正余弦定理应用举例

1、正余弦定理应用举例-测算距离教学实录一、教学目标1.引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值，形成一定的数学视野，提高学生学数学的兴趣.2.提高学生数学的提出、分析和解决实际问题的能力，加强数学表达和交流的能力.3.通过对实际问题解决方案的自主探究，达到准确熟练应用正余弦定理的目的.4.培养学生的数学应用意识和创新意识，发展自己的想象力和创造力，形成钻研精神和科学态度.二、学法与教法本节是一节实践探讨课，教学时先介绍测量工具，再给出要解决的实际问题，让学生利用手中的测量工具，在现有的认识范畴内，通过想象，设计解决方案(个别学生提议).再组织学生探讨方案的实

2、效性(集体协作).最后对可行的方案，自编数据，完成解题过程.要“测量”不可直接到达的距离，常放到三角形中通过解三角形来求解，变“不可测”为“可以算”.所以要利用手中的测量工具，设计有关能测量的数据(边、角)，利用正、余弦定理，通过求三角形的一边来解决.三、重点、难点、疑点、及关键1.教学重点：应用正余弦定理解决实际中的距离测算问题.2.教学难点：找到解决实际问题实施方案.3.教学疑点：方案设计的实效性与最优化.4.教学关键：做出正确的图形.5.教学手段：圆规、米尺、彩粉笔.四、教学过程(一)复习导入师：正余弦定理内容及应用是什么？生：正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，

3、即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a2=b2+c2-2bc cosA.师：板书师：数学源于实践，又反作用于实践，学数学的最终目的就是应用数学知识解决生产生活中的实际问题.本节课我们去郊游，看看实际生活中有哪些问题可以利用正余弦定理来解决。师：介绍测量工具：米尺：可以测长度；经纬仪：可以得到在一点看另两点的视角；水平尺：测量俯角、仰角(二)研讨新课师：让我们走出教室，看到楼西侧旗台东侧工厂，两地被楼隔离开，如何能知道它们之间的距离？谁能设计一个解决方案？(学生在思考讨论中)生A：在操场上选

4、能看到两地的某一点为测量点，可以利用米尺测出该点到两地的距离，再利用经纬仪测出该点与两地的视角，利用余弦定理直接可以求出两地的距离.师：把你的想法编写成具体的数学问题.生A：ABC中，已知C= AC=b BC=a，求AB.(学生中传出了一阵掌声)师：我们走出校门，到了小凌河岸边.河水东岸是望河小区，西岸是绿景湾小区，两个小区的正门距离怎么能知道？请同学们思考后编成一道数学问题.(学生再一次在思考讨论中)生B：在河一侧(例如B侧)选一点C，用米尺测BC=a ，用经纬仪测B=，C=， 求AB.求解思路是：，(内角和)A ，C，B C(正弦定理)AB.(学生中又传出了一阵掌声)【点评：通过简单实际问

5、题的分析与解决，激活学生的思维，由解单个三角形，使学生熟练正余弦定理的简单应用，进而过渡到解多个三角形，让学生的思维经历一个由浅入深的发展过程.】师：大家再想想，我们怎么能知道小凌河在这一带的宽度？(学生在静静的思考)生C：在河边选定两点B、C，在对岸选一标志物A，用经纬 仪测ABC=，BCA=，米尺测BC=c,求河宽AD.求解思路：在ABC中，由A B C，B C A(内角和)BAC.由ABC，BC，BAC(正弦定理)AC.在RtACD中，由AC，BCAAD.师：大家说可行吗？生：非常好！(又一阵掌声)师：秀水游过后，我们再去看看青山，来到锦州名山观音洞.听说望海寺是锦州第一高山峰，我们能测

6、测它的高度吗？现在我们进行小组擂台赛，每一行为一组，共分成四个小组.每组同学相互探讨，看哪个组先想出办法，而且是可行的方案.第二组生D：设线段AB表示山高.在山脚下，选位置C、D进行测量.先测出CD长度，再测出ACD与ADC和由C点得点A的仰角ACB大小.求解方法是：在ACD中，利用正弦定理能求出AC，再在ABC中可算出AB长.师：大家认为方案怎么样？ 生：太好了！ 师：那就是第二组同学获胜啦！第三组生E：我还有别的办法.师：那好啊，说说看！生E：望着山顶从D点走到C点，在C、D两点测得A点仰角分别为、，C、D距离可测.求解方法是：在ACD中，CAD=-.利用正弦定理能求出AC，再在ABC中可

7、算出AB长.师：大家说可行吗？生：完全可以.师：这位同学的方法就是教材课后A组练习题3，回去大家把这个题目完成好.(给学生极大的想象空间，让他们感到学有所用，同时又完成了练习题的分析.)师：看看教材例题是怎么解决这个问题的，打开教材看例题4，测底部不能到达的建筑物的高度.例如，北京故宫四个角各耸立一座角楼，求角楼高度. 教材的解决方案：分析：如图，设线段AB表示角楼的高.在宫墙外护城河畔马路边，选位置C对角楼进行测量.设CC为测量仪器的高，过点C的水平面与AB相交于点B.这时由C可测得点A的仰角a的大小.在ABC中，三条边的长度都无法测出，因而AB的长无法求得.如果移动测量仪CC至DD(测量仪

8、高度不变)，便可通过测量数据求得.某校学生用自制的仪器测得=ACB=20, =BCD=99, =BDC=45，CD=60m，测量仪器的高为1.5m，可求出角楼高度.大家看看这样的方案可行吗？可以相互讨论.学生先静静的看教材，然后你一言我一语讨论开来.生F：该方案存在一定的实际问题：角与角是如何通过自制的仪器测得的？角的测量包括仰角、俯角、方位角、视角，可通过水平尺，经纬仪测得.而此方案中B与B都是在角楼内部(B点是楼顶A在地面的投影，不可到达)，是虚设点，在实际中是看不到的.而AB也应该用虚线表示.学生自制的仪器不是高尖的，不是客观存在的，虚点所构成的视角与是不能用粗略仪器测得的.师：大家认为

9、他说的对吗？师：很好，大家就应该具有这种敢于怀疑的科学态度.【点评：通过复杂实际问题的分析与解决，激发学生思维的深度和广度，由解多个三角形，使学生进一步熟练正余弦定理的应用，达到知识应用的深化与升华.】(三)课题小结师：今天我们的旅行就先告一段落.通过今天的出游，你学到了哪些知识与技能？生：1.了解了测量工具，体会到了数学在生活中的应用.2.懂得了正、余弦定理在测算距离问题中的应用(四)作业1.测山上一点与山下一点间的距离2.教材12页问题2：测两个海岛之间的距离.让数学走进生活正余弦定理应用举例测算距离教学反思本节是一节实践探究课，也是一节开放式的自主探究课.学生学习兴趣浓厚，课堂气氛活跃，

10、充分体现了“教师主导，学生主体”的教学思想，达到了培养学生实践能力、创新精神的教学目标.数学源于实践又反作用于实践，生活中处处有数学.以往数学应用题的教学模式都是直接给出实际问题的解决方案，再让学生用数学知识去求解.这种生活实例有很多并不是学生所能感觉到、体会到的，往往是一些文字、符号、事实、事件等，解决方案的单一性也会使学生感到枯燥、被动.本节课改变了这种封闭的传统应用题解决模式，让学生利用自己掌握的数学工具走进实际生活，到大自然中去，到社会中去，构建课内外联系，把学生的学习融入到丰富多彩的生活场景之中.通过对实际问题解决方案的设想与构造，既熟练了数学知识，又使学生发展了想象力和创造力，形成

11、钻研精神和科学态度.另外通过对方案实效性的探讨与编题解题，加强了学生的数学表达和交流能力，同时增强了合作精神.要得到不可直接到达的各种距离，常构想通过求三角形的边长来解决，变“不可测”为“可以算”.课前先使学生明确解三角形的必备条件，再介绍手中的测量工具，使学生有理可依、有据可循。最后将学生带到教室外去感受熟悉而生动的社会实践.沿着旅游路线，将生活中的各种不可测的距离由浅入深的引入解决.鼓励学生深入、开放性地提出测算方案，提倡多元思考，尊重学生的自主权与主动性.让学生在轻松愉快的氛围中享受学习，让学生的大脑随学而动，让他们的思维随想象而驰骋.由于在例4的竞赛时，第一组同学因为失败而不断进行方案修改，消耗了略长的一段时间，所以课堂小结未能完成，只能让学生课后写个实践报告进行检验反馈.课后练习题也没能及时留给学生，只好课后给定.本节课教学具有很强的开放性和灵活度，学生会提出很多方案与质疑，所以时间与容量不便于掌握.但本班学生平时基础较好，学习积极性很强，所以本节题目完成得很到位，都能