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文档简介

1、第七章 简单的微分方程与差分方程在社会实践、科学技术、经济管理等领域中,许多现象最终往往归结为某些变量与这些变量的导数(或差分)间的关系,即由未知函数的导数或者微分的方程,只要求解这些方程解出函数,那么人们所研究的问题就能得到解决.这种含有未知函数的导数或者微分的方程就称为微分方程.主要内容:本章主要介绍微分方程的基本概念,并介绍求简单的微分方程的基本方法.§1微分方程的概念一 微分方程的概念我们先给出一个例子说明微分方程的概念.例1 已知某曲线在点处的切线斜率为,又已知曲线过点,求满足条件的曲线的方程.解: 根据导数的几何意义,我们可以知道所求的曲线满足条件:,且, (*)由不定积

2、分知 ,又,所以有.所以,所求解的曲线方程为 .下面我们给出微分方程的概念.定义1 含有未知数的导数或者微分的方程,称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程,称为常微分方程.微分方程中出现的未知函数导数(或微分)的最高阶数,称为微分方程的阶.例如:,都是一阶常微分方程,而则是二阶常微分方程.本章主要介绍一些比较简单的的常微分方程的解法.二 微分方程的解求微分方程的解的过程叫求解微分方程.如果一个函数代入方程后使得方程的两端恒等,就称这个函数是微分方程的一个解.通过验证可知 是的一个解,像这种给出具体的函数的解我们称为方程的特解.而(其中为任意常数)显然也是方程的解,象这种解我们称为方程的通解

3、.可以验证,对于微分方程而言,函数是它的一个特解,而函数(其中是任意常数).§2 一阶线性微分方程本节主要讨论形如的一阶微分方程的解法和形如的可以降阶的二阶微分方程的解法.一 可分离变量的一阶微分方程形如的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程,其中和分别是关于和的连续函数.此类微分方程的解法是将变量分离(假设,若,则是通解),即,上式两端同时积分,得,若和分别是和的一个原函数,则所求的微分方程的通解为,其中,为任意常数.例1 求解微分方程.解:原方程可以转化为 ,即对上式积分有,即 故 .二 齐次微分方程1 齐次微分方程形如的一阶微分方程,称为齐次微分方程.作变量替换,引入新的未知函

4、数,即令,代入,得,即 ,分离变量可得 ,两边积分可得 ,因此其次微分方程得通解是.例2 求解微分方程.解: 将方程化为.令,代入上式得即 易知,是这个方程的一个解,从而为原方程的一个解.当时,分离变量得,两端积分得,即 ,将代入并解出,得原方程得通解为.2 可化为齐次方程的微分方程形如 三 一阶线性微分方程形如的微分方程,称为一阶线性微分方程. 当的时候,上式即,称之为一阶线性齐次微分方程. 当的时候,上式即,称之为一阶线性非齐次微分方程.1 一阶线性齐次微分方程的通解方程即,该方程是可分离变量的,因此,可以求出它的通解是 (其中为任意常数).2 一阶非线性微分方程的通解当的时候,我们一般用“常数变异法”求方程的解,具体如下设是方程的解, 则,将其代

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