工程力学11章

1、p稳定性失效概念稳定性失效概念p细长压杆、屈曲失效、临界载荷细长压杆、屈曲失效、临界载荷p欧拉公式、长细比、临界应力总图欧拉公式、长细比、临界应力总图p稳定性计算，提高稳定性的措施稳定性计算，提高稳定性的措施压杆压杆压杆压杆桁架中的压杆桁架中的压杆 细长杆件承受轴向压缩细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，将会由于平载荷作用时，将会由于平衡的不稳定性而发生失效，衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效，这种失效称为稳定性失效，又称为屈曲失效。又称为屈曲失效。 什么是受压杆件的稳定性，什么是屈曲失效，按什么是受压杆件的稳定性，什么是屈曲失效，按照什么准则进行设计，才能保证压杆安全可靠地工作，照什

2、么准则进行设计，才能保证压杆安全可靠地工作，这是工程常规设计的重要任务之一。这是工程常规设计的重要任务之一。 本章首先介绍关于弹性体平衡构形稳定性的基本本章首先介绍关于弹性体平衡构形稳定性的基本概念，包括：平衡构形、平衡构形稳定与不稳定的概念概念，包括：平衡构形、平衡构形稳定与不稳定的概念以及弹性平衡稳定性的静力学判别准则。然后根据微弯以及弹性平衡稳定性的静力学判别准则。然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程以及端的屈曲平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程以及端部约束条件，确定不同刚性支承条件下弹性压杆的临界部约束条件，确定不同刚性支承条件下弹性压杆的临界力。最后，本章还将介绍

3、工程中常用的压杆稳定设计方力。最后，本章还将介绍工程中常用的压杆稳定设计方法法安全因数法。安全因数法。 11.1 弹性平衡稳定性的基本概念弹性平衡稳定性的基本概念 结构构件或机器零件在压缩载荷或其它特定载荷结构构件或机器零件在压缩载荷或其它特定载荷作用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一作用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡位置，又称为位置称为平衡位置，又称为平衡构形。平衡构形。 11.1.1 11.1.1 平衡位置的稳定性和不稳定性平衡位置的稳定性和不稳定性FFFF 承受轴向压缩载荷的细长压杆，有承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构形可能存在两种平衡构形直线

4、的平直线的平衡构形、弯曲的平衡构形。衡构形、弯曲的平衡构形。 FFFF压杆的两种平衡构形稳定平衡与不稳定平衡稳定平衡与不稳定平衡给一干扰力给一干扰力Q Q使杆微弯使杆微弯受力后杆仍然维持平衡构形受力后杆仍然维持平衡构形 当干扰力当干扰力Q Q解除后，若杆件能够恢解除后，若杆件能够恢复到原有平衡构形复到原有平衡构形稳定平衡稳定平衡。若。若不能够恢复到原有构形（仍保持平不能够恢复到原有构形（仍保持平衡）衡）不稳定平衡不稳定平衡。FFQ判别判别弹性平衡稳定性的静力学准则弹性平衡稳定性的静力学准则 不稳定的平衡构形在任意微小的外界扰动下，将不稳定的平衡构形在任意微小的外界扰动下，将转变为其它平衡构形。

5、转变为其它平衡构形。 例如，不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外例如，不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。这一过界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。这一过程称为屈曲或失稳。程称为屈曲或失稳。 通常，屈曲将使构件失效通常，屈曲将使构件失效, ,并导致相关的结构发并导致相关的结构发生坍塌。由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性生坍塌。由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。后果。 11.1.2 11.1.2 临界状态与临界载荷临界状态与临界载荷 稳定平衡构形到屈曲（不稳定平衡构形）是一个稳定平衡构形到屈曲（不稳定平衡构形）是一个过程。过程。 介于这个

6、过程之间的平衡构形介于这个过程之间的平衡构形临界平衡构形临界平衡构形 处于临界状态时，杆件所受的施压载荷处于临界状态时，杆件所受的施压载荷称称临界载临界载荷荷，记：，记：F FPcrPcr或称：或称：“临界状态临界状态”11.1.3 11.1.3 三种类型压杆的临界状态三种类型压杆的临界状态压杆的分类：压杆的分类：细长杆细长杆中长杆中长杆粗短杆粗短杆当当FpFpcr时不发生屈曲时不发生屈曲 当当Fp Fpcr时容易发生弹性屈曲时容易发生弹性屈曲当当FpFpcr时发生屈曲，但不再是弹性的时发生屈曲，但不再是弹性的不会发生屈曲，失效属于强度破坏不会发生屈曲，失效属于强度破坏三种压杆的失效形式不同，

7、临界载荷当然也各不相同。三种压杆的失效形式不同，临界载荷当然也各不相同。 FPOFPcr临界点临界点FPFPcrFPFPcr时，时， 0 0，这表明当无限接近临界载荷这表明当无限接近临界载荷时，在直线平衡构形附近无时，在直线平衡构形附近无穷小的邻域内存在微弯的屈穷小的邻域内存在微弯的屈曲平衡构形。曲平衡构形。 根据这一平衡构形，由根据这一平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程，平衡条件和小挠度微分方程，以及端部约束条件，即可确以及端部约束条件，即可确定临界载荷。定临界载荷。 11.2 细长压杆的临界载荷欧拉临界力细长压杆的临界载荷欧拉临界力11.2.1 11.2.1 两端铰支的细长压杆两端铰支的

8、细长压杆 假设压力假设压力F FP P无限接近临界力无限接近临界力F FPcrPcr，在外界扰动下压，在外界扰动下压杆处于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡杆处于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡M (x) = FP w (x)22dd-)(xwEIxM0dd222wkxwEIFkP2微分方程的解微分方程的解w =Asinkx + Bcoskx边界条件边界条件w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 00dd222wkxwEIFkP200sincos0ABklAklB1010sincosklklsin0kl 根据根据“线性代数线性代数”知识，上述方程中知识，上述方程中A A、B B

9、的系数不的系数不全为零的条件是方程组系数行列式等于零：全为零的条件是方程组系数行列式等于零：最小临界载荷最小临界载荷22PcrlEIF22Pcr2 n EIFlsin0kl ,1 2klnn, ,EIFkP2由此得由此得两端铰支细长杆临界力计算公式两端铰支细长杆临界力计算公式得到得到屈曲位移函数屈曲位移函数 sinn xw xAl00sincos0ABklAklB1w =Asinkx + Bcoskx 其中其中A为未定常数。这表明为未定常数。这表明屈曲位移是不确定的屈曲位移是不确定的量。这与开始推导公式时假设压杆处于任意微弯状态量。这与开始推导公式时假设压杆处于任意微弯状态是一致的。是一致的。

10、 sin0kl 0B 11.2.2 11.2.2 其他刚性支承细长杆临界载荷的通用公式其他刚性支承细长杆临界载荷的通用公式压杆的通用式压杆的通用式欧拉公式欧拉公式Fcr =p p2EI(m ml)2(11-2)式中：式中：m ml有效长度（相当长度）有效长度（相当长度）m m长度系数（支座影响系数）长度系数（支座影响系数）EI最小抗弯刚度最小抗弯刚度约束条件约束条件 两端铰支两端铰支 一端固定一端固定一端自由一端自由 一端固定一端固定一端铰支一端铰支 两端固定两端固定 挠挠曲曲线线形形状状 长度因数长度因数m m 1.020.70.5FcrlFcr2llFcrl0.7ll0.5lFcr 问题的

11、提出：问题的提出：4根材料和直径相同，但是长度不根材料和直径相同，但是长度不同、支承不同的压杆同、支承不同的压杆 能不能应用欧拉公式计能不能应用欧拉公式计算四根压杆的临界载荷？算四根压杆的临界载荷？ 四根压杆是不是都会发生四根压杆是不是都会发生弹性屈曲？弹性屈曲？11.3 长细比概念长细比概念 三类不同压杆判断三类不同压杆判断11.3.1 11.3.1 长细比的定义与概念长细比的定义与概念欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这就要求在欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这就要求在临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时，其横截面临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时，其横截面上的正应力小于或等于材料

12、的比例极限上的正应力小于或等于材料的比例极限 PcrcrpFA其中称为其中称为cr临界应力；临界应力； p为材料的比例极限。为材料的比例极限。 能否在计算临界载荷之前，预先判断哪一类压杆将发能否在计算临界载荷之前，预先判断哪一类压杆将发生弹性屈曲？哪一类压杆将发生超过比例极限的非弹性生弹性屈曲？哪一类压杆将发生超过比例极限的非弹性屈曲？哪一类不发生屈曲而只有强度问题？回答当然是屈曲？哪一类不发生屈曲而只有强度问题？回答当然是肯定的。为了说明这一问题，需要引进长细比的概念。肯定的。为了说明这一问题，需要引进长细比的概念。 长细比长细比令：令：m mlil l = l l杆件的杆件的柔度柔度，又称

13、，又称长细比长细比。无量纲。无量纲性质：性质：与约束、长度、截面尺寸及形状相关。与约束、长度、截面尺寸及形状相关。IiA2222PcrcrlmEAlEIAF用柔度表示的细长杆临界应力公式用柔度表示的细长杆临界应力公式 11.3.2 11.3.2 三类不同压杆的区分三类不同压杆的区分因，屈曲在弹性范围内导出因，屈曲在弹性范围内导出故有：故有：在比例极限内有效在比例极限内有效令：当材料达到比例极限时的长细比为令：当材料达到比例极限时的长细比为“l lp” 当材料屈服极限时的长细比为当材料屈服极限时的长细比为“l ls” 大柔度杆大柔度杆当当l ll lp时，压杆将发生弹性屈曲。这时，压杆将发生弹性

14、屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力不超过时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力不超过材料的比例极限，这类压杆称为大柔度杆或材料的比例极限，这类压杆称为大柔度杆或细长杆细长杆。 2Pcrcrp2FEAl 小柔度杆小柔度杆当当l ll ls时，压杆不会发生屈曲，但将时，压杆不会发生屈曲，但将会发生屈服。这类压杆称为小柔度杆或会发生屈服。这类压杆称为小柔度杆或粗短杆粗短杆。 中柔度杆中柔度杆当当l lsl ll l l ls l l l l l ls l l 2.2m规定值规定值1.7m;1.7m; 地面未夯实，局部杆受力大；地面未夯实，局部杆受力大； 与墙体连接点太少；与墙体连接点

15、太少； 安全因数太低：安全因数太低：1.11-1.751.11-1.75 一固一铰一固一铰0.7两铰两铰1.0自由自由2.0 合理选择截面形状合理选择截面形状 当压杆两端在各个方向上都具有相同的约束条件当压杆两端在各个方向上都具有相同的约束条件时，压杆将在刚度最小的主轴平面内屈曲。时，压杆将在刚度最小的主轴平面内屈曲。这时如果这时如果只增加截面某个方向的惯性矩，并不能提高压杆的承只增加截面某个方向的惯性矩，并不能提高压杆的承载能力。载能力。 对于一定的横截面面积，正方形截面或圆截面比矩对于一定的横截面面积，正方形截面或圆截面比矩形截面好；空心正方形或圆环形截面比实心截面好。形截面好；空心正方形

16、或圆环形截面比实心截面好。 A实=A空，I实I空 当压杆端部在不同的方向上具有不同的约束条件时，当压杆端部在不同的方向上具有不同的约束条件时，应采用最大与最小主惯性矩不等的截面（例如矩形截应采用最大与最小主惯性矩不等的截面（例如矩形截面），并使压杆在惯性矩较小的方向具有较刚性的约束，面），并使压杆在惯性矩较小的方向具有较刚性的约束，尽量使压杆在两个主惯性矩方向的柔度相互接近。尽量使压杆在两个主惯性矩方向的柔度相互接近。 合理选用材料合理选用材料 在其他条件均相同的情形下，选用弹性模量在其他条件均相同的情形下，选用弹性模量E数值数值大的材料，可以提高大柔度压杆的承载能力。大的材料，可以提高大柔度

17、压杆的承载能力。 对于细长钢制压杆，若选用高强度钢，对压杆临对于细长钢制压杆，若选用高强度钢，对压杆临界载荷的影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。界载荷的影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。但是，对于粗短杆或中长杆。其临界载荷与材料的比但是，对于粗短杆或中长杆。其临界载荷与材料的比例极限和屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界例极限和屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。载荷有所提高。 u正确地进行受力分析，准确地判断结构中哪些杆正确地进行受力分析，准确地判断结构中哪些杆件承受压缩载荷，对于这些杆件必须按稳定性设计件承受压缩载荷，对于这些杆件必须按稳定性设计准则进行稳定性

18、计算或稳定性设计。准则进行稳定性计算或稳定性设计。 微型钢制圆轴，在室温下安装，这时轴既不沿轴向微型钢制圆轴，在室温下安装，这时轴既不沿轴向移动，也不承受轴向载荷，当温度升高时，轴和机架将移动，也不承受轴向载荷，当温度升高时，轴和机架将同时因热膨胀而伸长，但二者材料的线膨胀系数不同，同时因热膨胀而伸长，但二者材料的线膨胀系数不同，而且轴的线膨胀系数而且轴的线膨胀系数大于大于机架的线膨胀系数。请机架的线膨胀系数。请大家大家分分析，当温度升高时，轴有没有稳定问题？析，当温度升高时，轴有没有稳定问题？ 11.6.4 11.6.4 稳定性计算中的几个重要问题稳定性计算中的几个重要问题u要根据压杆端部约

19、束条件以及截面的几何形状，正要根据压杆端部约束条件以及截面的几何形状，正确判断可能在哪一个平面内发生屈曲，从而确定欧拉确判断可能在哪一个平面内发生屈曲，从而确定欧拉公式中的截面惯性矩，或压杆的柔度。公式中的截面惯性矩，或压杆的柔度。 两端球铰约束细长杆的各种可能截面形状，请读者两端球铰约束细长杆的各种可能截面形状，请读者自行分析，压杆屈曲时横截面将绕哪一根轴转动？自行分析，压杆屈曲时横截面将绕哪一根轴转动？u确定压杆的柔度，判断属于哪一类压杆，采用合确定压杆的柔度，判断属于哪一类压杆，采用合适的临界应力公式计算临界载荷。适的临界应力公式计算临界载荷。 根圆轴截面压杆，若材料和根圆轴截面压杆，若材料和圆截面尺寸都相同，请圆截面尺寸都相同