福建省2013届高三数学上学期单元测试 推理证明 立体几何 理

1、南安一中2013届高三上学期 单元测试班级 座号 姓名 成绩 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1下列命题中，为真命题的是（ ）A若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面； B若、三向量两两共面，则、三向量一定也共面； C若、不共线，则、所在的直线不平行；D已知三向量、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为 2已知（2，1，3），（1，4，2），（3，2，），若、三向量共面，则实数等于（ ） A 1 B 4 C 3 D 23下列命题中，为真命题的是（ ）A若直线m、n都平行于，则B设是直二面角，若直线则C若直线m、n是异面直线，则n与相交D若m、n在平面内的射影依次是一个点和一条

2、直线，且，则或4已知直线、和平面、，有下列命题： 若，则；若，则； 若，则； 若，则 其中正确的命题是（ ）A B C D正视图2侧视图俯视图5一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该三棱柱的表面积为（ ） A24cm2 B cm2 C cm2 Dcm26一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（ ）7等边ABC和等边BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为（ ）A B C D8水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如右图是一个正方体

3、的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ）A8 B0 C奥 D运9一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）1 2 5 10 174 3 6 11 189 8 7 12 1916 15 14 13 2025 24 23 22 21A2 B1C1 D10正整数按右表的规律排列：则从上往下第2012行，从左往右第2013列的数应为（ ）A BC D二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分11已知长方体ABCDA1B1C1D1的对角线，点E是DD1的中点，则异面直线A1E与B1D所成角的

4、大小为是12利用数学数学归纳法证明“”，由n=k（k2）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的式子为 13一多面体的三视图如下图所示，则其体积为 14如上图（1），在三角形中，若，则；现类比该命题，如上图（2），三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则 （写出一个类似的正确结论）15将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD所成的角为60°AB与CD所成的角为60°其中正确结论的序号是 （写出所有你认为正确的结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，满分80分16（6+7分）设双曲线C的渐近线方

5、程为（1）求双曲线C的离心率 （2）若双曲线C被直线截得的弦长为，求双曲线的方程17（5+4+4分）如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示（1）求出该几何体的体积；（2）若N是BC的中点，求证：AN平面CME；（3）求证：平面BDE平面BCD18（4+5+4分）如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影 （1）求直线EF与直线BC所成角的大小； （2）求点O到平面ACD的距离；（3）求直线OA与平面

6、ACD所成的角的正弦值的大小 19（3+5+5分）如图，在直三棱柱中，点D、E分别是棱、的中点（1）求点B到平面的距离； （2）求二面角的余弦值；（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF平面？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由20（4+4+6分）已知函数（1）求曲线在处的切线方程；（2）若过点作曲线的切线，切点为P，求与m的关系式 （3）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. 21（7+7分）请将（1）（2）两题的解答过程分别写在答题卡划分的上下两部分（1）已知二阶矩阵M对应的变换将点（1，）变换为点（，），若矩阵M对应的变换将直线变换成，求的方程（2）已知曲线C的极坐标

7、方程是，设直线l的参数方程是（t为参数）判断直线l和曲线C的位置关系南安一中2013届高三上学期数学单元试卷（理科）参考答案（ 内容：推理证明+立体几何 ） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1C 2B 3D 4B 5D 6C 7B 8A 9A 10A6解析：由正视图和侧视图知，该长方体上面去掉的小长方体，从正前方看在观察者左侧，从左侧向右看时在观察者右侧，故俯视图为C8解析：折起后，0和运，0和奥分别相对、2和8相对，2在上面，8在下面，另外两个0，一个在左面，一个在后面，奥在右面，运在前面9解析：设直观图为OABC，建立如图所示的坐标系，按照斜二测画法的规则，在原来的平面图

8、形中OCOA，且OC2，BC1，OA12×1，故面积为×(11)×2210解析：由上的规律可知，第一列的每个数为该数所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1.依题意有，左起第2013列的第一个数为，故按连线规律可知，上起第2012行，左起第2013列的数应为二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分1145o 12 13 14 13解析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，底面是边长为2的正方形ABCD，一个侧面是边长为2的正三角形PAB，该侧面与底面垂直，故其体积V×2×2×其直观图如图14解析：在图（2）中，连

9、结，并延长交于，连结，则有因为面，所以又，所以于是15 、 三、解答题：本大题共6小题，满分80分16解析：（1）若双曲线的焦点在x轴，则若双曲线的焦点在y轴，则综上，双曲线C的离心率为或（2） 双曲线C的渐近线方程为，可设双曲线的方程为 由 弦长， 所求双曲线方程为： 即：17 解析：（1）由题意可知，四棱锥BACDE中，平面ABC平面ACDE，ABAC，所以，AB平面ACDE， 又ACABAE2，CD4，则四棱锥BACDE的体积为VSACDE·AB××24（2）连接MN，则MNCD，AECD，又MNAECD，所以四边形ANME为平行四边形，ANEM，AN平面C

10、ME，EM平面CME，所以，AN平面CME（3）ACAB，N是BC的中点，ANBC，又在直三棱柱中可知，平面ABC平面BCD， AN平面BCD， 由(2)知，ANEM，EM平面BCD，又EM平面BDE，所以，平面BDE平面BCD18解法一：（1）因为E、F分别是棱AD、CD的中点， 所以EFAC.所以BCA是EF与BC所成角. 正四面体ABCD，ABC为正三角形，所以BCA = 60°.即EF与BC所成角的大小是60°（2）如图，连结AO，AF，因为F是CD的中点，且ACD，BCD均为正三角形，所以BFCD，AFCD.因为BFAF = F，所以CD面AFB因为CD面ACD，

11、所以面AFB面ACD因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，所以点O必在正三角形BCD的中线BF上，在面ABF中，过O做OGAF，垂足为G，所以OG面ACD即OG的长为点O到面ACD的距离因为正四面体ABCD的棱长为1，在ABF中，求得AF = BF=，OF=，AO = ，因为AOFOGF，故由相似比求得OG = 所以点O到平面ACD的距离是 （3）OG面ACD，OAG即为OA与平面ACD所成的角在RTOAF中， 为所求解法2：（1）同解法一（2）如图，连结AO，CO，DO，所以点O到平面ACD的距离就是三棱锥OACD底面ACD上的高h.与解法1同理容易求出OF=，AO = ，所

12、以VACOD = 因为VOACD = VACOD，所以= VOACD = 解得（3）设直线OA与平面ACD所成的角为，点O到平面ACD的距离 ，在RTOAF中， 为所求19解法一（综合几何法）（1）是直三棱柱， 底面ABC ， 平面 BC=2 点B到平面的距离为2 （2）分别延长、交于点G，过C作于M，连结BM 平面， CM为BM在平面内的射影 为二面角的平面角 在平面中， ，D为的中点 ，在直角中， ，即二面角的余弦值为（3）在线段AC上存在一点F，使得EF平面，其位置为AC的中点证明如下：是直三棱柱， 由（1），知平面， 平面， EF在平面内的射影为 F为AC的中点 同理可证 平面 E为定

13、点，平面为定平面 点F唯一解法二（坐标法）（1）同解一（2）在直三棱柱中，分别以向量、所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由， D、E分别是棱、的中点，得C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），（0，0，2），（2，0，2），（0，2，2），D（0，0，1），E（1，0，2） ，0，1），2，2），设平面的一个法向量为，则 即 解得，即，2） 又 平面的一个法向量为（1，0，0） cos，=，即二面角的余弦值为 （3）由F是线段AC的中点，得F（0，1，0），则=（1，2）， ，2），= ， 又，2）为平面的一个法向量，所以 平面，即 EF平面 20解析：（1） 曲线在处的切线方程为，即；（2）过点向曲线作切线，切点为，则则切线方程为，把点代入整理得 （*）（3）过点可作曲线的三条切线，方程（*）有三个不同实数根.记令或1. 则的变化情况如下表增函数极大值减函数极小值增函数当有极大值有极小值.