 为了从中得到FIR滤波器，可以对进行截取，如果要得到一个线性相位、因果的FIR滤波器，则设截取后得到的h(n)的长度为M，h(n)一定满足这种操作称为“加窗”。h(n)可看作是和的乘积其中根据的不同定义，可得到不同的窗函数。在上例中称为矩形窗。 在频域中，因果FIR滤波器响应由和窗响应的周期卷积得到。即。矩形窗的窗谱 ，它的幅度函数为。当很小时

9、，这是一个函数，每隔正负交替一次。由卷积定义得到卷积结果如图7-8所示。比较加矩形窗后的低通频谱和理想低通频谱可得到以下结论：u 加窗使过渡带变宽，过渡带的带宽取决于窗谱的主瓣宽度。矩形窗情况下的过渡带宽是。N越大，过渡带越窄、越陡；u 过渡带两旁产生肩峰，肩峰的两侧形成起伏振荡。肩峰幅度取决于窗谱主瓣和旁瓣面积之比。矩形窗情况下是8.95，与N无关。工程上习惯用相对衰耗来描述滤波器，相对衰耗定义为这样两个肩峰点的相对衰耗分别是0.74dB和-21dB。其中（-0.0895）对应的点的值定义为阻带最小衰耗。 以上的分析可见，滤波器的各种重要指标都是由窗函数决定，因此改进滤波器的关键在于改进窗函

10、数。 窗函数谱的两个最重要的指标是：主瓣宽度和旁瓣峰值衰耗。旁瓣峰值衰耗定义为： 旁瓣峰值衰耗20lg(第一旁瓣峰值主瓣峰值)为了改善滤波器的性能，需使窗函数谱满足：u 主瓣尽可能窄，以使设计出来的滤波器有较陡的过渡带；u 第一副瓣面积相对主瓣面积尽可能小，即能量尽可能集中在主瓣，外泄少，使设计出来的滤波器的肩峰和余振小。但上面两个条件是相互矛盾的，实际应用中，折衷处理，兼顾各项指标。2.2 几种常用的窗口函数1 矩形窗2 三角窗 它是由两个长度为N2的矩形窗进行线性卷积而得到。3 汉宁（hanning）窗，也称升余弦窗它的思路是：通过矩形窗谱的合理叠加减小旁瓣面积。上式可写成对应的频谱为式中

11、是矩形窗谱。当N较大时，近似等于，这样可看作是三个不同位置矩形窗谱的叠加。叠加付出的代价是主瓣增宽一倍，得到的好处是旁瓣峰值衰耗由-13dB增加到-31dB。4 海明（hamming）窗海明窗是海宁窗的修正，系数稍作变动使叠加后效果更好。5 布莱克曼（Blackman）窗是5个矩形窗谱的叠加。6 凯塞（Kaiser）窗相关参数见书上的表。2.3窗口法的设计步骤和实例窗口法的基本思想：根据给定的滤波器技术指标，选择滤波器长度N和窗函数，使其具有最窄宽度的主瓣和最小的旁瓣。窗口法的设计步骤：u 给定理想频响函数；u 根据指标选择窗函数。确定窗函数类型的主要依据是过度带宽和阻带最小衰耗的指标；u 由

12、求，加窗得u 检验。由求，求是否在误差容限之内。例1：书上354例7-1例2：用窗口法设计一个满足下列指标的线性相位低通FIR滤波器：（通带波动）（为通带截止频率）（阻带最小衰减）解：海明窗和布莱克曼窗均可提供大于50dB的衰减。选择海明窗，因为过渡带窄些，从而具有较小的阶数。（1） 给定理想频响设，根据已知的条件可近似出。因此 ，要使设计的FIR滤波器为线性相位，则为。（2） 确定窗的形状，根据过渡带宽确定N 选择海明窗，其阻带最小衰减为-53dB。所要求的过渡带宽。海明窗过渡带宽满足，得出66。32.5（3） 确定FIR滤波器的h(n)时域和频域的图形如下：2.4 线性相位FIR高通、带通

13、、带阻滤波器的设计P355359自学3. 频率抽样设计法总结窗函数法：（1） 从时域角度出发，用来近似，从而逼近。（2） 有限长，无限长，存在截取，用什么样的窗来截取会有不同的过渡带、阻带最小衰减。相对而言，三角形窗、海明窗、汉宁窗效果比矩形窗好，因为它们在边缘处不是陡然下降的。目的：设计FIR DF，只要能求出或或即可。注意：所设计的滤波器的两个重要指标：过渡带带宽和阻带最小衰减。已知：理想DF特性。思路：(a) (窗函数法)(b) (频率抽样法)步骤：（1）；给定理想频响（2）令，为实际FIR DF的的抽样值，即，k=0，1，N-1（确定采样点数，对理想频响采样得H(k)）；（3） 已知求

14、或，用内插公式得到FIR系统函数根据IDFT有，对于FIR系统，有，结合两式得： （）从上式可看出：当采样点数N已知后，便是常数，只要采样值确定，则系统函数就可确定，要求的FIR滤波器就设计出来了。上式形式的FIR滤波器很容易以频率采样型结构实现。频率采样法的步骤可归纳为：（1） 给定理想频响；（2） 确定采样点数，对理想频响采样得；（3） 代入（）式中，即得FIR系统函数。下面讨论频率采样法设计出来的FIR DF的性能。3.1 线性相位FIR DF的约束条件若，其中、分别是对幅度函数和相位函数的第个抽样。因为是实数，所以一定满足共轭偶对称式（3-59）： （1）又因为线性性，满足对称性，所以

15、对一般滤波用的第1、2类FIR滤波器，必须满足条件： （2）对于正交网络、微分器（第3、4类FIR滤波器，必须满足条件： （3）综合以上条件，只有当满足式（1），满足式（2）、（3）之一时，才有线性相位。如果理想频响给得不好或采样点位置安排得不恰当，都将得不到线性相位。只有当满足上面的约束条件时，对0，区间上抽取一半频率样点，而其余的一半根据约束条件强行推出。3.2 FIR DF的频率响应 根据设计出来的，可得出频响 其中：。上式是由离散谱求连续谱的内插公式，是内插函数，它的图形近似sinc.。滤波器频谱等于以理想谱抽样值为权值的、以为中心位置的N个sinc.函数之和。由采样点恢复出来的谱与理

16、想谱相比，在采样点上是完全吻合的，这是由sinc.函数特点决定的，它在（）处的幅度都是零，一个样点扥诶插函数对其它样点的值没有任何干扰。但在两样点之间，的值是各样点的内插函数在该处值的叠加，与相比可能有误差。采样点之间频谱误差的大小与样点的疏密有关，更与相邻两个样点值变化的大小有关。理想频谱曲线越光滑平坦，样值变化越小，则误差越小；采样点越密，相当于相邻样值的变化越小，误差越小。如果理想频响曲线变化剧烈，甚至有不连续点，则内插所恢复的值与理想值的误差就很大，在不连续点旁边就会出现由sinc.函数造成的肩峰和振荡，这和窗口法是一样的。3.3 改善滤波器性能的措施 如果给出的理想低通滤波器在通带的

17、频谱等于1而阻带为0，则不论样点N取得如何密，在临界频率处总有两个幅度突变的样点，它们之间的落差为1。于是阻带边缘产生反冲和阻尼振荡，其最大幅度取决于sinc.函数，是个固定的值。这样设计出来的滤波器的阻带最小衰耗固定为-20dB，与矩形窗一样。u 增加采样点数N不能改善阻带最小衰耗。改善阻带衰耗的唯一办法是加宽过渡带。具体方法是：在通、阻带交界处人为地安排一到几个过渡点，其值介于零和1之间，这样可减小样点间的落差，使过渡平缓，反冲减小，阻带最小衰耗增大。经验表明：每多加一个过渡点，过渡带宽增加，最优情况下阻带衰耗可增大2030dB。u 兼顾过渡带宽和阻带最小衰减。增加采样点，同时在通、阻带交

18、界处安排过渡点。u 频率采样法特别适用于设计窄带选频滤波器。（回顾窄带选频滤波器的特点）因为这时只有少数几个非零值的，计算量大为降低。但由于频率抽样点的分布必须符合一定规律，在规定通、阻带截止频率方面不够灵活。比如当截止频率不是整数倍时会产生较大逼近误差，因而该方法的应用不及窗口法普遍。其中：（画出在单位圆上的采样可知） （P113式3-93，3-95）得 ，式中只与相位有关，与幅度有关。下面画出的图形。因为对k求和，所以共有N项，分别为：，。，。在点上，只有一个抽样值，即在抽样点上，在上就等于，在两个抽样点的频率之间的值为各抽样函数的加权值。对的一个周期进行抽样，抽样点间间隔为，因为具有对称

19、性，所以考虑半个周期即可。结论：用，在上与在上一样，在其他值处的值是N个抽样函数的加权叠加而成。线性相位：（只要是FIR DF，就容易设计成相位线性）对于线性相位滤波器，有其中正号对应1型2型，负号对应3型4型滤波器。这样可表示成 （1）为奇数，则，其中关于对称，即，令时有 （2）为偶数，则最后可计算。从而得出H(z)或。也可以根据对称性对内插公式进行化简得出H(z)或的计算公式。如书上（7-111）式和（7-112）式。频率抽样设计法的基本思想：给定理想滤波器，先选择滤波器长度N，然后对在0到2上的N个等间隔频率上采样，根据式子 ，通过对样本的内插，得到实际响应。脉冲响应h(n)可根据得出。如图所示：图：频率采样技术图解从上图可以看出：u 在采样频率上的逼近误差为零，即在采样点上，理想滤波器和实际滤波器的相应幅度值一样；u 其余频率上的逼近误差取决于理想响应的形状：理想响应的轮廓越陡，则逼近误差越大；u 靠近带的边缘的误差越大，在带内的误差越小。例1：用频率抽样设计法设计一个满足下列指标的线性相位低通FIR滤波器：（通带波动）（为通带截止频率）（阻带最小衰减）解：选择抽样点数为N=20。则在、处分别有一个抽样样本，对应的。即，。因此在通带上有3个样