2012年重庆市高考数学试卷(理科)及详解

1、2021年重庆市高考数学试卷理科一、选择题：本大题共 10小题，每题5分，共计50分在每题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求 的1. 5分2021?重庆在等差数列an中，a2=1, a4=5，那么an的前5项和S5=3. 5分2021?重庆对任意的实数A 相离B相切C.相交但直线不 D .相交且直线过A. 7B . 15C. 20D. 252 5分2021?重庆不等式 /rJ的解集为|2x+lA -吕 1 B.1!U-iC.(-B.t - CO, - Z1UL +8)k,直线y=kx+1与圆x2+y2=1的位置关系一定是)的展开式中常数项为4. 5 分过圆心圆心A. 35 元B .3

2、5sC.亦TD. 1055分2021?重庆设 tana,tan B 是方程 x2- 3x+2=0的两个根，那么上3门+力的值为A. - 3B .-1C. 1D. 35分2021?重庆设 x, y R,向量至=x, 1，b=H 1IH 11, y，垄=2,- 4且丄u, / cIH * ，那么 l|ai+b|A 血B ./T6C.斫D. 102021?重庆5.6.= 7. 5分2021?重庆fX是定义在R上的偶函数，且以 2为周期，那么“x为0 , 1上的增函数是“ X为3 , 4上的减函数的A .既不充分也不 B .充分而不必要必要的条件的条件C.必要而不充分 D .充要条件的条件f x，且函

3、数y= 1 - xf x的图象如下列图,8 5分2021?重庆设函数fx在R上可导，其导函数为 那么以下结论中一定成立的是A .函数fx有极B .函数fx有极 大值f 2和极 大值f - 2和小值f 1极小值f1C.函数fx有极D 函数fx有极 大值f 2和极 大值f - 2和 小值f- 2极小值f 29. 5分2021?重庆设四面体的六条棱的长分别为1, 1, 1, 1, 厂和a,且长为a的棱与长为=的棱异面，那么a的取值范围是A 0， . : B 0，.辽C. 1，丁 D. 1,：；10. 5分2021?重庆设平面点集龙二心 y | .y-工.y-骑 0, B二垃,y |1 + ty- 1

4、玄1，那么 AnB 所表示的平4面图形的面积为C. 4仃D.兀7KT二、填空题共 5小题，每题5分，总分值25分a+b=11. 5分2021?重庆假设1+i2+i=a+bi，其中a, bR, i为虚数单位，那么12. 5 分2021?重庆13.5分2021?重庆设 ABC的内角A , B, C的对边分别为a, b, c,且二亡韶二23，那么13c=14. 5分2021 ?重庆过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于 A , B两点，假设|迪|二春，|AF| 0.6I求函数y=f x的值域n假设f x在区间-竺 丄L上为增函数，求 w的最大值.2 J 219. 12分2021?重庆如图，在直三

5、棱柱 ABC - A1B1C1中，AB=4 , AC=BC=3 , D为AB的中点I丨求点C到平面A1ABB 1的距离；n假设AB1丄A1C，求二面角A1 - CD - C1的平面角的余弦值.20. 12分2021?重庆如图，设椭圆的中心为原点 O,长轴在x轴上，上顶点为 线段OF1, OF2的中点分别为B1, B2,且厶AB1B2是面积为4的直角三角形.I丨求该椭圆的离心率和标准方程；n过B1做直线|交椭圆于P, Q两点，使PB2丄QB2,求直线l的方程.A，左右焦点分别为F1, F2,21. 12分2021?重庆设数列|an|的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a2旳.I求证：

6、|为|是首项为1的等比数列；II丨假设a2- 1，求证：1一 二二，并给出等号成立的充要条件.2021年重庆市高考数学试卷理科参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 10小题，每题5分，共计50分在每题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的1. 5 分A. 72021?重庆在等差数列an中，a2=1, a4=5，那么an的前5项和S5=B . 15C. 20D. 25考点：等差数列的性 质。专题：计算题。分析：利用等差数列 的性质，可得 a2+a4=a1+a5=6, 再利用等差数 列的求和公式， 即可得到结论.解答：解：等差数列an中，a2=1, a4=5,a2+a4=a1+a5=6,

7、.S5= a1+a5=-xi5应选B .点评：此题考查等差 数列的性质，考 查等差数列的 求和公式，熟练运用性质是关键.2. 5分2021?重庆不等式X-12x41的解集为A.B .1C. _g -护.-舟g考点：其他不等式的解法。专题：分析：由不等式可得计算题。px+10,(k - 1)(2k+1 ),由此解得不等式的解集.解答:解：由不等式的可得2k+L0(x-L) (2x+l) / C，那么旧+b|=A .転B .后C.疝D. 10考点：数量积判断两 个平面向量的 垂直关系；向量 的模；平面向量 共线平行的 坐标表示。专题：计算题。分析：由两个向量垂 直的性质可得2x 4=0,由两 个向

8、量共线的性质可得-4 - 2y=0 ,由此求出x=2 , y= 2,以及a + b的坐标，从而求得|目的值.解答：fc 解：T向量吕=x, 1，b=1,y，C =2, 4且自丄C,/亡，那么有 2x 4=0, 4 2y=0 , 解得 x=2 , y=* 2,故曰 + fe=3,1丨.故有I F F ：:=-, 应选B .点评:此题主要考查 两个向量共线 的性质，两个向 量垂直的性质， 两个向量坐标 形式的运算，属 于根底题.7. 5分2021?重庆fX是定义在R上的偶函数，且以 2为周期，那么“x为0 , 1上的增函数是“ X为3 , 4上的减函数的A .既不充分也不 B .充分而不必要必要的

9、条件的条件C.必要而不充分 D .充要条件的条件考点：专题： 分析：解答:必要条件、充分 条件与充要条 件的判断；奇偶 性与单调性的 综合。证明题。由题意，可由函 数的性质得出fx为-1, 0 上是减函数，再 由函数的周期 性即可得出fx为3 , 4 上的减函数，由 此证明充分性， 再由f x为3 , 4上的减函数结 合周期性即可 得出f x为- 1, 0上是减函 数，再由函数是 偶函数即可得 出 f x为0, 1上的增函数， 由此证明必要 性，即可得出正 确选项 解：由题意，fx是定义在R 上的偶函数，fx为0 , 1上的增函数所以f x为- 1,0上是减函数 又f x是定义 在R上的函数，

10、 且以2为周期3 , 4 与 - 1,0相差两个周 期，故两区间上 的单调性一致， 所以可以得出fx为3，4上的减函数，故 充分性成立， 假设f x为3， 4上的减函数， 由周期性可得 出 f X为-1 , 0上是减函数， 再由函数是偶 函数可得出fx为0 , 1上的增函数，故 必要性成立 综上，“x为 0 , 1上的增函 数是“x为 3 , 4上的减函 数的充要条 件.应选D点评：此题考查充分性与必要性的 判断，解题的关 键是理解充分 性与必要性证 明的方向，即由 那个条件到那 个条件的证明 是充分性，那个 方向是必要性， 初学者易搞不 清证明的方向 导致表述上出 现逻辑错误，8 5分202

11、1?重庆设函数f x在R上可导，其导函数为 f X，且函数 y 1 - xf x的图象如下列图, 那么以下结论中一定成立的是考点：函数在某点取 得极值的条件； 函数的图象。专题：计算题。分析：利用函数的图 象，判断导函数 值为0时，左右 两侧的导数的 符号，即可判断 极值.解答：解：由函数的图 象可知，f - 2=0, f2=0,并且当x V- 2 时，fx 0, 当-2vxV2, fxv 0,函数 f X有极大值 f- 2.又当2v xv 2 时，fxv 0, 当x2时，f x 0,故函 数f x有极小 值 f 2.应选D .点评：此题考查函数 与导数的应用， 考查分析问题 解决问题的能 力

12、，函数的图象 的应用.和极大值f 2 小值f1C.函数fx大值f 2有极D .和极大值f极小值函数f大值fX有极 -2和f 1X有极 2和小值f- 2极小值f29. 5分2021?重庆设四面体的六条棱的长分别为1, 1, 1, 1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面，那么a的取值范围是A. 0，. T B. 0，飞C. 1，二D. 1,】考点：异面直线的判定；棱锥的结构特征。专题：计算题。分析：先在三角形BCD中求出a的范围，再在三角形AED中求出a的范围，二者相结合即可得到答案.解答：解：设四面体的底面是BCD ,BC=a,BD=CD=1 ，顶 点为A ,AD= V2在三角形BCD中，因为两边

13、之和大于第三边可得：0v av 21取BC中点E, E是中点，直 角三角形ACE全等于直角DCE ,所以在三角形AED 中,AE=ED=两边之和大 于第三边二 v2得 0v av 二负值0值舍2由1 2得 0v avI.应选：A.点评：此题主要考察三角形三边关系以及异面直 线的位置.解决 此题的关键在 于利用三角形 两边之和大于 第三边这一结 论.10.5分2021?重庆设平面点集止二恥y丨厂工厂丄0, B= .心y | x- 1 Cy- 1?1，那么AnB所表示的平 K面图形的面积为A冗 C霁D弓考点：专题：分析：解答:二元一次不等 式组与平面 区域；交集及其 运算。计算题。先分别画出集 合

14、A与集合B 表示的平面区 域，再画出它们 的公共局部，最 后利用圆的面 积公式及图形 的对称性，计算 所求面积即可 解：其表示的平面区域如图，x -2 21+y- 11 表示以1, 1 为圆心，1为半 径的圆及其内 部区域，其面积 为nA QB所表示 的平面图形为 上述两区域的 公共局部，如图 阴影区域， 由于圆和丫=丄K均关于y=x对 称， 故阴影局部面 积为圆的面积的一半，即2点评:二、填空题11.5 分此题主要考查 了二元不等式 表示平面区域 的知识和延伸， 准确的画出两 集合表示的平 面区域是解决 此题的关键，属 根底题共5小题，每题5分，总分值25分2021?重庆假设1+i2+i=a

15、+bi，其中a, bR, i为虚数单位,a+b= 4考点：复数代数形式 的乘除运算；复 数相等的充要 条件。专题：计算题。分析：由条件可得 a+bi=1+3i，根据 两个复数相等 的充要条件求 出a和b的值， 即可求得a+b的 值.解答：解： 1+i2+i=a+bi, 其中 a, bR, i 为虚数单位，/ a+bi=1+3i , a=1, b=3, a+b=1+3=4 , 故答案为4.点评：此题主要考查 两个复数代数 形式的乘除法， 两个复数相等 的充要条件，属 于根底题.12.5 分2021?重庆lim=_卡 _.严叫口上+氐-11乂考点：极限及其运算。专题：计算题。分析：把要求的式子化为

16、n2+5n+n1 i Hi仃巾+5n - n，即ir丘+1lini匚,再利用极限及 其运算法那么求 得所求式子的值.解答：解：+12=5，2-5查故答案为点评：此题主要考极限及其运算法那么的应用，把 要求的式子化 为 r R+i皿 rnf鸡D，是解题的关键，属于根底题.3g13.5分2021?重庆设 ABC的内角A , B, C的对边分别为a, b, c,且込2三 GQsB二士 b=3，那么c=14考点：余弦定理；正弦定理。专题：计算题。分析：由A和B都为三角形的内角，且根据cosA及cosB的值，利用 同角三角函数 间的根本关系分别求出si nA 和sinB的值，将sinC中的角C 利用三角

17、形的内角和定理变 形后，将各自的 值代入求出sinC的值，由 sinC, b 及 sinB 的值，利用正弦 定理即可求出c 的值.解答:解：/ A和B都 为三角形的内角，且 cosA=!,5cosB=-,13 sinA=点评:-.=12訝 sin C=s inA+B=sin AcosB+cos5 13Asi nB=又 b=3,CbsmCsinB由正弦定理得:c=bsinC141213故答案为:145此题考查了同 角三角函数间的根本关系，诱 导公式，两角和 与差的正弦函数公式，以及正 弦定理，熟练掌 握定理及公式 是解此题的关 键.14. 5分2021?重庆过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物

18、线于 A，B两点，假设|-：J- _ L. 卜一-卜，L 2那么|AF|= 丄._6考点：抛物线的简单性质。专题：计算题。分析：设出点的坐标与直线的方程，利用抛物线的 定义表示出|AF|、|BF|再联立直线与抛物线 的方程利用根 与系数的关系 解决问题，即可 得到答案.解答：解：由题意可得: F丄，0，设 A X1 , y1 ,BX2, y2.因为过抛物线2y =2x的焦点F作直线I交抛物线于A、B两点，所以|AF|= )x1.2 +二一._ 市为B所以 X1+x2=设直线I的方程为 y=k x -,联立直线与抛 物线的方程可得: k2x2-k2+2点评:2 24x -26x+6=0 ,故答案

19、为解决此类问题 的关键是熟练 掌握抛物线的 定义，以及掌握 直线与抛物线 位置关系，并且 结合准确的运 算也是解决此 类问题的一个 重要方面15. 5分2021?重庆某艺校在一天的 6节课中随机安排语文、数学、 节，那么在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为外语三门文化课和其他三门艺术课各1用数字作答.考点：专题：分析：等可能事件的 概率。计算题。三门文化课排 列，中间有两个 空，假设每个空 各插入1节艺术 课，那么排法种数 为A强X2,假设两个空中 只插入1节艺术 课，那么排法种数 为谢;X2碍216,三门文化 课中相邻排列， 那么排法种数为 屈址=144，而 所有的排法共

20、 有/ =720种，解答:由此求得所求 事件的概率. 解：语文、数学、 外语三门文化 课排列，这三门 课中间存在两 个空，在两个空 中, 假设每个空各 插入1节艺术 课，那么排法种数 为假设两个空中 只插入1节艺术 课，那么排法种数 为昭肩玄2Ag =216,假设语文、数 学、外语三门文 化课相邻排列， 那么排法种数为丄丄=144 ,而所有的排法共有=720种，故在课表上的 相邻两节文化 课之间最多间 隔1节艺术课的 概率为72+216+14472Q=:5故答案为二.点评：此题主要考查等可能事件的概率，表达了分类讨论的数学思想，属于根底题.三、解答题：本大题共 6小题，共75分，解容许写出文字

21、说明、证明过程或演算步骤16. 13分2021?重庆设f (x) =alm+4y+l，其中aR，曲线y=fx在点1, f 1处的切线垂直 2x 2于y轴.I求a的值；n求函数f x的极值.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导 数研究函数的 极值。专题：综合题。分析：I求导函数，禾U用曲线y=f x在点1, f 1处的切线 垂直于y轴，可得 f f 1=0, 从而可求a的 值；f n由 f I知，f (x)二 一 丄x 0，- I 1 , 312, 2,确定函数的单 调性，即可求得 函数f fx的极 值.解答:解: f I求导函数可得T 曲线 y=f x 在点1, f 1处的切线垂直 于

22、y轴. f 1=0, a= - 1;n由i 知，f 二-x 02x令 fx=0,可得x=1或/ 0v xv 1 时，fxv 0,函数递减；x 1时， fx 0,函 数递增 x=1时，函数 f X取得极小 值为3.点评:此题考查导数 知识的运用，考 查导数的几何 意义，函数的单 调性与极值，正 确求导是关键.二，乙每次投篮投中的概率为17. 13分2021?重庆甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为响.I求甲获胜的概率;n求投篮结束时甲的投篮次数 E的分布列与期望.考点：专题： 分析：离散型随机变 量的

23、期望与方 差；互斥事件的 概率加法公式； 相互独立事件 的概率乘法公 式；离散型随机 变量及其分布 列。计算题。设Ak, Bk分别 表示甲、乙在第 k次投篮投中，那么 PAk=，3P Bk=- k=1， 22，3I记甲获 胜为事件C,那么 P C=P A1 +pA声J+p，利用互斥事 件的概率公式 即可求解；n投篮结 束时甲的投篮 次数E的可能值 为1, 2, 3,求 出相应的概率， 即可得到E的分 布列与期望.解答:解：设Ak, Bk 分别表示甲、乙 在第k次投篮投 中，那么PAkk=1 , 2, 3I记甲获胜为事件C,那么P C=P A1 +P二 弓+P13.近，n投篮结 束时甲的投篮 次

24、数E的可能值 为 1, 2, 3P =1=P A1+P JP =2 =P+P屮_耳P =3=Pu厂E的分布列为P22139期望E=1 疋+2 弋+3点评:丄二9 9此题考查互斥 事件概率的求 解，考查离散型 随机变量的分 布列与期望，解 题的关键是确 定变量的取值， 理解变量取值 的含义，属于中 档题.18. 13 分2021?重庆设 fx=4cos x-sin wx- cos2 wx+ n，其中 w 0. 6I求函数y=f x的值域n假设fx在区间-乎，今上为增函数，求 w的最大值.考点：专题：分析：二倍角的余弦； 两角和与差的 正弦函数；二倍 角的正弦；正弦 函数的定义域 和值域；正弦函

25、数的单调性。计算题；转化思 想。I由题意，可 由三角函数的 恒等变换公式 对函数的解析 式进行化简得 到 f x=-s in2 wX+1 , 由此易求得函 数的值域；庇22IIfX在 区间上为增函数，此 区间必为函数 某一个单调区 间的子集，由此 可根据复合三 角函数的单调 性求出用参数 表示的三角函数的单调递增 区间，由集合的 包含关系比拟 两个区间的端 点即可得到参 数3所满足的 不等式，由此不 等式解出它的 取值范围，即可 得到它的最大 值.解答:解: f x=4cos3X -6sin 3X - cos2 3X+ nin 3Xsin 3X+cos2 wxcos wcsin2wX+sin

26、wX+co22 2s wxsin wX1 Win2 wxE ,所以函数y=fx的值域是1_顶II因 y=sinx在每个区间2k兀-寻空兀+号,k z上为增函 数，令所以，解不等式得kTT _ X.: X.，即fW 4Wx=:;sin 2 wx+1 ,3 0在每个 闭区间上是增函数又有题设f X在区间r SIT 71-上为增函数所以r71-亍豆kX _兀q uo?-，对某个k z成立, 于是有| -12L-2L2 4W j 7T 7T KF解得3丄，故3的最大值是26点评:此题考查三角 恒等变换的运 用及三角函数 值域的求法，解 题的关键是对 所给的函数式 进行化简，熟练 掌握复合三角 函数单调

27、性的 求法，此题考查 了转化的思想， 计算能力，属于 中等难度的题19. 12分2021?重庆如图，在直三棱柱ABC - AlBlCl中，AB=4 , AC=BC=3 , D为AB的中点I丨求点C到平面A1ABB 1的距离；n假设AB1丄A1C，求二面角A1 - CD - C1的平面角的余弦值.考点：用空间向量求 平面间的夹角； 与二面角有关 的立体几何综 合题；点、线、 面间的距离计 算。专题：综合题；转化思 想。分析：I由题意，由 于可证得CD丄 平面A1ABB1.故点 C 到平面的距离 即为CD的长 度，易求；II解法一: 由题意结合图 象，可通过作辅 助线先作出二 面角的平面角/ A1

28、DD1,然后在直角二角形A1D1D中求出 二面角的余弦； 解法二：根据几 何体的形状，可 过D作DD1 / AA 1 交 A1B1 于 D1,在 直二棱柱中，可 得 DB,DC,DDi 两两垂直，那么以D为原点，射线DB, DC, DD1 分别为X轴、Y轴、Z轴的正半 轴建立空间直 角坐标系D - xyz .给出各点 的坐标，分别求 出两平面的法 向量，求出两向 量的夹角即为 两平面的夹角.解答：解：1由AC=BC , D 为 AB的中点，得CD丄AB .又CD 丄 AA 1. 故CD丄平面A1ABB 1. 所以点C到平 面A1ABB 1的距 离为CD=1 ：J丨【上II解法一: 如图1,取D

29、i 为A1B1的中 点，连接DD1, 那么DD1 / AA 1 / CC1.又由1知CD丄 平面A1ABB 1.故CD 丄 A1D,CD丄D1D，所以 / A1DD1为所 求的二面角A1 -CD - C1的平 面角.因A1D为 A1C在面 A1ABB 1中的射 影，又AB1丄A1C由三 垂线定理的逆 定理得AB1 丄 A1D .从 而 / A1AB 1、 / A1DA都与 / B1AB 互余因此/ A 1AB 1 = Z A1DA，所以RtA A1AD s Rt B1A1A .因此AA 1：AD=A 1B1:AA1,即卩AA 12=AD ?A1B1=8,得AA 1=2:，从而A1D=JaA d

30、+AD?=2 二所以RtA A1D1D 中,cos/A1DD 仁DD 1丛1AA !)=VgT解法二：如图2, 过D作DD1 / AA 1 交 A1B1 于 D1,在 直三棱柱中，有DB, DC, DD1 两两垂直，以D 为原点，射线DB, DC, DD1 分别为X轴、Y 轴、Z轴的正半 轴建立空间直 角坐标系D -xyz.设直三棱柱的 高为h,那么A-2, 0, 0，A1 -2, 0, h，B1 2, 0, h，C0, - ：，0, C10,曲 h, 从而讪| = 4,0, h，.：=2,-,- h由 AB1 丄 A1C,可得 8 - h2=0,h=2 y,故工.-2 ，2，CC ；= ，,

31、 2近,DC= ,.，设平面AiCD的法向量为r =x1, y1, Z1， 那么有匚丄正， 1:丄; ?|= 且,取 Z1=1 ,那么一:=二 , 1设平面C1CD的法向量为ii=X2, y2, Z2,那么丄丨，y :一 且x2=1 ,得* 1 , ，所以 COSV， Iin nT|m丨门A1 - CD - C1 的 平面角的余弦 值空3A d B1点评:此题考查二面 角的求法及点 到面距离的求 法，点到面的求 法一般是作垂 线，垂线段的长 度即所求，二面 角的余弦值的 求法有两种，一 种是几何法，找 到二面角平面 角所在的三角 形，解三角形求 出角的余弦值， 第二种方法是 现在比拟常用 的方

32、法向量法，其特征是思维 量小，计算量 大，作题时对这 两种方法要根 据题设灵活选 用A，左右焦点分别为F1, F2,20. 12分2021?重庆如图，设椭圆的中心为原点 O,长轴在x轴上，上顶点为 线段OFi, OF2的中点分别为Bl, B2,且厶AB 1B2是面积为4的直角三角形.I丨求该椭圆的离心率和标准方程；过B1做直线|交椭圆于P, Q两点，使PB2丄QB2,求直线|的方程.考点：专题： 分析：直线与圆锥曲 线的综合问题； 椭圆的标准方 程；椭圆的简单 性质。综合题。I设椭圆的 方程为,F2 c, 0, 利用 AB1B2 是的直角三角形，|AB1|=AB2|, 可得/ B1AB2 为直角，从而IIS=h|B1B2|OA|=-=4,故可求椭圆标准方程；n由I 知 B1- 2, 0， B2 2, 0,由解答:题意，直线PQ 的倾斜角不为0,故可设直线 PQ的方程为 x=my - 2，代入 椭圆方程，消元可得m2+5y2 -4my - 16 - 0, 利用韦达定理 及 PB2 丄 QB2,利用b2f可求m的值，进 而可求直线I的 方程.解: I设椭 圆的方程为/ AB1B2 是的直角三角形，|