导数大题练习带答案

1、1 已知 = jdnx g(x)时间2021.03.10创作：欧阳治(I)对一切x(), +oo), 如的恒成立，求实数 刃的取值范围；(U)当心一1时，求函数心)在巾， 巾+3(巾>0)上的最值;(山)证明:对一切x(), + x),都有 lnx+l>-2成立.e ex2、已知函数 f(x) = - + anx-2(a>0). ( I )若曲线 V=fX在点P (1, /'(I)处的切线与直线尸卄2垂直， 求函数尸f©的单调区间；(II)若对于V“(0，s 都有f W >2(1)成立，试求a的取值范围；(111)记g (或二厂(或(6R) 当刃=1时

2、，函数 g (或在区间K1, q上有两个零点，求实数b的取值 范围.3. 设函数 £二liuf(x02, CR. ( I )若 5=(), 求函数£("在1, q上的最小值；(II)若函数厂在1 2±存在单调递增区间，试 求实数方的取值范围；(1H)求函数£(劝的极值点.4.已知函数 f M = (ix2 -(2 + l)x + 21nx (a e R).2(I)若曲线y = /V)在x=l和x=3处的切线互相平 行，求“的值；(II)求/的单调区间；(111)设 g(x) = x2-2x ,若对任意x, e(0,2,均存在 勺丘(0,2,使得

3、f(xl)<g(x2),求a的取值范围.5 已知函数 f(x) = - + anx-2(a>0)X(I)若曲线/=«为在点R1, &)处的切线与直线 y=x+2垂直，求函数/=/(或的单调区间；(U)若对于任意皿(0,+8)都有/'&)>2(“-1)成立，试求3 的取值范围；(山)记 e = ®+xbbCR).当 n=1 时，函数 以或在区间川上有两个零点，求实数b的 取值范围.6、已知函数.X若函数在区间(心+ £)(其中“>0)上存在极 值，求实数£的取值范围；(2)如果当ai时,不等式/u)>J

4、L恒成立，求实 A+ 1数£的取值范围.1.解：(I)对一切X 6 (0,+CO),/(X)> g恒成立，即 xhx-ax>-x2 - 2恒成立.也就是a<nx + x+ 在xv (0,+s)恒成 x立.1分令 F(x) = In 兀 + x + 二,x则F1 (x)=丄+ 1罕宀2 =(卄2)丁1),2分XJCQ对在(0,1)上 F (x)<0 ,在(1,4-00)上 F' (x)>0 ,因此，卩在x = l处取极小值，也是最小 值，即 Fnun(x) = F(l) = 3,所以6/<3.4分(II)当 « = -10寸，f(x

5、) = xlnx + x ,f(x) = lnx + 2, 由 f (a) = 0得V = -T-6 分当 0</7/<1 时，在(x)<0,在*(亠,加+ 3上广(劝>0因此，/在x=4处取得极小值，也是最小值./min W = _T *e由于/ (加)< 0,/(/w + 3) = (m + 3)ln(/w + 3) +1 > 0因此，/maxW =+ 3) = (m + 3)ln(m + 3) + 1 8 分当m > 4-时，/'(x)>0 ,因此fCr)在加,”2 + 3上单调递增，所以 /minW = /(也)=加(g 加 +

6、1),/maxW =+ 3) =+ 3)ln(m + 3) + 19分(HI)证明：问题等价于证明1()分由(II)知G = _l时，fM = xhx + x的最小值是 -4,当且仅当x=4时取得，11分设 G(x) =- (x e (0,+oo),则 G，(x) = U二，易知e eeGQx) = G(l) = -l ,当且仅当x = l时取 e到，12分但-亠>-1,从而可知对一切X 6(0,+00),不 e都有lnA-4-l>-成立.13分2、解：(I)直线J-aH-2的斜率为1.函数£(或的定 义域为()，+oo),因为/«W = -4 + -,所以 厂

7、(1) = 魚+ ? = 1 ,所以沪 1.所以 fM = - + nx-2 r i%厂(兀)=乍由厂(x)>o解得x>()；由/'(A-)<0解得()Vx<2.所以斤(为的单调增区间是(2, +OO),单调减区间是()，2).4分(II)厂=+ J呼，由 /'«>0 解得 x>?；x" x fa由厂(x)vO解得0<x<-.所以厂在区间(Z,S上单调 aa递增，在区间(0上)上单调递减.所以当"2时，函数 aa£ (或取得最小值，>'min = /(-).因为对于VA-e(0

8、,-Kx)都有 a/(x)>2(«-l)成立,297所 以 /(-) >2(-1)即 可贝！I - + ./ln 2>2(6/-1).由 a£aaan-> a解得0<a<-.所以n的取值范围是(0,-).aee8分(HI )依题得 g(x) = - + nx + x-2-b,则xgg =心由 g，(x)>0解得 x>l；由 g'(x)vO解得 0 JT<A<1.所以函数g(x)在区间()，1)为减函数，在区间(1, +oo)为增函数.又因为函数g(x)在区间厂g()X0 u上有两个零点，所以g(gO 解得l

9、</7<| + e-l.g(l)vO°所以b的取值范围是(l,? + e-1.e13分3.解：（I）几或的定义域为（）,+8）.1分因为/v）=l+2xo,所以£（或在卩,q上是增函数，当A-1时,斤取得最小值f（l） = l.所以厂在1,可上的最小值为1.3分（H）解法一：fx） = - + 2（x-a）=2x22aX + iXX设 g（A）=2”一2ax+i,4分依题意，在区间?2上存在子区间使得不等式g（A）（）成立.5 分注意到抛物线g=2殳一2血1开口向上，所以只要g（）,或g（£）0即可6分由 g0,即 84+1 0,得av由 g（*）0,

10、 gpi-«+l0,所以X?,4所以实数匂的取值范围是(pg).4 8分解法二：/V) =丄+ 2(.y-“)=X2Q + 1 ,XX4分依题意得，在区间百，2上存在子区间使不等式 2“一2祗+1 >0成立.又因为X>0,所以267 <(2x+l).X 5分设g(x) = 2出,所以2玄小于函数g (或在区间?2 的最大值.又因为gx) = 2-,X由gG) = 2-丄>0解得x>茸;x"2由 ga)= 2 A<0解得Ovxv芈.所以函数g (或在区间(当,2)上递增，在区间G，¥)上递减.所以函数g(R在x = + ,或尸2处

11、取得最大值.又g冷,g(扣3,所以2«<|, a<所以实数臼的取值范围是Y，?).48分(1U)因为 fx)=2x22ax + i ,令力(或二2(2劭宀1X 显然，当刃=()时，在(),+8)上h (或() 恒成立,("(),此时函数£(或没有极值 点；9分 当刃()时，(i) 当厶0,即 0a2 时，在()，+oo)上 h«()恒成立，这时"归0,此时,函数f(x)没有极值点；1()分(ii) 当()时，即°血时,易知，当氓匸Lx出戸时，h W(),这时广()；当0。叫三或仟1时，h(),厶厶这时广();所以，当心忑时

12、，x =是函数/(或的极大值点；2+纤7是函数“力的极小值点.12分综上，当心血时，函数厂没有极值点；当心血时，“-吁是函数£的极大值点；导是函数/'的极小值点.24.解：广(x) = 0¥-(2° + 1) + -(x>0)1 分(I)/1) = f ，解得g = |. 3 分(U ) f(x) = (av-1)( v2) (x>0). 4 分X 当 a50 时x>0 , av1 <0 ,在区间(0,2) ±, /3>0；在区间(2,+s)上ruxo,故/的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+s).5分

13、 当0<a<-时，丄>2,2a在区间(0,2)和(丄,乜)上,f(x) > 0 ；在区a间(2,-)±rw<o,a故/（x）的单调递增区间是（0,2）和（丄,乜），单 a调递减区间是（2,1）. 6分a 当4时，22x故/的单调递增区间是（0,+co）.7分当“丄时，ov丄2,2a在区间（0丄）和（2,+s）上，fx） 0 ；在区间 a（-,2）±r（x）o,a故/的单调递增区间是（0丄）和（2,乜），单 a调递减区间是（丄,2）. 8分a（HI）由巳知,在（0,2上有/（叽.vg（叽.9分由已知，g（X）x=0,由（II）可知,当时,/（X）

14、在（0,2上单调递增，故/（x）nm = /（2） = 2d 2（2d + l） + 21n2 = 2d 2 + 21n2 ,所以,-2a-2 + 2n2<0,解得。>山2 1，故In 2 -1 < « < 丄.1（）分2当时，/（X）在（0丄上单调递增，在2a丄,2上单调递减，a故 /Wn.x =/（-）=-2-211.a2a由匕>丄可知1口°>11丄>111丄=一1， 21no>-2 ,22 e-2 In a < 2，所以，-2-21n«<0,< 0 ,综上所述，a>n2-.12分5、（I

15、）直线y=x+2的斜率为1,函数或的定 义域为（0,乜）因为厂（x） = -4 + -,所以厂（1）=韦+专=-1,x xr 1所以£=1所以 /（x） = - + ln.v-2,/（A）= A'X由厂（x）>0解得x>2 ；由厂G）<0解得OVx <2所以AM得单调增区间是（2,乜），单调减区间 是（0,2）4分/1rr z 2 a ax 2(II)/(x)= - + - = X " X X由厂(x)>0解得X >-;由/ (x)<0解得0<A- <- aa所以在区间(2+s)上单调递增，在区间a(0上)上单调

16、递减a所以当时，函数/(为取得最小值 ay min=f (-)a因为对于任意* (0,+oc)都旬(x)> 2(“-1)成立，所以/(-)> 2(-1)即可 a记 «In - - 2 > 2(a -1)， 由 din 二"解得2 aa所以刃得取值范围是(0上)8分e(111 )依题意得 (a) = + lnx -2-b ,则 2g (兀)=由 g (x)>0 解得 x>l,由 g (x)v0解得 OVx<1所以函数以或在区间川上有两个零点，g(")no所以 <g(e)no 解得<b <-+e-g(l)<0所以b得取值范围是(l,?+e-1 12e亠e6、解：因为mx肚，x>o,则八沪-呼，1分 当 0<x<l 时，f(x) > 0 ；当 x>l 时，f(x)<0 .“V)在(0,1)上单调递增;在(l,+oo)上单调递减,函数于在“1处取得极大值. 3分函数/(X)在区间(“,“ + ；)(其中">0)上存在极 值，a< 解得.5 分卜+丹2(2)不等式/