第九章序列的平稳性及其检验

1、第九章序列的平稳性及其检验2 其中其中 a 是常数，是常数， t 是线性趋势函数，是线性趋势函数，ut . N (0, 2) 。tttuyy1tttuayy1tttutayy1(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7) 为说明为说明DF检验的使用，先考虑检验的使用，先考虑3种形式的回归模型种形式的回归模型 3 (1) 如果如果 -1 1，则，则 yt 平稳（或趋势平稳）。平稳（或趋势平稳）。 (2) 如果如果 =1，yt 序列是非平稳序列。序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成：式可写成： 显然显然 yt 的差分序列是平稳的。的差分序列是平稳的。 (3) 如果如果 的绝对值大于的绝对值大于1

2、，序列发散，且其差分序列，序列发散，且其差分序列是非平稳的。是非平稳的。ttttuyyy1tttuyy) 1(4 因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验 是是否严格小于否严格小于1 1来实现。也就是说：来实现。也就是说： tttuyy1 tttuayy1 tttutayy1 (5.3.8)(5.3.9)(5.3.10) 从方程两边同时减去从方程两边同时减去 yt-1 得得， 其中：其中： = -1。5 其中：其中： = = -1-1，所以原假设和备选假设可以改写为，所以原假设和备选假设可以改写为 可以通过最小二乘法得到可以通过最小二乘法得到 的估计值，

3、并对其进行的估计值，并对其进行显著性检验的方法，构造检验显著性水平的显著性检验的方法，构造检验显著性水平的 t 统计量。统计量。 但是，但是，Dickey-Fuller研究了这个研究了这个t 统计量在原假设下统计量在原假设下已经不再服从已经不再服从 t 分布，它依赖于分布，它依赖于 。 0:0:10HH6 Mackinnon进行了大规模的模拟，给出了不同回归模进行了大规模的模拟，给出了不同回归模型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样，型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样，就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过 t 统计量统计量

4、来决定是否接受或拒绝原假设。这一检验被称为来决定是否接受或拒绝原假设。这一检验被称为Dickey-Fuller检验检验(DF检验检验)。 上面描述的单位根检验只有当序列为上面描述的单位根检验只有当序列为AR(1)时才有效。时才有效。如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同分布的假设。在这种情况下，可以使用增广的分布的假设。在这种情况下，可以使用增广的DF检验方检验方法（法（augmented Dickey-Fuller test ）来检验含有高阶序列）来检验含有高阶序列相关的序列的单位根。相关的序列的单位根。 7 考虑考虑 yt 存在

5、存在p阶序列相关，用阶序列相关，用p阶自回归过程来修正，阶自回归过程来修正，在上式两端减去在上式两端减去 yt-1，通过添项和减项的方法，可得，通过添项和减项的方法，可得其中其中 tptptttuyyyay2211tpiitittuyyay11111piipijji18 ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量检验方法通过在回归方程右边加入因变量 yt 的滞的滞后差分项来控制高阶序列相关后差分项来控制高阶序列相关 tpiitittuyyy11 tpiitittuyayy11 tpiitittuytayy11 (5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)9 扩展定义将检验扩展定义将检验 (

6、5.3.14) 序列序列 yt可能还包含常数项和时间趋势项。可能还包含常数项和时间趋势项。判断判断 的估计值的估计值 是接受原假设或者接受备选假设，进而是接受原假设或者接受备选假设，进而判断一个高阶自相关序列判断一个高阶自相关序列AR(p) 过程是否存在单位根。过程是否存在单位根。 类似于类似于DF检验，检验，Mackinnon通过模拟也得出在不同回通过模拟也得出在不同回归模型及不同样本容量下检验归模型及不同样本容量下检验 不同显著性水平的不同显著性水平的 t 统计统计量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平下判断高阶自相关序列是否存

7、在单位根。下判断高阶自相关序列是否存在单位根。 0:0:10HH10 但是，在进行但是，在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际检验时，必须注意以下两个实际问题：问题： 通常采用通常采用AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模型的拟合优度等。型的拟合优度等。 选择哪种形选择哪种形式很重要，因为检验显著性水平的式很重要，因为检验显著性水平的 t 统计量在原假设下统计量在原假设下的渐近分布依赖于关于这些项的定义。的渐近分布依赖于关于这些项的定义。 1

8、1 若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所检验的序列的均值不为含有常数，意味着所检验的序列的均值不为0；若原序列；若原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所检验的序列具有线性趋势，一个简单易行的办法是画出检检验的序列具有线性趋势，一个简单易行的办法是画出检验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离 0 的位置随机变动或具有一个线性趋势，进而决定是否在检的位置随机变动或具有一个线性趋势，进而决定是否在检验时添加常数

9、项。验时添加常数项。 若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有线性趋势；若含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有线性趋势；若原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有二次趋势。同样，决定是否势，意味着所检验的序列具有二次趋势。同样，决定是否在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线图来观察。如果图形中大致显示了被检验序列的波动趋势图来观察。如果图形中大致显示了被检验序列的波

10、动趋势呈非线性变化，那么便可以添加时间趋势项。呈非线性变化，那么便可以添加时间趋势项。 12 在经验研究中，尽管在经验研究中，尽管DF检验的检验的DF 统计量是应用最广泛统计量是应用最广泛的单位根检验，但是它的检验功效偏低，尤其是在小样本的单位根检验，但是它的检验功效偏低，尤其是在小样本条件下，数据的生成过程为高度自相关时，检验的功效非条件下，数据的生成过程为高度自相关时，检验的功效非常不理想。另外，常不理想。另外，DF检验和检验和ADF检验对于含有时间趋势的检验对于含有时间趋势的退势平稳序列的检验是失效的。因此，为了改进退势平稳序列的检验是失效的。因此，为了改进DF和和ADF检验的效能，检验

11、的效能，Elliott，Rothenberg和和Stock (1996) 基于基于GLS方法的退势方法的退势DF检验，简称为检验，简称为DFGLS检验，其基本原理如下：检验，其基本原理如下： 13 首先定义序列首先定义序列 yt 的拟差分序列如下：的拟差分序列如下： t = 1, 2, , T 并且构造如下回归方程：并且构造如下回归方程： t = 1, 2, , T (5.3.14)其中其中xt =(1) 表示表示 yt 中只含有截距项，或中只含有截距项，或 xt = (1,t) 表示表示 yt 中含有中含有截距项和趋势项。令表示方程截距项和趋势项。令表示方程(5.3.14)参数的最小二乘估计

12、量，参数的最小二乘估计量，在实际计算中通常如下定义参数在实际计算中通常如下定义参数 a： 11)|(1tifayytifyaydtttttttuaadayd)()|()|(x, 1/5 .1311/71tifTifTattxx14 利用方程利用方程(5.3.14)的估计参数定义退势后的序列的估计参数定义退势后的序列ytd为为 t = 1, 2, , T 然后，对退势后的序列然后，对退势后的序列ytd，应用，应用ADF检验，即为检验，即为DFGLS检验。检验过程如下：检验。检验过程如下： t = 1, 2, , T 原假设和备选假设同原假设和备选假设同ADF检验一致，为检验一致，为 Elliot

13、t，Rothenberg和和Stock (1996)给出了不同置信水给出了不同置信水平下的临界值，平下的临界值，DFGLS检验同一般的检验同一般的ADF检验一样是左侧检验一样是左侧单边检验。单边检验。)(ayyttdtxtpiditidtdtuyyy111 0:0:10HH15 双击序列名，打开序列窗口，选择双击序列名，打开序列窗口，选择View/unit Root Test，得到下图：得到下图： 16 进行单位根检验必须定义进行单位根检验必须定义4项：项： 在在Test type的下拉列表中，选择检验方法。的下拉列表中，选择检验方法。EViews5提供提供了了6种单位根检验的方法：种单位根检

14、验的方法： Augmented Dickey-Fuller(ADF) Test Dickey-Fuller GLS Test Phillips-Perron(PP) Test Kwiatkowski , Phillips , Schmidt and Shin (KPSS) Test Elliot , Rothenberg , and Stock Point Optimal (ERS) Test Ng and Perron (NP) Test17 在在Test for unit root in中确定序列在中确定序列在下进行单位根检验。可以使用这个选项决下进行单位根检验。可以使用这个选项决定序列中

15、单位根的个数。如果检验水平值未拒绝，而在定序列中单位根的个数。如果检验水平值未拒绝，而在一阶差分拒绝原假设，序列中含有一个单位根，是一阶一阶差分拒绝原假设，序列中含有一个单位根，是一阶单整单整I(1)；如果一阶差分后的序列仍然未拒绝原假设，；如果一阶差分后的序列仍然未拒绝原假设，则需要选择则需要选择2阶差分。一般而言，一个序列经过两次差分阶差分。一般而言，一个序列经过两次差分以后都可以变为一个平稳序列，也就是二阶单整以后都可以变为一个平稳序列，也就是二阶单整I(2)。 18 在在Include in test equation中定义在检验回归中是否中定义在检验回归中是否。这一选。这一选择很重要

16、，因为检验统计量在原假设下的分布随这择很重要，因为检验统计量在原假设下的分布随这3种种情况不同而变化。在什么情况下包含常数项或者趋势项，情况不同而变化。在什么情况下包含常数项或者趋势项，刚才已经作了介绍。刚才已经作了介绍。19 在在Lag lenth这个选项中可以选择一些确定消除序列这个选项中可以选择一些确定消除序列相关所需的相关所需的的准则。一般而言，的准则。一般而言，EViews默认默认SIC准则。准则。 定义上述选项后，单击定义上述选项后，单击OK进行检验。进行检验。EViews显示显示检验统计量和估计检验回归。检验统计量和估计检验回归。 单位根检验后，应检查单位根检验后，应检查EVie

17、ws显示的估计检验回归，显示的估计检验回归，尤其是如果对滞后算子结构或序列自相关阶数不确定，尤其是如果对滞后算子结构或序列自相关阶数不确定，可以选择不同的右边变量或滞后阶数来重新检验。可以选择不同的右边变量或滞后阶数来重新检验。 2021 例用例用AR(1) 模型模拟模型模拟1983年年1月月2007年年8月居月居民消费价格指数一阶差分民消费价格指数一阶差分 CPI的变化规律。在用的变化规律。在用ADF进行单位根检验前，需要设定序列的是否含有进行单位根检验前，需要设定序列的是否含有常数项或者时间趋势项。我们可以通过画出原序列常数项或者时间趋势项。我们可以通过画出原序列的图形来判断是否要加入常数

18、项或者时间趋势项。的图形来判断是否要加入常数项或者时间趋势项。从图的从图的CPI图形可以看出不含有线性趋势项。图形可以看出不含有线性趋势项。CPI序序列的列的ADF检验结果检验结果(选择既无常数项也无趋势项选择既无常数项也无趋势项)如下：如下：221983年年1月月2007年年8月的月的CPI序列单位序列单位根根ADF检验结果。可检验结果。可以看出不能拒绝原假以看出不能拒绝原假设，存在单位根。设，存在单位根。23 1983年年1月月2007年年8月的月的CPI序列单序列单位根位根DF-GLS检验结检验结果。采用含有常数和果。采用含有常数和趋势项的形式。不能趋势项的形式。不能拒绝原假设，拒绝原假设， CPI序序列存在单位根。列存在单位根。24 检验结果显示，检验结果显示，CPI序列序列接受原假设，因此，接受原假设，因此，CPI序列序列是一个非平稳的序列。接着再对一阶差分是一个非平稳的