2022新高考数学一轮复习第15讲直线与圆

1、直线与圆、直线的方程 1、直线的倾斜角、斜率与两直线的位置关系(1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线 倾斜角。直线l倾斜角的范围是0,)。(2)斜率公式：定义式：直线 l的倾斜角为一，则斜率k tan 。2两点式：F (x15y1)、P2(x2,y2)在直线l上，且x1x2,则l的斜率k-y2y1。x2 x1对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当xi x2时公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角90 ,直线与x轴垂直；(2)女与、已的顺序无关，即 必、y2和xx2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3)斜

2、率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当必 V2时，斜率k 0 ,直线的倾斜角 0 ,直线与x轴平行或重合。(3)两条直线平行的判定对于两条不重合的直线l1、l2,若其斜率分别为K、k2,则有l1l2k1k2。当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l"/l2。(4)两条直线垂直的判定如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为 K、k2，则有l1 l2k1k21。当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1 l2。(5)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率kk tan0k 0k tan0不存在倾斜角锐角0钝角90在分析直线的倾斜角和斜

3、率的关系时，要根据正切函数k tan的单调性，如图所示:当0,万)时，由0增大到鼻(,)时，k由0增大并趋向于正无穷大；当 (一，)时，由一( 一)增大到()时，k由负无穷大增大并趋近于0。222解决此类问题，常采用数形结合思想。例1-1.直线x sin y 2 0的倾斜角的取值范围是()。3A、0, )B、MT 户，)44C、0工D、0,-二，)442【答案】B【解析】直线斜率 k sin ,又 1 sin 1,，1 k 1 ,设直线倾斜角为，1 tan 1,而0,),故倾斜角的取值范围是0,_,),故选Bo则直线l的斜率的范围是()。J3, 1)、Q(3,0)为端点的线段恒相交,44例1-

4、2.若直线l过点M( 1,2),且与以P( 1A、(，彳h'3，)2c、 1,V31.1-，则 k (,*'3,),故选 A o22【答案】A【解析】如图，kMP加， kMQ2、直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围及使用情况一般式Ax By C 0 (A2 B2 0)平囿直角坐标系内所用直线； 写答案用公式；点斜式过一点(沏，y°),斜率ky y0 k(x 沏)与x轴不垂直的直线； 给一点及斜率；与圆或圆锥曲线有关；斜截式纵截距b ,斜率ky kx b与y轴不垂直的直线； 给与y轴的交点及斜率；两点式过两点(x1, Vi),他,丫2)y yx xV2V1x2x1

5、与x轴、y轴均不垂苴的直线； 给两点；截距式横截距a ,纵截距bx Y 1a b不含垂直于坐标轴和过原点的直线； 给与x、y轴的交点；例1-3.求满足下列条件的直线方程斜率为 2,经过点(3,4)；(2)斜率为3,在y轴上的截距是2;(3)经过两点(2, 1)和(1,5);(4)经过两点(4,0)和(0,2)。【解析】(1)由题意可知y 42(x 3),则直线方程为2x y 10 0;0；(2)由题意可知y 3x 2 ,则直线方程为3x y 2y 1 x 2(3)由题意可知,则直线万程为 6x y 11 0;(4)由题意可知-xj -y 1 ,则直线方程为x 2y 4 0。3、直线的交点、距离

6、与对称问题(1)两条直线的交点方程短疔唯解(2)三种距离In0与人心A：工“ liiy f( 2。的 公批点的逑标4方程盥 产*历尸却=0U声4Hm-。6岭类型条还恒近亟药距离公式两点间距离点P(xi, Vi)、2(x2, y2)之间的距离2,、21Pp2 1 T （x2 x1）（ y2 y1）点到直线距离点Po(xo, yo)到直线l ： Ax By C 0的距离Ax。 By。 C两平行直线间距离两平行线11 : Ax By C1 0与l2： Ax By C2 0间距离2 0平行，则a的值是()。例1-4.已知直线x 2ay 1 0与直线(a 2)x ayA、B、2 c一或03八 - 3C、

7、0或一2D、0,【解析】由题设可得1 ( a) 2a (a 2) ,，a当a 0时两直线重合，故应舍去，故选Do例1-5.若P、Q分别为直线3x 4y 12 0与6x8y 5 0上任意一点,则|PQ|的最小值为()。A、B、2910C、185D、29512一，两直线平行，将直线529一, 10例1-6.已知A(4, 3), B(2, 1)和直线l ： 4x 3y 2 0 ,若在坐标平面内存在一点P,使|PA| |PB|,且点P到3x 4y 12 0 化为 6x 8y 24 0, 245由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即 上 ,62 82一 一一一.29 ，一. |PQ|的最

8、小值为 '，故选B。10直线l的距离为2 ,则P点坐标为(21八A、£, 3）或（1, 4）B、（1, 4）或（1,-） 5.278C、（1, 4）或（3,）D、6、278、（1 二）或（二7，二）577【解析】设点P的坐标为(a, b),线段AB的中点M的坐标为(3, 2) , kAB AB的垂直平分线方程为 y2x3,SPxy5 0,一点P(a, b)在直线xy 5 0上，. a b 5 0,又点P(a, b)到直线l ： 4x 3y 24a 3b 20 的距离为 2,! 2,即 4a 3b 242 32278联立可得a 1、b 4或a±7、b 8,77，所求点

9、P的坐标为27(1, 4)或(27,8y),故选Co易错提醒： 点P(x0,y0)到直线x a的距离d |x0 a |,到直线y b的距离d | y0 b|；(2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x、y的系数化为相等。4、中心对称问题的两种类型及求解方法：(1)点关于点对称:若点 R(x1, y1)及点P2(x2, y2)关于点P)(Xo, y°)对称，x 2a x-则由中点坐标公式得1 ,进而求解。y 2b y1(2)直线关于点对称，主要求解方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程;求出一个对称点，再利用两对称直

10、线平行，由点斜式得到所求直线方程。5、轴对称问题的两种类型及求解方法：则由X1 X2y1 y2A(J) B(21-) C 22y yAZl ()1x2 x1B(1)点关于直线对称：若点 R(Xi, Vi)与点F2(X2, y2)关于直线l ： Ax By C 0对称，0得R关于l对称的P2坐标(x2, y2)( B 0 , x1 x2)。(2)直线关于直线的对称：若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解。I一若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解。例1-7点P(3,2)关于点Q(1,4)的对称点M为()

11、。A、(1,6)【答案】DB、(6,1)C、(1, 6)D、( 1,6)【解析】设M(x,y),则31, 2- 224, x1 , y 6, 点 M( 1,6),故选 Do例1-8.直线2x y 3 0关于直线x y 20对称的直线方程是()。B、x 2y 3 0D、x 2y 1 0A、 x 2y 3 0C、x 2y 1 0【答案】A【解析】设所求直线上任意一点P(x, y),则P关于xy 2 0的对称点为P(Xq, y0),x x0由 2x x0y y。2(y y°)0 x0得V。2,由点2P(x0, yo)在直线 2x y 3 0上, 2(y 2)(x 2) 30,即x2y 3

12、0 ,故选 Ao例1-9.已知入射光线经过点M( 3,4)x y 3 0反射，反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为【答案】6x y 6 0【解析】设点 M ( 3,4)关于直线0的对称点为M (a, b),则反射光线所在直线过点M ,3 a b 422b 411a ( 3)0，解得a1, b 0 ,又反射光线经过点N (2,6),所求直线的方程为0 土，即 6x y 6 0。方法技巧：解决两类对称问题的关键点：解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题, 般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中

13、心在对称轴上，即抓住垂直平分”，由 里直”列出一个方程，由 平分”列出一个方程，联立求解。二、圆的方程 1、圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x a)2 (y b)2 r2(r 0)圆心(a, b),半径r一般方程x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)同、 D F、 一D D2 E2 4F圆心(一一)牛径r2222、点与圆的位置关系点M(x°, y°),圆的标准方程(x a)2 (y b)2 r2。理论依据点与圆心的距离与半径的大小关系%a)2(y0b)22 r点在圆上三种情况%a)2(y0b)22 r点在圆外(x0a)

14、2(y0b)22 r点在圆内3、与圆有关的对称问题(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称。(2)圆关于点对称：求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点。(3)圆关于直线对称：求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线。A、C、已知圆C1: (x 1)2(x一 2一 22) (y 2)(x2)2 (y 2)2(y 1)21 ,圆C2与圆Ci关于直线B、D、圆C1的圆心坐标为（1,1）,a由题意得2bb 12又两圆的半径相等，故圆C2的方程为1 0对称，则圆C2的方程

15、为（）。_ 2(x 2) (y(x 2)2 (y2)22)2设圆C2的圆心坐标为（a, b）,22， 圆C2的圆心坐标为（2, 2）,(x2)2 (y 2)2 1 ,故选 Bo4、直线与圆的位置关系（1）直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离。（2）两种研究方法:二次方程蹑其判别式4 V 4好 >Q一相交4=Q一和切制离囿心划直线的距离为d卜=,一期应，弦长k女史' >和离5、弦长问题圆的弦长问题在高考中多次出现,考查角度主要有两个：已知直线与圆的方程求圆的弦长；已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等。解决圆的弦长问题的方法:几何法如图所示，设直线 <50 k 1

16、被圆C截得的弦为AB, 圆的半径为r ,圆心到直线的距离为 d ,则功关系式：|AB| 2Vr2 d2代数法若斜率为k的直线与圆相交于 A（x1，y）、B（x2, y2）两点，则 |AB|<1k24（xx2）24x1x2J1 口|y1y2l（其中 k0）。k k特别地，当k 0时，|AB|x x?|；当斜率不存在时，|AB| |y1 V2°当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形（如图中的Rt ADC）,在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用。例 2-2 .若 a2 b222c (c 0),则直线ax by c 0被圆1所截得的弦长为（）。A、B、C、

17、D、【解析】圆心(0,0)到直线 ax by c0的距离d|C|因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于Ji (走)2 W2, 弦长为四,故选d。,22例2-3.已知直线r3x y 2 0及直线J3x y 10 0截圆C所得的弦长均为 8 ,则圆C的面积是。【答案】25【解析】已知的两条直线平行且截圆C所得的弦长均为8,12 10|圆心到直线的距离 d为两平行直线距离的一半，即d yU 3,23 1又直线截圆C所得的弦长为8, 圆的半径r V32 42 5, .圆C的面积是25 。方法技巧：求解弦长问题的常用方法：直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一

18、个衍生问题。常用的方法有：根据平面几何知识结合坐标，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示；通过联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题。6、切线问题求过圆上一点(x°, y0)的切线方程的方法：先求切点与圆心连线的斜率k ,若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y y0 ;若k 0 ,则结合图形可直接写出切线方程为x X0;若k存在且k 0 ,则由垂直关系知切线1的斜率为由点斜式可写出切线方程。k求过圆外一点(X0, y0)的圆的切线方程的方法几何法当斜举存在时设为k ,则切线方程为yy0k(xx0)，即kx yy0kx00。由圆心到直线的距离

19、等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程代数法当斜举存在时设为k ,则切线方程为y y0 k(x x0)，即y kx kx0 y0,代入圆的方程，得 到一个关于x的一元二次方程，由0,求得k,切线方程即可求出。7、圆与圆的位置关系222222设圆 C1： (x31)(yb1)1(r10),圆 C2： (xa?)(yb?)2 (0),方法 系几何法：圆心距d与r1、r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1 r2一组实数解相交| r1r2 1dr1收两组不同的实数解内切d Inr2 |( r1七)一组实数解内含0 d K "(L 引无解(2)圆与圆

20、位置关系的应用设圆 C1 ： x2 y2 D1x E1y F1 0,；圆 C2 ： x2 y2 D2x E2y F2 0,若两圆相交，则有一条公共弦，由-，得(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0,方程表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程。(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交,第7页共8页如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程。(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心。(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求。例2-5.分别求当实数 k为何值时，两圆 C1： x2y2 4x6y12 0 , C2 : x2 y22x14yk 0相交和相切。【解析】将两圆的一般方程化为标准方程，得Ci： (x2)2(y 3)2 1, C2 : (x1)2 (y7)2 50 k,则圆C1的圆心为C1(2,3)，半径