数字信号处理实验三 ——用双线性变换法设计IIR数字滤波器

1、n 为了克服冲激响应不变法产生的频率混叠现象，这是从为了克服冲激响应不变法产生的频率混叠现象，这是从S平面到平面到Z平面的标准变换平面的标准变换zesT的多值对应关系导致的，为了的多值对应关系导致的，为了克服这一缺点，产生了双线性变换法。克服这一缺点，产生了双线性变换法。 双线性变换法的映射函数：双线性变换法的映射函数：1112 12112TszszTTzs分式展开分式展开1022TTszsz 固定其中一个变量，则另一个是线性的。或者说，这种变固定其中一个变量，则另一个是线性的。或者说，这种变换对于换对于s和和z是双线性的。是双线性的。n（1）把）把s=+j带入上式得带入上式得： 因此：因此：

2、 （2）整个左半平面映射成单）整个左半平面映射成单位圆的内部，因此这是一个位圆的内部，因此这是一个稳定的变换。稳定的变换。（3）虚轴以一一对应的方式）虚轴以一一对应的方式映射成单位圆，因此在频域映射成单位圆，因此在频域中不会出现混叠。中不会出现混叠。 112222TTTTzjj 1220112212011212201122TTjzTTjTjzTjTTjzTTj 12012jTjeTj z由于幅度为由于幅度为1，把，把看做看做的函数求解，得到：的函数求解，得到： 12222tantanTT 这说明这说明和和的关系是非线性的，但是没出现混叠。在把的关系是非线性的，但是没出现混叠。在把变换为变换为时

3、产生了非线性畸变。为了克服它带来的问题，通常要使时产生了非线性畸变。为了克服它带来的问题，通常要使按上式预按上式预修正，以抵消畸变的影响。修正，以抵消畸变的影响。（4）根据上述变换关系，可以写出：）根据上述变换关系，可以写出： 11211azsTzH zHs上式就是模拟滤波器和经采样后的数字滤波器之间的变换关系。上式就是模拟滤波器和经采样后的数字滤波器之间的变换关系。 IIR数字滤波器设计流程图数字滤波器设计流程图求最小阶数求最小阶数N，cButtord,cheblordCheb2ord,ellipord合为一步的设计函数合为一步的设计函数Butter，cheb1，cheb2，ellip，be

4、sself模拟低通滤波器原型设计buttap,cheb1ap,cheb2ap,besselap,ellipap函数频率变换（变为高通、频率变换（变为高通、带通、带阻等）带通、带阻等）lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs模拟数字变换模拟数字变换bilinear，impinvar滤波器滤波器系数系数B，A滤波器系数滤波器系数B，A典型设计典型设计直接设计直接设计设计指标设计指标IIRIIR数字滤波器设计流程数字滤波器设计流程n设计设计IIR数字滤波器的一般步骤：数字滤波器的一般步骤：把给出的数字滤波器的性能指标转换为模拟滤波器的把给出的数字滤波器的性能指标转换为模拟滤波器的性能指标性能指

5、标根据转换后的性能指标，通过滤波器阶数选择函数，根据转换后的性能指标，通过滤波器阶数选择函数，来确定滤波器的最小阶数来确定滤波器的最小阶数N和固有频率和固有频率Wn由最小阶数由最小阶数N得到低通滤波器原型得到低通滤波器原型由固有频率由固有频率Wn把模拟低通滤波器原型转换为低通、高把模拟低通滤波器原型转换为低通、高通、带通、带阻滤波器通、带通、带阻滤波器运用脉冲响应不变法或双线性变换法把模拟滤波器转运用脉冲响应不变法或双线性变换法把模拟滤波器转换成数字滤波器换成数字滤波器n低通滤波器，采样频率为低通滤波器，采样频率为1000Hz，通带临界频率，通带临界频率fl =200Hz，通带内衰减小于，通带

6、内衰减小于1dB（p=1）；阻带临界频率）；阻带临界频率fh=300Hz，阻带内衰减大于，阻带内衰减大于25dB（s=25）。设计一个数字）。设计一个数字滤波器满足以上参数。滤波器满足以上参数。nFS=1000;nFl=200;Fh=300; %通带、阻带截止频率通带、阻带截止频率nRp=1;Rs=25;nwp=Fl*2*pi; %临界频率采用角频率表示临界频率采用角频率表示nws=Fh*2*pi; %临界频率采用角频率表示临界频率采用角频率表示nwp1=wp/FS; %求数字频率求数字频率nws1=ws/FS; %求数字频率求数字频率nOmegaP=2*FS*tan(wp1/2);%频率预畸

7、频率预畸nOmegaS=2*FS*tan(ws1/2);%频率预畸频率预畸 n%选择滤波器的最小阶数选择滤波器的最小阶数nn,Wn=buttord(OmegaP,OmegaS,Rp,Rs,s); %此处是代入经预畸变后获得的归一化模拟此处是代入经预畸变后获得的归一化模拟频率参数频率参数nbt,at=butter(n,Wn,s); % 设计一个设计一个n阶的巴特沃思模拟滤波器阶的巴特沃思模拟滤波器nbz,az=bilinear(bt,at,FS); %双线性变换为数字滤波器双线性变换为数字滤波器nH,W = freqz(bz,az); %求解数字滤波器的频率响应求解数字滤波器的频率响应nplot

8、(W*FS/(2*pi),abs(H);grid; nxlabel(频率频率/Hz);ylabel(幅值幅值);z,p,k=buttap(n);b,a = zp2tf(z,p,k); % 零极点增益模型到传递零极点增益模型到传递函数模型的转换函数模型的转换bt,at = lp2lp(b,a,Wn); % 低通到低通的转变低通到低通的转变22 tanT 示例结果示例结果010020030040050000.10.20.30.40.50.60.70.80.91频率/Hz幅值设计示例设计示例n设计一个数字信号处理系统，它的采样率为设计一个数字信号处理系统，它的采样率为fs=100Hz，希望在该系统中

9、设计一个，希望在该系统中设计一个Butterworth型高通数字滤波器，使其通带中允许的最大衰减为型高通数字滤波器，使其通带中允许的最大衰减为0.5dB，阻带内的，阻带内的最小衰减为最小衰减为40dB，通带上限临界频率为，通带上限临界频率为40Hz，阻带下限临界频率为，阻带下限临界频率为30Hz。MATLAB源程序设计如下：源程序设计如下：fp=40;fs=30;ft=100;rp=0.5;rs=40;wp=fp/(ft/2);ws=fs/(ft/2); %利用利用Nyquist频率进行归一化频率进行归一化n,wc=buttord(wp,ws,rp,rs); %求数字滤波器的最小阶数和截止频率

10、求数字滤波器的最小阶数和截止频率b,a=butter(n,wc, high); %设计高通数字滤波器系数设计高通数字滤波器系数b，aH,W=freqz(b,a,256); %绘出频率响应曲线绘出频率响应曲线plot(W*ft/(2*pi),abs(H);grid; xlabel(频率频率/Hz);ylabel(幅值幅值);函数说明函数说明n n,wcn,wc=buttord(wp,ws,rp,rsbuttord(wp,ws,rp,rs););设计任意选频的巴特沃斯滤波器设计任意选频的巴特沃斯滤波器 对于低通滤波器，对于低通滤波器，wpws; 对于带通滤波器，对于带通滤波器，wp和和ws分别为具

11、有两个元素的矢量分别为具有两个元素的矢量wp=wp1, wp2和和ws=ws1, ws2，并且，并且ws1wp1 wp2ws2; 对于带阻滤波器，对于带阻滤波器，wp和和ws分别为具有两个元素的矢量，分别为具有两个元素的矢量，wp=wp1, wp2和和ws=ws1, ws2，并且，并且wp1ws1 ws2wp2;n b,ab,a=butter(n,wc, high)=butter(n,wc, high)：设计：设计N N阶高通滤波器，阶高通滤波器，wcwc为它的为它的3dB3dB边缘频率，以边缘频率，以为单位。为单位。n b,ab,a=butter(n,wcbutter(n,wc) )：当：当

12、wcwc为具有两个元素的矢量为具有两个元素的矢量wcwc=w1, w2=w1, w2时，时，它设计它设计2N2N阶带通滤波器，阶带通滤波器，3dB3dB通带为通带为w1 ww2 w1 ww2 ，以，以为单位。为单位。n b,ab,a=butter(n,wcbutter(n,wc, high), high)：若：若wcwc=w1, w2=w1, w2时，它设计时，它设计2N2N阶带阶带阻滤波器，阻滤波器，3dB3dB通带为通带为w1 ww2 w1 ww2 ，以，以为单位。为单位。示例结果示例结果设计示例设计示例n设计一个设计一个CB-型带通型带通DF，满足：通带边界频率为，满足：通带边界频率为8

13、00Hz1800Hz，通带衰，通带衰耗小于耗小于3dB，过渡带宽，过渡带宽30Hz，阻带衰耗大于，阻带衰耗大于15dB，取样频率，取样频率fs=5000Hz。MATLAB源程序设计如下：源程序设计如下：fp=800,1800;fs=770,1830;ft=5000;rp=3;rs=15;wp=fp/(ft/2);ws=fs/(ft/2);n,wn=cheb2ord(wp,ws,rp,rs);b,a=cheby2(n,rs,wn);H,W = freqz(b,a);plot(W*ft/(2*pi),abs(H);grid; xlabel(频率频率/Hz);ylabel(幅值幅值);示例结果示例结

14、果IIRIIR数字滤波器设计函数数字滤波器设计函数注意：在直接设计注意：在直接设计IIR数字滤波器的函数中，采用的是双线性变换函数数字滤波器的函数中，采用的是双线性变换函数bilinear，如果要用冲激响应不变法就得分步进行，即采用典型设计法。上，如果要用冲激响应不变法就得分步进行，即采用典型设计法。上表中的表中的butter函数、函数、 cheby1函数、函数、 cheby2函数和函数和 ellip函数，不仅可以设函数，不仅可以设计数字滤波器，而且还可以设计模拟滤波器。但设计模拟滤波器时，截止频率计数字滤波器，而且还可以设计模拟滤波器。但设计模拟滤波器时，截止频率的单位为弧度的单位为弧度/秒

15、，它可以大于秒，它可以大于1.0。1)模拟滤波器的设计函数模拟滤波器的设计函数设计设计bessel模拟低通滤波器模拟低通滤波器z,p,k=besselap(n) %设计设计bessel模拟低通滤波器模拟低通滤波器设计设计butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器z,p,k=buttap(n) %设计设计butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器设计设计chebyshevI型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器z,p,k=cheb1ap(n,Rp) %设计设计chebyshevI型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器%Rp：通带内的波纹系数，单位分贝：通带内的波纹系数，单位分贝设计设计che

16、byshevII型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器z,p,k=cheb2ap(n,Rs) %设计设计chebyshevII型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器%Rs：阻带内的波纹系数低于通带：阻带内的波纹系数低于通带Rs分贝分贝设计椭圆模拟滤波器设计椭圆模拟滤波器z,p,k=ellipap(n,Rp.Rs) %设计椭圆模拟滤波器设计椭圆模拟滤波器2）滤波器阶数的选择）滤波器阶数的选择下列函数除了能选择模拟滤波器的阶数外，同时也能选择数字滤波器的阶数。下列函数除了能选择模拟滤波器的阶数外，同时也能选择数字滤波器的阶数。选择选择butterworth滤波器阶数滤波器阶数数字域：数字域：n,Wn=butt

17、ord(Wp,Ws,Rp,Rs)模拟域：模拟域：n,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)选择选择chebyshevI型滤波器阶数型滤波器阶数数字域：数字域：n,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs)模拟域：模拟域：n,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)选择选择chebyshevII型滤波器阶数型滤波器阶数数字域：数字域：n,Wn=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs)模拟域：模拟域：n,Wn=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)选择椭圆滤波器阶数选择椭圆滤波器阶数数字域：数字域：n,Wn=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs)模拟域：

18、模拟域：n,Wn=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)注意：注意：n：返回符合要求性能指标的数字滤波器或模拟滤波器的最小阶数：返回符合要求性能指标的数字滤波器或模拟滤波器的最小阶数Wn：滤波器的截至频率（即：滤波器的截至频率（即3db频率）频率）Wp：通带的截至频率，：通带的截至频率，Ws：阻带的截至频率，单位：阻带的截至频率，单位rad/s。且均为归一化频率，即。且均为归一化频率，即。1对对应应弧度。弧度。 频率归一化：信号处理工具箱中使用的频率为莱奎斯特频率，根据香农定理，它为采样频频率归一化：信号处理工具箱中使用的频率为莱奎斯特频率，根据香农定理，它为采样频率的一半，在滤波器设

19、计中的截止频率均使用莱奎斯特频率进行归一化。归一化频率转换率的一半，在滤波器设计中的截止频率均使用莱奎斯特频率进行归一化。归一化频率转换为角频率，则将归一化频率乘以为角频率，则将归一化频率乘以。如果将归一化频率转换为。如果将归一化频率转换为Hz，则将归一化频率乘以，则将归一化频率乘以采样频率的一半。采样频率的一半。5直接设计直接设计IIR数字滤波器数字滤波器1）Butterworth模拟和数字滤波器设计模拟和数字滤波器设计数字域：数字域：b,a=butter(n,Wn)可设计出截止频率为可设计出截止频率为Wn的的n阶阶butterworth滤波器滤波器 b,a=butter(n,Wn,ftyp

20、e)当当ftype=high时，可设计出截止频率为时，可设计出截止频率为Wn的的高通滤波器；当高通滤波器；当ftypestop时，可设计出带阻滤波器时，可设计出带阻滤波器 z,p,k=butter(n,Wn) zp,k=buter(n,Wn,ftype) A,B,C,D=butter(n,Wn) A,B,C,D=butter(n,Wn,ftype)模拟域：模拟域：b,a=butter(n,Wn,s)可设计出截止频率为可设计出截止频率为Wn的的n阶模拟阶模拟butterworth滤波器，滤波器， 其余形式类似于数字域的。其余形式类似于数字域的。2）chebyshevI型滤波器（通带等波纹）设计型滤波器（通带等波纹）设计数字域：数字域：b,a=cheby1(n,Rp,Wn)可设计出可设计出n阶阶chebyshevI滤波器滤波器,其截止频率由其截止频率由Wn确定，通带内的波纹由确定，通带内的波纹由Rp确定确定 b,a=cheby1(n,Rp,Wn,ftype)当当ftype=high时，可设计出截止频率为时，可设计出截止频率为Wn的高通滤波器；当的高通滤波器；当ftypestop时，可设