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1、概率论与数理统计第一章概率论的基本概念§ 2 .样本空间、随机事件1 .事件间的关系 A B 则称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件 B发生A B xx A或x B称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当 A, B中至少有一个发生时，事件 A B发生A B xx A且x B称为事件A与事件B的积事件，指当 A, B 同时发生时，事件 A B发生A- B xx A且x B称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当 A发生、B不发生时，事件 A B发生A B ,则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件 A与事 件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S且A B ,则称事件

2、 A与事件B互为逆事件，又称事件 A与事件B互为对立事件2 .运算规则交换律ABBAABBA 结合律(A B) C A (B C) (A B)C A(B C)分配律 A (B C) (A B) (A C)A (B C) (A B)(A C) 德摩根律ABAB A B A B§ 3 频率与概率定义 在相同的条件下，进行了 n次试验，在这n次试验中，事件 A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值nA/n称为事件A发生的频率概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A), 称为事件的概率1 .概率P(A)满足下列条件：(1)非负性：对于每一个事件 A

3、 0 P(A) 1(2)规范性：对于必然事件S P(S) 1(3)可列可加性：设A1, A2, ,An是两两互不相容的事件， 有P( Ak)P(AJ(n可k 1k 1以取 )2 .概率的一些重要性质： P( ) 0nn(ii)若Ai,A2, , An是两两互不相容的事件，则有P( Ak)P(Ak) (n可以取 )k 1k 1(iii)设 A, B 是两个事件若 A B,则 P(B A) P(B) P(A) , P(B) P(A)(iv)对于任意事件 A, P(A) 1(v) P(A) 1 P(A) (逆事件的概率)(vi)对于任意事件 A, B 有 P(A B) P(A) P(B) P(AB)

4、§ 4等可能概型(古典概型)等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A eij 露伯)，里ik是 12n中某k个不同的数，则有kP(A)Pe"j 1 一k A包含的基本事件数 n S中基本事件的总数§ 5 条件概率(1) 定义：设A,B是两个事件，且 P(A) 0,称P(B|A) 迪为事件A发生的条P(A)件下事件B发生的条件概率(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件1非负性：对于某一事件 B ,有P( B | A) 02。规范性：对于必然事件 S, P(S|A) 13 可列可加性：设 Bi

5、,B2,是两两互不相容的事件，则有P( Bi A ) P(Bi A ) i 1i 1(3) 乘法定理设P(A) 0,则有P(AB) P(B)P(A| B)称为乘法公式n(4) 全概率公式：P(A)R(Bi)P(A| Bi)i 1贝叶斯公式:P(Bk | A)P(Bk)P(A|Bk)nP(Bi)P(A|Bi)i 1§ 6 独立性 定义 设A, B是两事件，如果满足等式 P(AB) P(A)P(B),则称事件A,B相互独立定理一 设A, B是两事件，且 P(A) 0,若A, B相互独立，则 P(B| A) P B一 一 一 一定理二若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与B,

6、A与B,A与B第二章随机变量及其分布§ 1随机变量定义设随机试验的样本空间为S e. X X(e)是定义在样本空间 S上的实值单值函数，称X X(e)为随机变量§ 2离散性随机变量及其分布律1 .离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随 机变量称为离散型随机变量P(X xk) Pk满足如下两个条件(1) Pk 0,(2)Pk =1k 1 2.三种重要的离散型随机变量(1) (0- 1)分布设随机变量 X 只能取 0 与 1 两个值，它的分布律是 P(X k) pk(1-p)1-k, k 0,1 (0 p 1),则称X服从以P为参数的(0-

7、 1)分布或 两点分布。(2)伯努利实验、二项分布一设实验E只有两个可能结果：A与A ,则称E为伯努利实验.设P(A) p (0 p 1),此时P(A) 1-p .将e独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。P(X k) npkqn-k, k0,1,2,n 满足条件(1)pk0,(2)Pk=1 注意kk 1到n pkqn-k是二项式(p 4)”的展开式中出现pk的那一项，我们称随机变量X服从参数k为n, p的二项分布。(3)泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0,1,2，而取各个值的概率为k -eP(X k) ,k0,1,2，其中 0是常数，则称X服从参数为的泊松分布记为

8、k!X -()§ 3随机变量的分布函数定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x) PX x,- x称为X的分布函数 分布函数F(x) P(X x),具有以下性质(1) F(x)是一个不减函数 (2)0 F(x) 1,且5() 0,F( ) 1(3) F(x 0) F (x)，即 F (x)是右连续的§ 4连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F (x),存在非负可积函数 f (x),使x对于任意函数x有F(x) f (t) dt,则称x为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X-的概率密度函数，简称概率密度0, (2) f(x)dx

9、1；1概率密度f(x)具有以下性质，满足(1) f(x)(3) P(XiX x2)2,三种重要的连续型随机变量x1f (x)dx；(4)若f(x)在点x处连续，则有F (x) f (x)(1)均匀分布若连续性随机变量 X具有概率密度f (x)均匀分布记为X U (a, b)(2)指数分布若连续性随机变量 X的概率密度为f (x)服从参数为的指数分布。(3)正态分布a x bb-a ' a x b ,则成X在区间(a,b)上服从0 ,其他0为常数，则称X若连续型随机变量 X 的概率密度为f (x)其中，(0)为常数，则称X服从参数为，的正态分布或高斯分布，记为特别，当0,1时称随机变量X

10、服从标准正态分布§ 5随机变量的函数的分布定理设随机变量X具有概率密度fx(x),-，又设函数g(x)处处可导且恒有g,(x)y= g(X)是连续型变量，其概率密度为fY(y)fXh(y)0h,(y),y,其他第三章多维随机变量定义设E是一个随机试验，它的样本空间是Se. XX(e)和Y Y(e)是定义在S上的随机变量，称 X X(e)为随机变量，由它们构成的一个向量( X, Y)叫做二维随机变量设(X, Y)是二维随机变量，对于任意实数x , y ,二元函数F (x, v) P(X x) (Y y)驾PX x, Y y称为二维随机变量(X, Y)的分布函数如果二维随机变量 (X,

11、Y)全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型的随机变量。我们称P(X xi? Y yj pj, i, j 1,2,为二维离散型随机变量(X, Y)的 分布律。对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F (x, y),如果存在非负可积函数f(x,y),y x使对于任思乂，丫有5 (x, y) f (u, v) dudv,则称(X, Y)是连续性的随机变量，-函数f (x, y)称为随机变量(X, Y)的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度。§ 2边缘分布二维随机变量(X, Y)作为一个整体，具有分布函数F (x, y).而X和Y都是随机变量，各自也有分布函数，

12、将他们分别记为FX(x), F丫(y),依次称为二维随机变量 (X, Y)关于X和关于Y的边缘分布函数。Pi?Pij PX x i1,2,PjPY Yi),1,2,分别称Pi? p?j为(X, Y)关于X和关于丫的边缘分布律。x(x)f (x, y) dyfY(y)f (x, y) dx分别称X(x)，概率密度，记为 fX|Y(xy) =f(x, y)fY(y)fY (y)为x , 丫关于x和关于y的边缘概率密度。§ 3条件分布定义 设(X, Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j,若PY yj)0,PXxi,YVi)pj则称PX xi Y yj)- 4/1,2,为在Y yj条件下j

13、PYyj)p?jjPX xi,Yyj)pj随机变量X的条件分布律，同样PY yj X Xi) -j 口，j 1,2,jPXxi)pi?为在Xxi条件下随机变量 X的条件分布律。设二维离散型随机变量(X, Y)的概率密度为f(x,y), (X, Y)关于Y的边缘概fY(y)率密度为fY(y),若对于固定的V, fY(y)0,则称f(x, y)为在Y=y的条件下X的条件§ 4相互独立的随机变量定义设F (x, y)及FX(x), FY(y)分别是二维离散型随机变量(X, Y)的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y有PX x,Y y) PX x)PY y),即Fx, y)Fx (x)F

14、y (y),则称随机变量X和Y是相互独立的。对于二维正态随机变量(X , Y) , X和Y相互独立的充要条件是参数0§ 5两个随机变量的函数的分布1, Z=X+Y的分布设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f (x, y).则Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为fX Y (z) f (z y, y) dy或fX Y (z) f (x,z x) dx又若X和Y相互独立，设(X, Y)关于X , Y的边缘密度分别为 fX (x), fY(y)则fx Y(z)fX(zy)f丫(y)dy 和fX丫(z) fX(x)fy(zx)dx这两个公式称为fX , fY的卷积公式有限个相

15、互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布Y 一2, Z 一的分布、Z XY的分布 X一八一J 、口一 一、Y设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x, y),则Z ，Z XYX仍为连续性随机变量其概率密度分别为fY.X (z)x f (x, xz)dxfXY (z)1f (x,2)dx又若X和Y相互独立，设(X, Y)关于X, Y的边缘密度分别x x为 fX (x), fy(y)则可化为 fy/X (z) fX (x) fy (xz)dxfXY (z):fX(x)fYgdx3 M maxX , Y及 N min X ,Y的分布设X, Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函

16、数分别为FX (x),FY(y)由于M maxX , Y不大于z等价于X和Y都不大于z故有PM z PX z,Y z又由于X和丫相互独立，得到 M maxX, Y的分布函数为Fmax(z) Fx(z)Fy(z)N minX,Y的分布函数为 Fmin (z) 1 1 Fx (z) 1 Fy(z)第四章随机变量的数字特征§ 1 .数学期望定义设离散型随机变量 X的分布律为PXxkPk, k=1,2,若级数xkpk绝对k 1收敛，则称级数xkPk的和为随机变量 X的数学期望，记为E(X),即E(X)xk Pkk 1i设连续型随机变量 X的概率密度为f (x),若积分 xf(x)dx绝对收敛

17、，则称积分xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X),即E(X) xf(x)dx定理 设Y是随机变量X的函数Y= g(X)(g是连续函数)(i)如果X是离散型随机变量，它的分布律为PX xk pk , k=1,2,若g(xk)pkk 1绝对收敛则有 E(Y) E(g(X)g(xk)pkk 1(ii)如果X是连续型随机变量，它的分概率密度为 f (x),若 g(x) f (x)dx绝对收敛则有 E(Y) E(g(X) g(x)f(x)dx数学期望的几个重要性质1设C是常数，则有E(C) C2设X是随机变量，C是常数，则有E(CX) CE(X)3设X,Y是两个随机变量，则有 E(X Y

18、) E(X) E(Y);4设X, Y是相互独立的随机变量，则有E(XY) E(X)E(Y)§ 2方差2.2定义 设X是一个随机变量，若 E X E(X) 存在，则称E X E(X) 为*的方差，记为D (x)即D (x) = E X E(X) 2,在应用上还引入量 jD(x),记为(x),称为标准差或均方差。_2_2_2D(X) E(X E(X)2E(X2) (EX)2方差的几个重要性质1设C是常数，则有D(C) 0,2 _2设X是随机变量，C是常数，则有D(CX) CD(X), D(XC)D(X)3 设 X,Y 是两个随机变量，则有 D(X Y) D(X) D(Y) 2E(X -

19、E(X)(Y - E(Y)特别，若X,丫相互独立，则有 D(X Y) D(X) D(Y)4D(X) 0的充要条件是X以概率1取常数E(X),即PX E(X) 1切比雪夫不等式：设随机变量 X具有数学期望E(X) 2,则对于任意正数，不等式PX - F成立§ 3协方差及相关系数定义 量EX E(X) Y E(Y)称为随机变量 X与Y的协方差为Cov(X,Y),即Cov(X,Y) E(X E(X)(Y E(Y) E(XY) E(X)E(Y)* Cov(X, Y) 而 xy ：_三称为随机变量X和Y的相关系数D(X) D(Y)对于任意两个随机变量 X和Y, D(X Y) D(X) D(Y)

20、 2Cov(X,Y)协方差具有下述性质lCov(X,Y) Cov(Y,X), Cov(aX,bY) abCov(X,Y)2Cov(Xi X2,Y) Cov(XY) Cov(X2,Y)定理 1 XY 12| xy|1的充要条件是，存在常数 a,b使PY a bx 1当 XY 0时，称X和丫不相关附：几种常用的概率分布表分布参数分布律或概率密度数学 期望力差两点分 布0 p 1PX k) pk(1 p)1k,k 0,1,pp(1 p)二项式 分布n 10 p 1P(X k) C：pk(1 p)nk,k 0,1, n,npnp(1 p)泊松分 布0k eP(X k) ,k 0,1,2,k!几何分 布0 p 1k 1P(X k) (1 p) p,k 1,2,1 p1 p2p均匀分 布a b1.一、,a x bf(x) b