专题培优解析几何专题培优课

1、课时跟踪检测A级一一易错清零练1.已知抛物线 C: y2=2px(p>0)上一点 P(x0, y0),满足 |PF|=|x0|+1(点 F 为抛物线C的焦点)，则p的值是()1 -/A，2B.1C. 2D.4解析：选 C 由 |PF|=|x0|+1 知5= 1,故 p = 2.22.过点p(2,1)作直线1,使1与双曲线弓y2=1有且仅有一个公共点，这样 的直线1共有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条解析：选B依题意，双曲线的渐近线方程是y= x,点P在直线y=x上.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2,此时直线l与双曲线有 且仅有一个公共点(2,0),满足题意.当直线

2、l的斜率存在时，设直线l的方程为y-1 = k(x-2),即 y= kx+ 1 2k,y= kx+ 1 -2k,由 j22消去 y 得 x2 4(kx+ 12k)2=4,x -4y =4,即(1 4k2)x2 8(1 2k) kx- 4(1 2k)2- 4= 0, (*)若 1 4k2=0,则 k=号，,11当k= 2时，万程(*)无实数解，因此k= 2不潴足题意；,1 ,、 1当卜=2时，方程(*)有唯一实数解，因此k=2满足题意.若 1 4k2w0,即 kw1,止匕时 A= 64k2(1-2k)2+ 16(1-4k2)(1 -2k)2+ 1 = 0 不成立，因此满足题意的实数 k不存在.综

3、上所述，满足题意的直线l共有2条. 223 .双曲线/息=1(a>0, b>0)的左焦点为F1(2,0),点A(0,泥)，点P 为双曲线右支上的动点，且 APF周长的最小值为 8,则双曲线的实轴长为,离心、率为.解析：设双曲线的右焦点 F2,则由双曲线的定义，得乙APF1的周长为AF1|十 |PA|+|PF1|= AF1|+|PA|+(2a+ |PF2|) = 2a+ AF1|+ (|PA|+ |PF2|)>2a+ AF1| +|AF2| = 2(a+AF1|),则2(a+AF1|)=8,解得实轴长2a= 2.又由焦点坐标知半焦距c= |OFi| = 2,所以离心率 e=a=

4、2.答案：2 224 . (2019宁波模拟)已知双曲线 x2宾=1时>0)的离心率是 2,则m =;以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是解析：因为双曲线的离心率e为2,所以e2=1 + m=4,解得m=3.所以该双曲线的右焦点为(2,0),该双曲线的渐近线方程为y=W3x,所以右焦点到渐近线的距离 d=4m,则圆的半径为V3,所以以(2,0)为圆心、半径为也的 3+ 1圆的方程为(x2)2 + y2 = 3.答案：3 (x 2)2 + y2 = 35 .已知圆Ci： (x+3)2 + y2=1和圆 G： (x-3)2+y2 = 9,动圆M同时与圆 Ci及圆C2外切，则动

5、圆圆心M的轨迹方程为.解析：如图所示，设动圆M与圆Ci及圆C2分别外切于A和B两点.连接MCi, MC2.根据两圆外切的条件，得|MCi|ACi|=|MA|, |MC2|BC2|=|MB|. 因为 |MA|=|MB|,所以 |MCi|- ACi|= |MC2|-|BC2|,即|MC2| |MCi|= |BC2| |ACi|= 3- i = 2<6 = |CiC2|.所以点M到两定点Ci, C2的距离的差是常数.又根据双曲线的定义，得动点 M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离比与Ci的距离大),22可设轨迹方程为|2-b2= i(a>0, b>0, x<0),其中 a

6、=i, c= 3,则 b2=8.2故动圆圆心M的轨迹方程为x2y8=i(x<0).答案:x2 荒=i(x<0) 8B级一一方法技巧练i,已知点M( 3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线 y2 = 2x的焦点为F,点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是()7A.2B, 3C.2D. 2i解析：选C 抛物线的准线万程为x=-2,过Q作准线的垂线，垂足为Q',如图.依据抛物线的定义，得|QM| |QF|=|QM|QQ' |,则当QM和QQ'共线时，|QM|QQ' |的值最小，最小值为|-3-2=5.2.已知圆 C: (x73)2+(y1)2=

7、1 和两点 A(t,0), B(t, 0)(t>0),若圆 C上存在点P,使得/ APB=90°,则t的取值范围是()A. (0,2B. 1,2C. 2,3D. 1,3解析：选D 依题意，设点P(J3+cos 9, 1 + sin 0),. APB = 90。，. AP BP = 0, (V3+cos 计t)(V3+cos 01)+(1 + sin=0,得 t2= 5+ 2/3cos 0+ 2sin 45+ 4sin 计3，,.sin19+iq1,1,t2q1,9,.t>0,tq1,3.3.如图，Fi, F2是椭圆Ci与双曲线B分别是Ci, C2在第二、四象限的交点，兀一

8、. ,、.'、-、一一ZAFiO = -,则Ci与C2的离心率之和为 3A. 2案C. 2 .522解析：选A设椭圆方程为与十2a bB. 4D. 2 61(a>b>0),由双曲线和椭圆的对称性可知，A, B关于原点对称，一 一 九又 AF1JBF1,且/AFiO='3故 |AF1|=|OF1|=|OA|= |OB|=c,. a'-,乎c 代入椭圆方程?+ y2=1,结合b2=a2c2及e=：整理可 22 ya ba 得,3 862 + 4 = 0,.0<e<1,e2=4 2/=函1)2,e=木1.同理可求得双曲线的离心率 ei = 43+ 1,

9、. e+ ei = 2/3.4. (2019杭州高三期末)若双曲线M: x2 看=1的离心率小于 也，则m的 取值范围是;若m=2,双曲线M的渐近线方程为 .解析：由题意得双曲线的半焦距c= 小金,则双曲线的离心率e=彳=d1 + m,则由1<q1 + m<42,得0Vm<1.当m=2时，双曲线M的方程为x2 22y2=1,则渐近线方程为x2y2=0,即y= 城乂答案：(0,1) y=N/2x225.已知F1, F2是焦距为2的椭圆C: H= 1(a>b>0)的两个焦点,P为 椭圆C上的一个点，过点P作椭圆C的切线I,若F1, F2到切线l的距离之积为 4,则椭圆

10、C的离心率为.解析：设切点为P(m, n),则过该点的椭圆的切线方程为答+削1.所以距| b2m a2b2| |b2m a2b2|a4b4 b4m2|离之积F2 4 2 碗7 24 2= b4m2+ a4n2 .因为 a>c=1, a>m,且点 P(m,2 2 b2 2|a4b4 b4m2|b4(a4-m2)2n)在椭圆上，所以 n =b a2m ,所以2b2 2 2 = b =4,所以b = 2.因为c= 1,所以a=，5.所以椭圆C的离心率为e=5=W. a 5答案：T56.在平面直角坐标系xOy中，双曲线,一$= 1(a>0, b>0)的右支与焦点为 F的抛物线x

11、2 = 2py(p>0)交于A, B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐P-2|BF|=y2近线方程为.解析：设A(xi, yi), B(x2, y2),由抛物线的定义可知|AF|=yi + p, |OF|=P，由AF|十|BF| = yi + p + y2+p= yi + y2+p = 4|OF|= 2p,得 yi + y2=p.22y2 yi kAB =X2 XiX2 Xi2p-2P X2 + XiX2 Xi2p1 1 = - 2yn 2首 - - 212 222 x-a x-a由y2 yi kAB =X2 Xi2.o .b(Xi+X2)b2 Xi+X2"

12、2- a2" a yi + y2 a pb2则a2Xi +X2X2+ Xi2P ,b2 1Hb 2m=2,故，=2 ，双曲线的渐近线方程为y=q£.C级创新应用练i.在平面直角坐标系XOy中，设直线y= x+2与圆X2+y2= r2(r >0)交于A, B两点，O为坐标原点，若圆上一点 C满足OC = 5OA+3OB,则r =()A. 2Vi0B.ViOC. 2 .5D.5解析：选b已知oC=5OA+3OB,44' > >3 9两边平万化简得OAOB= 5，一3所以 coszAOB= - 工, 5ZAOB、石 所以cos=罟,又圆心0（0,0）到直

13、线的距离为 墨2,所以坐=坐，解得=回.222. （2019浙江新高考仿真训练卷（三）已知双曲线* 猊=1g，b>0）的离心率eC （1,2,则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是（）B. 0, 3A.。，6C.6 2,'D.5 2.''2222解析：选C双曲线点卜1的渐近线为方一斤=0,即y=第一、三象限的渐近线的斜率为a,又因为双曲线的离心率e=配1,2,所以a= bab,+8 I,所以渐近线的倾斜角的取值范围为故选C.223.已知双曲线?一时=1值>0, b>0）的两条渐近线分别为1i, l2,经过右焦 点F垂直于1i的直线分别交1i,

14、 l2于A, B两点.若|OA|, |AB|, |OB|成等差数列， 且酢与FB反向，则该双曲线的离心率为（）a£B. 13C. 5D.|解析：选C 设实轴长为2a,虚轴长为2b,令ZAOF= a,则由题意知tan a=b,在AAOB 中，ZAOB=180°2% tanOB= tan 2a=僧，"OA|, AB|, a|oa|OB|成等差数列，.设 |OA|二md, |AB|=m, |OB| = m+d, .OAJBF,(md)22212tan a AB| m 4 _ZMb+ m=(m+d),整理得 d=4m,Tan 2a=2- = OAj=3-=3，解得

15、3;=a4m2或3=2(舍去)，b=2a, c= 'J4a2+a2=5a,e=号=乖.4,已知直线l与圆x2+y2=1相切于第一象限，且直线在y轴上的截距是x轴上截距的2倍，则该直线的方程是点，则m+ Rm2+ n2的最小值为,若P(m, n)是直线l上的任意一解析：设直线l的方程为x + =1(a>0), a 2a=1,a浮即 2x+y2a= 0,r 一 ,r r /口 一 2a|由直线l与圆相切得 / 22.直线l的方程为2x+ y乖=0.P(m, n)在直线 l 上，. .2m+n = q5,.m+iJm2+ n2>m+ |m|>0,-'-i2+ n =

16、 k(k>0)9则m2+ (V5 2mk m,两边平方得 m2+(V5 2m)2= (km)2,即 4m2+(2k4&)m+5k2 = 0,由A>0得5k4证0, .*¥，5即m+ /m2+n2的最小值是455.答案：2x+ y乖=04,5525.已知F是抛物线C:x =2py(p>0)的焦点，过F的直线父抛物线 C于不 同两点 A(xi, yi), B(x2, y2),且 xix2 = - 1.(1)求抛物线C的方程；(2)过点B作x轴的垂线交直线AO(O是原点)于D,过点A作直线DF的垂 线与抛物线C的另一交点为E, AE中点为G.求点D的纵坐标；求阳的取值范围.lGDl解：(1)设直线AB的方程为v= kx+ 2，y= kx+p,联立2lx2 = 2py消去y,化简得x2-2pkx-p2=0,.xix2= p2= 1 ,p=1,抛物线C的方程为x2 = 2y.(2)二直线OA的方程为丫 =%=/ 1即