二项式定理沪教版高三上教案

1、上项式定理(一)”教案一、教学目标：使学生掌握二项式定理及其证明(数学归纳法)，培养学生发现和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力。通过介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育。二、教学重、难点：重点：二项式定理的推导及证明难点：二项式定理的证明三、教学过程：(一)新课引入:(提问)：若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？在初中,我们已经学过了(a+b) 2=a2+2ab+b2(a+b) 3= (a+b) 2(a+b) = a3+3a2b+3ab2+b3(提问)：对于(a+b) 4, (a+b) 5 如何展开(利 用多项式乘法)(再提问)：(a+b) 100 又怎么办？(a+b)n

2、(n C N+)呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律。这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性(二)新课：(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般(不完全归纳)的方法。规律：(a+b)1=a+b(a+b) 2=(a+b)(a+b)=a a+a b+b a+b b=a2+2ab+b2(a+b) 3=(a+b) 2(a+b)=(a 2+2ab+b 2)(a+b)=a 3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=(a+b) 3(a+b)=(a 3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a 4 +4a3b+6a2b2 +4ab3+b4根据以上的归纳，可以想到(a+b)n的展开式的各项

3、是齐次的，它们分别为an, an-1b, an-2b2,，bn,展开式中各项系数的规律，可以列表:(a+b) 1(a+b) 2(a+b) 3(a+b) 4(a+b) 513311464115101051(这表是我国宋代杨辉于1261年首次发现的，称为杨辉三角，比欧洲至少早了三百年。)如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数(a+b) 4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若每个括号都不取b,只有一种取法得到a4即C：种(2)若只有一个括号取b,共有C4种取法得到a3b(3)若只有两个括号取b,共有C42种取法得到a2b2(4)若只有三个括号取b,共有C3种取法得到ab3(5

4、)若每个括号都取 b,共有C：种取法得b4(a+b) n= C； an+ Cn an-1 b+ + C； an-r br+ + C： bn(n C N+)以上我们采用不 完全归纳法得至h不一定可靠，若要说明正确，须 加以证明(数学归纳法)。证明：(1)当 n=1 时，左边=(a+b) 1=a+b右边=C10 a1 +C；b1=a+b等式成立(2)假设 n=k 时，等式成立，即(a+b) k= C： ak+C； ak-1 b+ C：ak-r br+Ck kk b那么当n=k+1时(分散难点作法)以(a+b) 4(a+b)与(a+b) k(a+b)进行类比(a+b) 4(a+b) = (C： a4

5、+ C： a3b+ C： a2b2+ C：ab3+ C： b4)(a+b) 0 51 42 3. 23 2.34.40 41 3. 2=(C4a + C4a b+C4 a b + C4a b + C4 ab ) + ( C4 a b+ C4 a b +C2a2b3+C：ab4+C4b5)rh 2日 米仇近：F3?ZpnC ° C °C11 C ° C 1C 2 1C1 C2C3 1田织口 姒住族大口C4=C5C4+ C4= C5C4 +C4= C5C4 +2 C 343 C44 一 C5C 4 5 C4 C 4 v>5C4 v>5贝U (a+b) 5=

6、 C; a5+ C5 a4b+ C： a3b2+ C53a2b3+ C： ab4+ C； b5 (a+b)k+1 =(a+b)k (a+b)=( C° ak+ C ak-1 b+ + C； ak-r br+ + Cf bk)(a+b)=(C°ak+1 + C1akb+ + C：ak-r+1br+C：abk)+(Ck°akb+C：ak-1b2+八 r k-r r+1k k+1、+ Ck a b + + Ck b )c ° k+11° kr 1 r k-r r+1k k 1 k k k+1= Cka +(Ck + Ck)a b+ , +(Ck +

7、Ck)a b + +(Ck+Ck )ab + Ck brh 幺日Oh- /肚 否久旦 。一八°1_1_0_ C1Cr1_i_Cr Cr1田 SEL n |王族 7寸，Ck = Ck 1Ck + Ck = Ck 1 , Ck + Ck = Ck 1 ,k k 1 _ p kk _ p k 1Ck+Ck =Ck1， Ck = Ck 1k+1°k+11 k 1k 1 k-r r+1k k k 1 k+1. .(a+b)=Ck1a +Ck 1a b + Ck 1a b + + Ck 1ab + Ck 1b ，即等式成立。根据(1) (2)可知，等式对于任意 nC N+都成立。一、指出：这个公式叫做二项式定理(板书),它的特点：1 .项数：共有(n+1)项° 玄和.伏欢 C °12p r nr2 .Cn> Cn, Cn, Cn> Cn> 十 Cn(一 U> I > 2n)称为二项式系数说明：二项式系数C；与展开中某一项系数是有区别的。例如：(1+2x)6展开式中第 3项中系数为C； 22 = 60而第三项的二项式系数是C；=15。3 .指数：an-r br指数和为n, a的指数依次从 n递减到0, b的指数依次从 0 递增