2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：圆锥曲线的综合问题（练习 详细解析）大纲人教版

1、提能拔高限时训练38 圆锥曲线的综合问题一、选择题1.设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）A.±2 B. C. D.解析:椭圆的长轴两端点和焦点分别为(5,0),(-5,0)和(4,0),(-4,0).设双曲线方程为,则有c=5,a2+b2=c2,a2=20,b2=5.故其渐近线为.答案:C2.F1,F2是椭圆C:的两个焦点,在椭圆C上满足PF1PF2的点P的个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D.4解析:由,得a=,b=2,c=2.b=c=2,以原点为圆心,c为半径的圆与椭圆有2个交点.满足PF1PF2的点P的个数为2.答案:C3.

2、双曲线的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上,PF1F2的面积为,则的值是（ ）A.2 B. C.-2 D.解析:设=m,=n,F1PF2=,则mnsin=,m2+n2-2mncos=()2.由这两式消去m和n,得cos=.mn=4.=mncos=4×=2.答案:A4.如图,在ABC中,则过点C,以A、H为两焦点的双曲线的离心率为（ ）A.2 B.3 C. D.解析:由已知,得AHBC.由得tanC=.设CH=3m,则AH=4m,AC=5m(m>0).由双曲线的离心率的定义,知过点C,以A、H为两焦点的双曲线的离心率.答案:A5.在给定双曲线中,过焦点且垂直于实轴的弦长为,焦点

3、到相应准线的距离为,则该双曲线的离心率为（ ）A. B.2 C. D.解析:不妨设双曲线方程为(a>0,b>0),则依题意有且,据此解得,选C.答案:C6.已知直线l:x=4,直线l上任一点A,过点A作l的垂线l1,点B(8,2),线段AB的垂直平分线交l1于点P,则点P的轨迹方程是（ ）A.(y-2)2=8(x-6)B.(y-2)2=4(x-6)C.D.解析:如图,设P(x,y),则A(4,y),AB的中点.因为PM是线段AB的垂直平分线,所以有kAB·kPM=-1.整理,得(y-2)2=8(x-6),即为点P的轨迹方程.答案:A7.设椭圆(a>b>0)的离

4、心率,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两实根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)（ ）A.必在圆x2+y2=2内 B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外 D.以上情形都有可能解析:,a=2c.又a2=b2+c2,b2=.x1+x2=,x1x2=,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2.答案:A8.已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为（ ）A. B. C. D.解析:依题意,设弦端点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x12+2y12=4,x22+2y22=4.x12-x22=-2(y12-y22).此弦斜率.此弦直线方程为,即.代入

5、x2+2y2=4,整理,得3x2-6x+1=0.x1x2=,x1+x2=2.|AB|=.答案:C9.若椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成53的两段,则此椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.解析:由已知F1FFF2=53,其中FF2=OF2-OF=,F1F=OF1+OF=c+.c=2b.又a2=b2+c2=b2+4b2=5b2,a=b.答案:D10.PAB所在的平面和四边形ABCD所在的平面垂直,且AD,BC,AD=4,BC=8,AB=6,APD=CPB,则点P在平面内的轨迹是（ ）A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.双曲

6、线的一部分 D.抛物线的一部分解析:AD,BC,ADBC,且CBP=DAP=90°.又CPB=APD,故RtCBPRtDAP,有.在平面PAB内,以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如上图所示的直角坐标系,则A(-3,0)、B(3,0).设P(x,y),则,化简,得x2+y2+10x+9=0.注意到点P不在直线AB上,点P的轨迹方程为x2+y2+10x+9=0(y0),点P在平面内的轨迹为圆的一部分.答案:A二、填空题11.(2009湖北八校高三第一次联考)当,)时,方程x2sin-y2cos=1表示的曲线可能是_.(填上你认为正确的序号)圆 两条平行直线 椭圆 双曲线

7、抛物线解析:，),当=时,sin=-cos=.此时x2sin-y2cos=1,即x2+y2=表示一个圆;当=时,sin=1,cos=0,此时x2sin-y2cos=1,即x2=1表示两条平行直线;当<<,且时,cos<0<sin,且|sin|cos|,此时x2sin-y2cos=1表示椭圆.答案:12.如图,在ABC中,ABC=ACB=30°,AB、AC边上的高分别为CD、BE,则以B、C为焦点,且经过D、E两点的椭圆与双曲线的离心率之和为.解析:设BC=2,椭圆的焦距为2c,长轴长为2a,离心率为e;双曲线的焦距为2c,实轴长为2a,离心率为e.于是2c=2

8、c=2,2a=|BE|+|CE|=1+,2a=|BE|-|CE|=-1,所以.答案:13.已知抛物线y2=2px(p>0),过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点,则我们知道为定值.请写出关于椭圆的类似结论_:.当椭圆方程为时,=_.解析:通过列方程组及椭圆的第二定义,计算|AF|与|BF|推出结论,这个和为定值: .当椭圆方程为时,.答案:已知椭圆(a>b>0),过焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点,则为定值14.从双曲线的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P,T为切点,M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|等于_.解析:点P在双曲线的右支

9、上,设右焦点为F2,则|PF|-|PF2|=2a=.在RtOTF中,|FO|=c=,|OT|=a=,|TF|=b=.在PFF2中,MO为其中位线,|MF|-|MO|=a=,即|MT|+5-|MO|=.|MO|-|MT|=.答案: 三、解答题15.已知椭圆C1的方程为,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.(1)求双曲线C2的方程;(2)若直线l:y=kx+与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点),求k的取值范围.解:(1)设双曲线C2的方程为,则a2=4-1=3.再由a2+b2=c2,得b2=1

10、.故双曲线C2的方程为.(2)将y=kx+代入,得(1+4k2)x2+8kx+4=0,由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点,得1=(8)2k2-16(1+4k2)=16(4k2-1)>0,即k2>.将y=kx+代入,得(1-3k2)x2-6kx-9=0,由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A、B,得即k2且k2<1.设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=.由,得xAxB+yAyB<6,而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+)=(k2+1)xAxB+k(xA+xB)+2=(k2+1)·.于是,即.解此不等式,得k2>或k2&

11、lt;.由,得或.故k的取值范围为.16.已知抛物线y=x2上两点A、B满足,>0,其中点P坐标为(0,1),O是坐标原点.(1)求四边形OAMB的面积S的最小值;(2)求点M的轨迹方程.解:(1)由,知A、P、B三点在同一直线上,设该直线方程为y=kx+1,A(x1,x12),B(x2,x22).由得x2-kx-1=0,x1+x2=k,x1x2=-1.=x1x2+x12x22=-1+(-1)2=0,.又四边形OAMB是平行四边形,四边形OAMB是矩形.S=.因此k=0时,S取最小值2.(2)设M(x,y),由,得x2=y-2,点M的轨迹方程是y=x2+2.教学参考例题 志鸿优化系列丛书

12、【例1】直线l:y=kx+1与双曲线C:x2-y2=1的左支交于不同的两点A、B,直线m过点P(-2,0)和AB的中点M,求m在y轴上的截距b的取值范围.解:由消去y得(k2-1)x2+2kx+2=0,x-1,由题意可得解得1-k<.设M(x0,y0),则由P(-2,0),Q(0,b)三点共线可知.令f(k)=-2k2+k+2,则f(k)在(1,)上为减函数.f()<f(k)<f(1)且f(k)0,则b<-(2+)或b>2.【例2】已知定点P(p,0)(p>0),动点M在y轴上的射影为H,若向量与在方向上的投影相等,直线l:x+y=m.(1)求动点M的轨迹C

13、的方程;(2)若将曲线C向左平移1个单位与直线l相交于两个不同点R、Q,且=0,求p关于m的函数f(m)的表达式.解:(1)设M(x,y),则H(0,y),则=(x,y),=(x,0),=(x-p,y).由题意可知,得x(x-p)+y2=x2.故C的方程为y2=px.(2)曲线C向左平移1个单位后的曲线方程为y2=p(x+1).由消去y,得y2-(2m+p)x+(m2-p)=0,=(2m+p)2-4(m2-p)=p(4m+p+4)>0,即.设Q(x1,y1),R(x2,y2),则由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=2m+p,x1·x2=m2-p.,x1·x2+

14、y1·y2=2(m2-p)-m(2m+p)+m2=m2-(m+2)p=0.p=f(m)=.又p>0,m>-1-,f(m)的定义域为(-2,0)(0,+).【例3】如图,已知F为椭圆(a>b>0)的右焦点,直线l过点F且与双曲线的两条渐近线l1、l2分别交于点M、N,与椭圆交于点A、B.(1)若MON=,双曲线的焦距为4,求椭圆方程;(2)若(O为坐标原点),求椭圆的离心率e.解:(1)MON=,M,N是直线l与双曲线两条渐近线的交点,即a=.双曲线的焦距为4,a2+b2=4.解得a2=3,b2=1,椭圆的方程为.(2)设椭圆的焦距为2c,则点F的坐标为(c,0

15、).,ll1.直线l1的斜率为,直线l的斜率为.直线l的方程为.由解得即点,设A(x,y),由,得(x-c,y)=,即解得点A的坐标为.点A在椭圆上,即(3c2+a2)2+a4=16a2c2.(3e2+1)2+1=16e2.9e4-10e2+2=0.椭圆的离心率.【例4】已知曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线l:y=-2的距离小1.(1)求曲线C的方程;(2)若过点P(2,2)的直线m与曲线C交于A,B两点,设.当=1时,求直线m的方程;当AOB的面积为4时(O为坐标原点),求的值.解:(1)设M(x,y),则由题意得|MF|=|y+2|-1,即.当y-2时,两边平方得x2=4y;当y<-2时,两边平方得x2=8y+8,因y<-2,不合题意,舍去.故点M的轨迹C的方程是x2=4y.(2)当直线m的斜率不存在时,它与曲线C只有一个交点,不合题意,当直线m与x轴不垂直时,设直线m的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k).代入x2=4y,得x2-4kx+8(k-1)=0,=16(k2-2k+2)>0对kR恒成立,直线m与曲线C恒有两个不同的交点.设交点A,B的坐标分别为A(x1