安徽省合肥市2025届高三上学期教学诊断检测（四）数学含答案

2022级高三同步诊断数学学科一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．满足的集合的个数有（

）个A．8 B．7 C．6 D．52．命题“，使得”成立的一个充分不必要条件可以是（

）A．（0,1） B． C． D．3．我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（

）A． B． C． D．94．已知函数的极大值点为，则f(x)的极小值为（

）A．0 B． C． D．5．为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（

）A．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位B．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位C．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位D．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位6．定义在上的偶函数y=fx的导函数为y=f′x，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．7．已知，，则的值为A． B． C． D．8．已知，则（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．下列命题正确的是（

）A．要使关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是B．在上恒成立，则实数k的取值范围是C．关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或D．若不等式的解集为或，则10．定义在上的函数満足，且当时，，则有（

）A．为奇函数B．为增函数C．D．存在非零实数a，b，使得11．设，已知在上有且仅有5个零点，则下列结论正确的是（

）A．在上有且仅有3个最大值点 B．在上有且仅有2个最小值点C．在上单调递增 D．的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．13．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则14．若对任意，不等式恒成立，则实数m的最大值．四、解答题：本题共4小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．若，且(1)求ab的取值范围；(2)求的最小值，以及此时对应的a的值．16．设函数．(1)求的单调递增区间；(2)当时，方程有解，求实数的取值范围．17．已知函数有两个零点．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：；18．已知函数，.(1)求函数的极值点个数；(2)若函数存在极大值点，且使得恒成立，求实数a的取值范围．1．B【分析】根据子集、真子集的概念判断出集合含有的可能情况.【详解】集合A中一定含有1,2,3，可能含有4,5,6，但不能同时含有4,5,6.由此可得到满足条件的集合A的个数就是集合的真子集个数，共有个.故选：B2．A【分析】先将命题转化为二次函数在R上恒成立问题，然后求出a的范围，最后利用集合法得出答案.【详解】，使得,等价于在R上恒成立，令，由二次函数的性质可得当时，恒成立，解得，要想是命题“，使得”成立的一个充分不必要条件,只需要满足为的子集即可，四个选项中，只有选项A满足题意.故选：A3．A【分析】先计算出扇形的面积，再求出，相减得到答案.【详解】由题意得，劣弧，故扇形的面积为，设圆心角为，则，故，故圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积为.故选：A4．D【分析】求导并令得或,再结合题意得,进而得函数的单调区间得函数f(x)在处取得极小值,极小值为.【详解】解:求导得,令得或,因为函数的极大值点为，所以,即所以函数f(x)在区间和上单调递增,在区间上单调递减,所以函数f(x)在处取得极小值,极小值为故选:D5．C【分析】根据给定条件，利用三角函数图象的变换，结合函数解析式，即可直接判断即可.【详解】将函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，得的图象，再将所得图象向左平移个单位，得.故选：C6．A【分析】根据可变形为，构造函数，判断其奇偶性、单调性，结合函数性质解不等式即可.【详解】当时，，所以当时，，令，则当时，，故在时，单调递减，又因为在上为偶函数，所以在上为奇函数，故在上单调递减，因为，所以，当时，可变形为，即，因为在上单调递减，所以且，得；当时，可变形为，即，因为在上单调递减，所以且，得；综上：不等式的解集为.故选：A.7．D【详解】所以，选D.8．B【分析】根据题意构造函数，判断出其单调性可得，利用函数的单调性可知，再由可求得，即可得出结论.【详解】由可知，构造函数则，由可得q′x因此当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，所以，即恒成立，所以（当且仅当时取等号）恒成立，故当时，对两边同时取对数可得（当且仅当时取等号）恒成立，故（当且仅当时取等号）即（当且仅当时取等号），故；构造函数则，令，则，令，则，当时，，所以在上单调递减，可得，即在上单调递减，可得，即可得在上单调递减，即对，综上，故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据中的数字特征构造函数，并利用导数求出函数单调性即可比较得出它们的大小.9．AD【分析】A：令，则，即可求得a的范围；B：令，则，即可求得k的范围；C：根据题意求出a和b的关系，化简即可求出解集；D：根据二次方程根与系数的关系求出间的关系，即可判断abc的符号．【详解】对于A，要使关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，令，则有，解得，故A正确；对于B，∵在上恒成立，令，则，解得，故B错误；对于C，∵关于x的不等式的解集是，∴，则关于x的不等式的不等式等价于，即，解得或，故C错误；对于D，若不等式的解集为或，则，得，，，所以，故D正确．故选：AD.10．ABD【分析】令，得到，再令得，从而得出为奇函数可判断选项A;设，则，所以,可得出单调性，从而可判断选项B；由，由单调性可判断选项C；由，由单调性可得，从而可判断选项D.【详解】由，令得，得.令得，即所以为奇函数，故选项A正确.设，则，所以由条件可得，即所以为上的增函数，故选项B正确.由为上的增函数，则，所以，故选项C不正确.由为上的增函数,则，即也即设，由，则，所以在有解.例如取，则，所以存在非零实数a，b，使得，故选项D正确.故选：ABD11．ACD【分析】将看成整体角，根据题意得，结合正弦函数的图象观察分析求得，且易得在上有且仅有3个最大值点，但最小值点个数不确定，最后由推得，根据求得的判断的范围能确保单调递增即得.【详解】设，由，可得，作出的图象如图，要使在上有且仅有5个零点，须使，解得：，故D项正确；对于A项，由图可知时，，在此区间上函数有且仅有3个最大值点，故A项正确；对于B项，由图可知时，，在此区间上，函数的最小值点可能有2个或3个,故B项错误；对于C项，当时，，由上分析知，则，即，而此时单调递增，故在上单调递增，故C项正确.故选：ACD.12．【分析】根据指数幂运算、对数运算法则化简求值即可得到结果.【详解】故答案为：.13．【分析】利用辅助角公式化简后，借助图象结合正弦型函数的周期性、最值计算即可得解.【详解】，则由，有，即，的周期，故，又，故，则有，解得，又，故.故答案为：.14．e【分析】等价变形给定的不等式，构造函数，由单调性可得，再构造函数并求出最小值即得.【详解】依题意，对任意，恒成立，而，当时，，不等式成立，当时，令，求导得，函数在上单调递增，原不等式等价于，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，则，所以实数m的最大值为e.故答案为：e【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.15．(1)(2)的最小值为13，此时.【分析】（1）由已知结合基本不等式求解；（2）由已知可利用表示，代入所求式子后进行分离，然后结合基本不等式可求．【详解】（1），当且仅当时取等号，，解得或（舍），故.则ab的取值范围为.（2）若，且，，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为13，此时.16．(1)(2)【分析】（1）借助三角恒等变换公式将原函数化为余弦型函数后，结合余弦型函数的性质计算即可得；（2）计算出当时，的值域即可得解.【详解】（1），令，解得，即的单调递增区间为；（2）由（1）知，，当时，，则，即，由方程有解，故.17．(1)(2)证明见解析【分析】（1）构造新函数，利用新函数的单调性和值域去求实数a的取值范围；（2）构造新函数并利用极值点偏移去证明；【详解】（1）又因为函数单调递增，且，在上单调递减，在上单调递增，当，即时，，，在上各有一个零点，当时，的最小值为，且，在内至多只有一个零点，综上，实数的取值范围是.（2）设，则当时，，，，在上单调递增，当时，，即当时，又因为函数有两个零点，由（1）知，，，又在单调上递减，，即.【点睛】方法点睛，利用导数证明不等式，常用方法有如下几种：方法一：等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略；方法二：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明；方法三：利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立.18．(1)答案见解析(2)【分析】（1）对求导后，讨论的范围确定导函数的符号，从而确定函数的单调性，进而求出极值点的个数；（2）由（1）得，当时，存在极大值点，记为，且，根据已知的不等式构造函数，根据导数判断的单调性从而得到，再构造函数，继续利用导数判断单调性，进而求出a的取值范围.【详解】（1）的定义域为，由题意得，令，则，①当时，恒成立，在递增，当时，，当时，，在存在，使得，在单调递减，在单调递增，在处取得极大值，此时有一个极值点；②当时，令得，当时，，单调递增，时，，单调递减，所以，（i）当，即时，此时，在无单调增区间，所以此时无极值点；（ii）当，即时，当时，，当时，，在存在，使得，在存在，使得，在单调递减，在单调递增，在单调递减，在处取得极小值，在处取得极大值，此时