分块矩阵的初等变换及应用

1、分块矩阵的初等变换及应用钱拓宽（绍兴文理学院 数学系，浙江 绍兴 312000）摘要：矩阵的初等变换与初等矩阵是矩阵理论的重要方法.在处理一些矩阵问题有着重要的作用，将分块矩阵的初等变换到分块矩阵上，使分块矩阵也有类似的初等变换和初等矩阵，从而在处理分块矩阵时起到事半功倍的效果.关于分块矩阵和初等矩阵有不少文章有所涉及，但是他们都不够全面本文做了一些总结性的工作.关键词：分块矩阵；初等变换；应用1、分块矩阵的初等变换与初等矩阵吴云在1997年8月的工科数学上的分块矩阵的初等变换一文中提到定义1分块矩阵的行(列)初等变换是指:（1）交换两行(列)的位置;（2）第行(列)的各个元素分别左乘(右乘)

2、该行(列)的一个阶左(右)保秩因子;（3）第行(列)的各个元素分别左乘(右乘)一个阶矩阵后加到第行.定义2 对应于分块矩阵的初等分块矩阵是指:（1）=或=（2） =或=其中为第行(列)的一个左(右)保秩因子； (1) = (2) 或=初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得:定理1(1)交换的第行与第行,相当于左乘一个阶初等分块矩阵,其中中的元素为(i)阶单位矩阵, 为(j)阶单位矩阵,当且时, 为()阶单位矩阵;交换的第列与第列相当于右乘一个阶初等分块矩阵,其中为(i)阶单位矩阵, 为(j)阶单位矩阵, 当且时, 为()阶单位矩阵；(2

3、) 的第行的每一个元素左乘一个矩阵相当于左乘一个阶分块矩阵中为()阶方阵; 的第列的每一个元素右乘一个矩阵,相当于右乘一个阶初等到变换矩阵,其中为()阶方阵；(3) 的第行的每个元素分别左乘一个()×()矩阵后加到第行,相当于左乘一个初等分块矩阵;第列的每一个元素分别右乘()×()矩阵后加到第列,相当于右乘.定理2设为方阵,则分块矩阵施行第一种行初等变换后,对应的行列式为 ,其中h(i,j)=h(i)h(j)-l+h(i+l)+h(j)h(i)+h(i+j)+h(j-l),l(i,j)=l(i)h(j)-l+l(i+l)+l(j)l(i)+l(i+j)+l(j-l),施行第

4、二种初等变换后,对应的行列式为|·|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变.证明: ,显然成立.下证,所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至前,共进行()-1+(+1)+(-1)次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把所在的行移至所在的行前,共进行()()-1+(+1)+(-1)次交换两行,然后把移至适当的位置,同理共进行()()+(+1)+(-1)次交换两行,所以交换两行的总次数为(,),故;同理.所以有=(-1)或=（-1）=或=定理3分块矩阵进行初等变换后,秩不变.证明: 对于(1),相当于对进行若干次行(列)的交换,故命题成立

5、;对于(2),根据定义1,显然成立;对于(3),相当于进行若干次把行(列)乘以一个倍数后加到另一行(列),故命题成立.定理4(1)设,的行数均为,则矩阵方程=,当()= (,)=时有唯一解,当()= (,)<时有无穷多解,当()< (,)时无解;(2)设,的列数均为,则矩阵方程=,当()= =时有唯一解,当()= <有无穷多解,当()< 时无解.证明: (1)设()= (,)<,则存在可逆矩阵,使，其中为阶单位矩阵, 为阶方阵,设,则有: = = =B所以为=的解,其中, 是任意的.当()= (,)=时,=(),=( ),显然,=有唯一解: ;当()< (,

6、)时,=无解.同理可证(2)成立(当()= ( , )<时,X=P )定义3 对于任意的,如果( )= ( ,)= (,),则称为极大元.定理5分块矩阵可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是:它有一个极大元.证明: 充分性.不妨设为极大元(否则可以通过第一种分块矩阵的初等变换把极大元移到第一行,第一列交叉位置).由定理4,存在可逆矩阵,使，,令=-,其中, 为适当阶数的任意矩阵.则K+ =， 所以第一行左乘加到第二行,得.同理,令=-,则+ =0,所以的第一列右乘后加到第二列,得. (如先进行列变换,再进行行变换,得,因为=+=+,故两种运算顺序结果相同)必要性.反证法,不妨设()(

7、,)或(,)(),则由定理4, =-或=-无解,从而不存在,使对角化.同理,当()(,)或(,)()时,不存在使-AK=A或-=成立.定理5表明:并不是所有的2×2分块矩阵都可以用分块矩阵初等变换对角化,如果分块矩阵没有极大元,则需分得更细,才能对角化.定理6矩阵的一种分块方法可以用分块矩阵的初等变换对角化的充分条件是:存在-1行且存在-1列有极大元.证明: 用数学归纳法.当=1时,只有一块,命题成立;设 , 时命题成立.当=+1,=时,存在行且存在-1列有极大元,显然可以用第一种分块矩阵的初等变换,通过交换两行或两列的位置,使的前行与前-1列都有极大元,再把前行,前-1列看成一块,

8、得到一个新的2×2分块矩阵,记为.显然为极大元,根据定理4, 可以化成对角形: ,又,它的每行、列都有极大,故由假设可以对角化,从而可以对角化.同理可证当=,=+1时, 可以对角化.由此命题成立.下面讨论对角化后的非零块进一步化简的方法.设,与.根据定理1, ,为的左(右)保秩因子,显然也是所在行(列)的左(右)保秩因子,故对角化后的分块矩阵第行、第列分别左乘,右乘后, 可以化成讨论分块方阵行列式的计算,先讨论分块初等阵的行列式.设I为S×S分块单位阵:I=其中I r为r阶单位阵(1iS),对I施行一次初等变换可得定义2所述的三种分块初等阵,它们的行列式有下列计算公式.引理

9、分块初等阵的行列式有以下性质:(1)|I(i,j)|= ,其中=r (r+1+r)+ r (r+1+ r-1)(i<j).特别地,若j=i+1,则| I(i,j)|=(-1) r r;(2)|I(i(K)|=|k|,其中K是r阶可逆阵;(3)|I(j(K),i)|=1,其中K是r×r矩阵.证(1)不难验证,将I(i,j)的元素行进行次相邻的对调可将I(i,j)变成I,由行列式的性质,|I(i,j)|= |I|=.(2),(3)由对角分块方阵及三角形分块方阵的行列式计算方法即知.由于对分块方阵A施行一次初等行变换,相当于用相应的分块初等阵左乘A,由上述引理,我们有下列分块方阵的行

10、列式计算性质.定理7设A是一个分块方阵.(1)交换|A|的i,j两行(列),行列式变为(-1)|A|,其中= r (r+1+ r)+ r (r+1+ r-1);特别地,交换|A|的相邻两行(列)(i行和i+1行),行列式变为(-1) r r+1|A|;(2)用一个r阶可逆阵K左(右)乘|A|的第i行(列)的所有矩阵,等于用|K|乘以|A|;(3)用一个矩阵左(右)乘|A|的某一行(列)的所有矩阵再加到另一行(列)的对应元素上,行列式不变.由定理7的(2)可得推论分块行列式|A|的某一行(列)的所有矩阵的可逆左(右)因子K,可以行列式|K|的形式提到行列式符号外.2、分块矩阵初等变换的应用一、利

11、用分块矩阵的初等变换求矩阵的逆.廖中行在2002年05期四川教育学院学报上的初等变换在分块矩阵乘法的一文中提到例1:已知其中是×可逆阵,是×可逆阵,求证:可逆,并求.分析:本题是一个分块阵的求逆问题,一般可用待定子块法,也可利用广义初等变换,还可用左乘分块初等阵的方法.解:因、可逆,故|0,|0.根据拉普拉斯展开,有0,故可逆.求C有三种办法:解法一:利用广义初等行变换法.Br,Cr(BD)+r故P=本题对分块矩阵进行广义初等变换是一般矩阵的初等变换的一种推广,其方法和一般矩阵相同.作初等行(列)变换时,对矩阵应左(右)乘相应的分块单位阵.上述分块初等变换的过程也可用分块阵

12、左乘相应的分块初等阵,可表示如下:解法二: 可用左乘分块初等阵的方法求=有=即：=E故有P=例2：已知A=，求A.分析:本题是一个矩阵的求逆问题,一般可用公式法,矩阵的初等变换法求;可以用分块矩阵初等变换法求.利用分块矩阵初等变换法先A化分成分块矩阵，即A=其中B=，C=，D=从而求得B=，C=然后对A进行广义初等变换，即：Br,Cr(BD)r+rA=如果用其它方法来求解将会变得很繁琐，用分块矩阵的初等变换发来求解就显的比较简单.二、利用分块矩阵初等变换求行列式的值宋玉英在2002年04期的兰州教育学院学报上的“用广义初等变换”法求“分块矩阵”的逆矩阵一文中提到例3设P=是一个分块方阵,其中A

13、是r阶可逆阵,求|P|.解: 由推论及定理7的(3):=若A与D可乘,则|P|=|AD-ACAB|;又若A与C可交换(即AC=CA),则|P|=|AD-CB|.例例4 设D=, 其中a0,求|A|解： D=由于A,C可交换,所以D= =|(ad-bc)I|=(ad-bc)例5 设A,B,C和D是n阶方阵,试证明=证两次利用定理4的(1),得=（-1）=（-1）（-1）=三、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的秩史永铨在2002年02期淮南师范学院学报上的分块矩阵初等变换及其应用一文中提到：矩阵的秩有以下初等性质:设与分别是×与×矩阵，则()+()并且当(或)是方阵且非异时,或者=

14、0时上式的等号成立.例6. 设是×阵的非异顺序主子阵,则r=()+(-)证：=而是非异阵,由以上性质知=()+(-CAB)例7. 设阶方阵=()为反对称矩阵,证明:()必为偶数证: 对用归纳法=1,2是命题显然成立设阶数小于时命题为真则对阶及对称矩阵,将分块成=,其中=不妨设0.=()=()+(-)=2+(-)但-A为阶数比低的反对称矩阵,由归纳假设(-)为偶数,故()为偶数.四、分块矩阵的初等变换在矩阵分解中的应用例8. 设=()是阶方阵,它的顺序主子式全不为零,证明: 存在非异下三角形矩阵与非异上三角形矩阵,使=证:对用归纳法=1时显然成立设当-1时,结论成立,则对,将分块成=由

15、归纳假设对=有=其中分别是-1阶非异下三角形与上三角形矩阵,其中b=-上式两端取行列式有：=b,b0=于是得：A=BC其中B=,C=0,=bB与C分别是非奇异的下三角与上三角形矩阵.类似的例子还可以举出很多,由于篇幅有限,不再赘述.总之,在矩阵乘法中,只要对矩阵进行恰当的分块,结合矩阵初等变换的方法,就能大大的简化其运算.参考文献: 1北大数学系,高等代数 (第二版),1987,3.2区诗德 加边矩阵的求逆 玉林师专学报,1998(3),2931 3陈祖明.矩阵论引论 北京:北京航空航天大学出版社,1998,616 4陈景良,陈向辉 特殊矩阵 北京:清华大学出版社,2000,462469 5刘

16、桂香,分块矩阵的奇异性 宝鸡文理学院学报(自然科学版),1999,6116史永铨，分块矩阵初等变换及其应用 淮南师范学院学报，2002（2）7吴云，分块矩阵的初等变换，工科数学，1997（8）8吴云，分块矩阵的初等变换及其在求逆和行列式中的应用， 自贡师范专科学校学报，1996（3） 9廖中行，初等变换在分块矩阵乘法，四川教育学院学报，2002（5）10宋玉英，“用广义初等变换”法求“分块矩阵”的逆矩阵，兰州教育学院学报，2002（4）Elementary Transformation of the Block Matrixand Its ApplicationQian Tuokuan (De

17、pt. of Math, Shaoxing College of Arts and Sciences, Shaoxing Zhejiang 312000)Abstract: Elementary Transformation of matrix and basis matrix are important methods in the matrix theory. They are very helpful for dealing with some matrix problem , this text generalizes elementary transformation of matrix to that of block matrix leading to presence of elementary transformation and bas