相似三角形培优

1、相似三角形中的辅助线（教师版）在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使ADAE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：例1图 例2图 例3图证明：过点C作CG/FD交AB于G。小结：本题关键在于ADAE这个条件怎样使用。例2. 如图，ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。 分析：证明等积式问题常

2、常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。方法一：过E作EM/AB，交BC于点M，则EMCABC（两角对应相等，两三角形相似）。方法二：如图，过D作DN/EC交BC于N，二、作垂线3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：。证明：过B作BMAC于M，过D作DNAC于N （1） 又 （2） （1）+（2） 又 AN=CM 三、作延长线例5. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的平分线CHAB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求HB

3、C的面积。 分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解：延长BA、CD交于点P CHAB，CD平分BCD CB=CP，且BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：PB=1：3 ADBC PADPBC 例6. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF解析：欲证式即 由“三点定形”，BFG与CFG会相似吗？显然不可能。（因为BFG为Rt），但由E为CD的中点，可设法构造一个与BFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于H，则 又ED=EC FG

4、=FH 又易证RtCFHRtGFB FG·FH=CF·BF FG=FH FG2=CF·BF四、作中线例7 如图，中，ABAC，AEBC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。解：取BC的中点M，连AM ABAC AM=CM 1=C又 BD=DC 又 DC=1 MC=BC （1）又 又 EC=1 （2）由（1）（2）得， 小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键五、综合练习题 1、在ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。求证：EF×BC=AC×DF

5、题一图 题二图2、中，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MNCP，交AC、BC于M、N，求证：。3、. 理由？（用三种解法）图（1） 图（2） 图 (3)参考答案：1、过D作DGBC交AB于G，则DFG和EFB相似，BEAD,由DGBC可得ADG和ACB相似，由得，EF×BCAC×DF2、过P作PEAC于E，PFCB于F，则CEPF为矩形 PFEC EC=PF （1） 在和中：CPMN于Q 又 即 （2）由（1）（2）得3、方法一：如图（1），设BC中点为E，连接AE。 方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC。在BED与BCD中， 方法三

6、：如图（3），过B作BEBC于B，交CA的延长线于E。1、如图1,ADC=ACB=900,1=B,AC=5,AB=6,则AD=_.2.如图2,ADEFBC,则图的相似三角形共有_对.3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BMCE,AB=6,CE=3 ,则BM=_.4.ABC的三边长为,2,A'B'C'的两边为1和,若ABCA'B'C',则A'B'C'的笫三边长为_.5.两个相似三角形的面积之比为15,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_.6.如图4,RtABC中,C=900,D为AB的中点,DEAB,AB=

7、20,AC=12,则四边形ADEC的面积为_.7.如图5,RtABC中,ACB=900,CDAB,AC=8,BC=6,则AD=_,CD=_.8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_.9.如图7,ABC中,A=DBC,BC=,SBCDSABC=23,则CD=_.10.如图8,梯形ABCD中,ADBC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PFBC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF=_.11.如图9,ABC中,DEBC,ADDB=23,则SADESABE=_.12.如图10,正方形ABCD内接于等腰PQR,P=900,则PAAQ=_.13.如图11,ABC中,

8、DEFGBC,ADDFFB=123,则S四边形DFGES四边形FBCG=_.14.如图12,ABC中,中线BD与CE相交于O点,SADE=1,则S四边形BCDE=_.15.已知:如图,ABC中,CEAB,BFAC.求证:AEFACB.16.已知:如图,ABC中,ABC=2C,BD平分ABC.求证:AB·BC=AC·CD. 17.已知：ACB为等腰直角三角形，ACB=900 延长BA至E，延长AB至F，ECF=1350。 求证：EACCBF 18已知:如图,ABC中,AD=DB,1=2.求证:ABCEAD.19已知:如图,CE是RtABC的斜边AB上的高,BGAP。求证:(1)CE2=AE·EB ; (2) AE·EB=ED·EP20已知，如图，在ABC中，D为BC的中点，且AD=AC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F （1）求证：ABCFCD；（2）若SFCD=5，BC=10，求DE的长。1已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若BE=5，EF=2，则F