2020年百校联盟高考文科数学4月份模拟试卷全国Ⅰ卷含解析

1、2020年高考（文科）数学（4月份）模拟试卷（全国I卷） 、选择题（共12小题）.1 .已知集合 A=xCZ|x2wi, B = x|x? In (x+3) =0,则 AU B=()A. - 1 , 0, 1B. -2, - 1, 1C. -2, 0, 1D. - 2, - 1, 0, 12 .设工是复数z的共轲复数，若 «? i=1+i,则z?H=()A.我B. 2C. 1D. 03 .下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A . y= xsinxB. y= xlnxC.产父今-D.e +14 .数列an是等比数列，Sn是其前n 项和，an>0,a2+a3= 4,a3

2、+3a4=2,贝U S3=()B. 12C.38D.135 .已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（止提留俯猊图B. 2D.10T6 .已知函数 f (x) = 2cos2x - cos (2x 7T）,则下列结论正确的个数是（函数f （x）的最小正周期为兀;函数f （x）在区间0,7U上单调递增;函数f (x)在0,TV引上的最大值为2；函数f （x）的图象关于直线7Vx=-7TM称.A. 1B. 2C. 3D. 47.如图，在 ABC中,AB=2, AC = 3, Z BAC=, M、N 分别为 BC、AM 的中点,A. - 2C.D.8 .改编自中国神话故事的动画电影哪吒之

3、魔童降世自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了 38亿元，创造了中国动画电影的神话.小明和同学相约去电影院观看哪吒之魔童降世，影院的三个放映厅分别在7: 30, 8: 00, 8: 30 开始放映，小明和同学大约在 7： 40至8： 30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的,那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（2C- 5D.9 .已知函数=1口目-ax')在（=，+°°）上为减函数,则实数a的取值范围是A.(-OO,1b. -y, 1C.(D.+oo)2 ')10.若x, y满足约束条件4 耳-W 第-64 0, 2x-2y

4、-hl>0,、篁十2yT>0z= |x - y+1|的最大值为（A. 2B.2411C.2811D.11.如图所示，在三棱锥 P-ABC中，AB ± BC, AB = 3, BC=2,点P在平面 ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD = 1 , PD = 2,则三棱锥P - ABC外接球的表面积为（）A. 9兀B. 1071C. 12兀D. 14兀12.已知函数f (x) =(x>0),若 a=卜，0,则f （x）的取值范围是（A.-向-1, -1) B, (- 26，-1) C. -2/2, -1) D,(二、填空题13 .从一个有53名学生的班级中，随机抽取5

5、人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取， 则班长被抽中的概率为 .14 .已知函数f (x) =x3-5x+a,直线2x+y+b=0与函数f (x)的图象相切，a, b为正实 数,则a+b的值为.15 .已知实数x, y满足y>2x> 0,则工十9、的最小值为16 . Fi、F2是双曲线 0±±11>0, b0)的左、右焦点.过 F2作直线lx轴， 交双曲线 C于M、N两点，若/ MF 1N为锐角，则双曲线 C的离心率e的取值范围 是.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .已知 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,

6、 a2=b2+bc,且 sinC+tan BcosC =1.(1)求角A;(2) b=2, P为ABC所在平面内一点，且满足 乐.而=0,求BP的最小值，并求 BP 取得最小值时 APC的面积S.18.双十一购物狂欢节，是指每年 11月11日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事.某生产商为 了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A 电商平64718170796982737560台B 电商平60809777968776839496台(1)作出A、B两个电商平台销售数

7、据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售 更好，并说明理由；(2)填写下面关于店铺个数的2X2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量80销售量w 80总计A电商平台B电商平台总计(3)生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附： k2 ., n = a+b+c+d.(a +b) (c+d) (a+c) (b+'d)P (K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828,小 _，_兀_、，一 ，一一19 .如图，平行四边形

8、ABCD中，AB = 4, AD=2, /ABC=，E为CD中点.将4ADE沿AE折起，使平面 ADE，平面ABCE ,得到如图 所示的四棱锥 P - ABCE .(1)求证：平面 PAEL平面 PBE;(2)求点B到平面PEC的距离.20 .动圆P过定点A (2, 0),且在y轴上截得的弦 GH的长为4.(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线 C,求曲线C的方程；(2)在曲线C的对称轴上是否存在点 Q,使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值?若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由.IQSI2 |QT|Z21 .已知函数 f (x) = ax+, g( x)=月一 -1.

9、(1)讨论函数f (x)在(0, +8)上的单调性；(2)若对任意的xC (0, +8), f (x) vg (x)恒成立，求实数 a的取值范围.请考生从第22、23题中任选一题作答， 并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑,按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.选彳4-4:坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为x-1+cas 日堇二1十gin 6(0为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l的极坐标方程为 psin (。口)4+V2= 0, P为直线1上的任意一点(1) Q为曲线C

10、上任意一点，求 P、Q两点间的最小距离；.(2)过点P作曲线C的两条切线，切点为 A、B,曲线C的对称中心为点 C,求四边形PACB面积的最小值.选彳4-5：不等式选讲23.已知函数f (x)工十2 |十x-l | -a.(1)当a = 4时，求函数f (x)的定义域；(2)若函数f (x)的定义域为R,设a的最大值为s,当正数m, n满足卜、二2m+ns时，求3m+4 n的最小值.D. - 2, 1, 0,D. 0z* z-z | 2 求解、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1,已知集合 A=xCZ|x2w 1, B = x|x? In (

11、x+3) =0,则 AU B=()A. -1, 0, 1 B. -2, - 1 , 1 C. - 2, 0, 1 1【分析】可以求出集合 A, B,然后进行并集的运算即可.解：. A= 1, 0, 1, B = 0, - 2,AU B = - 2, - 1 , 0, 1.故选：D.2 .设工是复数z的共轲复数，若 «?1+i,则z?旧=()A.我B. 2C. 1【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合解：= z? i = 1 + i,-,.1+i t-i) 一 , 71-Tp， 1 -1则"率二Z |2 =(V2)建2故选：B.3 .下列函数中，既不是奇

12、函数，也不是偶函数的是()A . y= xsinxB. y= xlnxex-lC【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案.解：根据题意，依次分析选项：对于A, y= xsinx,其定义域为 R,有f ( - x) = xsinx = f (x),即函数f (x)为偶函对于B, y=xlnx,其定义域为(0, +8),既不是奇函数，也不是偶函数;Q - 1Qi - 1R* - 1对于 C, y=x? -_其定义域为 R,有 f (- x) = (- x) ? = = x?-一t =fX , -Jf,1x，1e -Hle +1 e +1(x),即函数f (x)为偶函数；对于 D

13、, y= xln (J，十-x),其定义域为 R,有 f ( - x) = (- x) ln (Vxs+i +x) = xln (，工2十-x) = f (x),即函数f (x)为偶函数；故选：B.4 .数列an是等比数列，Sn是其前n项和，an>0, a2+a3=4, a3+3a4=2,则S3=()A图B. 12C.fD. 13【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出叼=9, q=±，由此能求出S3的值.解：:数列an是等比数列，Sn是其前n项和，an>0, a2+a3= 4, a3+3a4=2,239十a产=4.,孙十知q12,解得打二孔 11口、q>U9(

14、1y)一 腔-S3=13.|陛|故选：D.5 .已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(能视图帖视图B. 2八8C.一D.10【分析】根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解.解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P - ABCD ,1Q体积 V = X2X 20故选：C.),则下列结论正确的个数是(6 .已知函数 f (x) = 2cos2x cos (2x 函数f (x)的最小正周期为兀;函数f (x)在区间0,上单调递增;函数f (x)在0,7T ，丁7上的取大值为2;函数f (x)的图象关于直线称.A. 1B. 2C. 3D. 4先根据函数化简得f (x)=

15、7T,可判断；先求出所以单调递增区间，然后可以判断；可求f (x)在在0 ,工-上的最大值，可以判断 ；可求出f (x)的所有对称轴，可判断 .) = cos2x+1 -cos2x -解：f ( x ) = 2cos2x - cos ( 2x -1_cos2x-sin2x+l = cost2j£-"T 2=兀，对;由 2k7t-7t< 2x+< 2k ti,彳x x qk 兀一,T' k a所以函数f ( x)单调递增区间为k兀-Z-,错;0,.x0,3-时，2x+,cos (2x+7)q t ,二,函数 f (x)在0,JU7上的最大值为- 2x+=k

16、 兀，x =kCZ,对,M、N分别为BC、AM的中点,，一，,一 ，_ 兀7 .如图，在 ABC 中，AB=2, AC = 3, Z BAC =则【分析】根据已知条件把所求问题转化，即可求得结论.解：因为在 ABC 中，AB = 2, AC=3, / BAC =三，M、N分别为BC、AM的中点, 口则5v （舌屈）？凝（处-AC） ，AB二步=2 （落i q1=-x 22-x2X3X-故选：C.8.改编自中国神话故事的动画电影哪吒之魔童降世自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了 38亿元，创造了中国动画电影的神话.小明和同学相约去电影院观看哪吒之魔童降世，影院的三个放映厅分别在

17、7: 30, 8: 00, 8: 30开始放映，小明和同学大约在 7: 40至8: 30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的,那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（-2c. 一【分析】由满足条件的时间段为7: 508: 00, 8: 208: 30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求.解：由题意可知，满足条件的时间段为7: 508: 00, 8: 208: 30共20分钟,由几何概型知所求的概率P= 50 5故选：C.9.已知函数+ 8）上为减函数，则实数 a的取值范围是A.(8,1B.C.(D.(+ OO)【分析】由复合函数的单调性法则可知y= x2- ax+a 在上

18、为增函数，由对数函数的真数大于 0可知，y > 0恒成立,则实数a应满足(y)2-a+a>0组即可得到答案.解：;y=lo x7在（0, +00）上为减函数,/. y= x2 ax+a 在）上为增函数，且y>0恒成立,解得rC 110.若x, y满足约束条件4其-？ ¥-64 0 2x-2y-Hl>0,、篡十2y-l>。z= |x - y+1|的最大值为（A. 2B.2411C.2811D.【分析】作出不等式组对应的平面区域，令t=x - y+1,利用目标函数t的几何意义，结合图象得到结论.解：作出不等式组对应的平面区域如图:1纵截距为1 - t的一组平

19、行直线,令t= x - y+1,得y= x+1 - t表不，斜率为4孤-3 产 0 ,152h+2v-i=o - ii）；，,，哆 2 I ,平移直线y=x+1 - t,当直线y=x+1-t经过点C （了，一五）时，直线y=x+1-t的截距最小，亚狩 t 15/2、 28此j时 tmax=i- （ 五-） +1=不彳-，当直线y= x+1-t与AB重合时，直线 y=x+1 - t的截距最大， A （0, y）此时 tmin = 0 +1 =i, .z= |x-y+1|的取值范围是：广，兴.no故z= |x - y+1|的最大值为故选：C.11 .如图所示，在三棱锥P-ABC 中，AB 

20、7; BC, AB = 3, BC=2,点 P 在平面 ABC 内的投影D恰好落在AB上，且AD = 1 , PD = 2,则三棱锥P - ABC外接球的表面积为（）A. 9 兀B. 10 兀C. 12 兀D. 14 兀【分析】结合已知构造直三棱柱PAB - MNC ,则直三棱柱 PAB - MNC的外接球即为所求，球心。为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾 股定理可求.解：由题意可知，PDL平面ABC, 所以平面 PABL平面 ABC ,又因为ABXBC,所以BC，平面 PAB ,构造直三棱柱 PAB - MNC ,则直三棱柱 PAB - MNC的外接球即为所求

21、，球心 O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点, PAB中，由正弦定理可得,V14故 R=J=,. ri故 S=4 兀 X= 14tt4故选：D.卜C12.已知函数f (x)=(x>0),若a=1->0,则f (x)的取值范围是(A.-向-1, T) B. (- 2匹,ginQ ccig Q T再令"显门0乜。£口 £ (1，亚,可得2t在tE (L近上为减函数，由此求出f (x)的取值范围.解：由 &V 1-小得,a【分析】依题意，a1 2+x2= 1,采用三角换元设 a= cos a, x=sin%可得+x2=1,不妨设 a =

22、 cos a, x=sin a,其中 H E 3, 丁),贝U 叫), 令 七二sinQ 43sQ 为防iM Q E ( LsinU cos CL -14' - - r 之2-Imind cos a =1，2，工更="一模一在t.£ li,上为增函数，.在tE 11,最上为减函数,t-3故选：C.、填空题：共 4小题，每小题5分.13 .从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为 .53 【分析】根据在系统抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，得出结论.解：从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若

23、采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为国，故答案为：.J O14 .已知函数f (x) =x3-5x+a,直线2x+y+b=0与函数f (x)的图象相切，a, b为正实 数,则a+b的值为 2 .【分析】先对f (x)求导，根据条件设切点的坐标为(xO, yo),然后由f' (xo) = - 2求出切点坐标，进一步求出a+b的值.解：由 f (x) = x3 5x+a,得 f' (x) = 3x2 - 5,直线2x+y+b= 0与函数f (x)的图象相切，设切点的坐标为(xo, yo),则3工：-5=-2,x0= 1 或 xo= - 1,yo= a 4 或 yo= a+4

24、,即切点坐标为(1, a- 4)或(-1, a+4),代入直线中，得 a+b= 2或a+b= - 2,. a, b为正实数，a+b=2.故答案为：2.15.已知实数x, y满足y>2x>0,则的最小值为【分析】先令t=2,可转化成f (t) =t+,t>2,因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值.xr y %则 x "ic+y,由题意知t> 2,=t+,令f(t)=t+三历,22,f' (x) = 1 9Ct+2 产>0,1 .f (t)在t>2上单调递增,2 .f (t) > f (2)故答案为：二.16. Fi、F2是双

25、曲线C：三-，b>0)的左、右焦点.过 F2作直线 Ux轴，交双曲线C于M、N两点，若/ MF 1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是(1,1 + 血) .【分析】求出交点 M , N的坐标，只要/ MF1F2V45。即可，利用斜率公式进行求解即 可.解：解：当 x=c时，-=1,可得y= 土上 a b- a故 M (c,)如图只要/ MF 1F2< 450即可，则 tan / MF 1F2tan45 ° = 1,. I即 a b?”,即 b2v2ac,< 12c 2a c贝U c2- a2< 2ac,即 c2- 2ac- a2<0,贝U e2-

26、2e- 1<0,解得：1 -又 e> 1,Ke<l-»-V2故答案为：(1, 1+V2)17.已知 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c, a2=b2+bc,且 sinC+tan BcosC =1.(1)求角A;(2) b=2, P为ABC所在平面内一点，且满足 而乐=0,求BP的最小值，并求 BP 取得最小值时 APC的面积S.【分析】(1)先根据已知条件得到b+c= 2acosB;再结合正弦定理得到A = 2B,结合sinC+tan BcosC = 1即可求得结论；(2)根据数量积为0推得点P在以CA为直径的圆上，进而得到当点 P在BO上时，B

27、P 取得最小值，求出最小值以及 APC的面积S即可.解：(1)因为 a2=b2+bc? a2+c2b2=c2+bc；2ac 2ab+c= 2acosB ;由正弦定理得：sinB+sinC= 2sinAcosB,sinB+sin (A+B) = 2sinAcosB? sinB= sin (AB)；因为都是三角形内角；，A=2B；又由 sinC+tan BcosC = 1.得 sin (B+C) = cosB ;sinA = cosB ;(2)由(1)可知C=. /.A ABC为直角三角形.又因为研.曰=0? PA，PC;所以点P在以CA为直径的圆上，如图：. b=2,所以：BC=23，AB =

28、4,设O为AC的中点，连接BO,则当点P在BO上时，BP取得最小值，此时 BP = BO PO = + ( 2V§ ) ° 1=7 13 1.设/ OCP= a,则 / COP=兀2 a,sin；cos a=18在直角三角形 BOC中，sin / COB = sin (当BP取得最小值时(713- 1)时，双H一购物狂欢节，是指每年11月11兀2 a) = sin2 a=,BC _273 I2V39bo13APC的面积S为：型©13日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事.某生产商为了了解其生产

29、的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据:A电商平64718170796982737560B电商平60809777968776839496(1)作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图,根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由;(2)填写下面关于店铺个数的 2X2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关;销售量80销售量w 80总计? PC = 2sin acosa = sin2 a;A电商平台B电商平台总计(3)生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售

30、量在95以上的概率是多少？附： 吊2 , n = a+b+c+d.(a +b) (c+d) (a+c) (b+'d)P (K填表如下;>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】(1)根据题意画茎叶图，(2)根据数据填表，代公式，比较，判断，(3)根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率.解：(1) A、B两个电商平台销售数据的茎叶图如图由茎叶图可知B电商平台的销售更好，因为B整体数据集中比A高,1唳7%u中t IIh1<i« 1 Hi7柝T2 1£口17中4 67销售量80销售量w 80A电商平台B电商平台总计

31、12总计1010203.333< 3.841220(2X4-6X g)2 "8X12X10X10没有95%的把握认为销售量与电商平台有关.97, 96, 96, 94, 87.(3)从这20个网络销售店铺销售量前五名为分别设为A, B, C, D, E,随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：(A , B, C) , (A, B , D) , ( A, B, E) , ( A, C, D) , ( A, C, E),(A, D, E) , ( B, C, D) , ( B, C, E) , ( B, D, E) , ( C, D, E),恰好有两个店铺的销售量在 95以上有6种，

32、恰好有两个店铺的销售量在 95以上的概率为二增.10 5,_ _ ,_，_兀_、，一19.如图，平行四边形 ABCD中，AB = 4, AD=2, Z ABC=, E为CD中点.将4ADE沿AE折起，使平面 ADE，平面ABCE ,得到如图 所示的四棱锥 P - ABCE .(1)求证：平面 PAEL平面 PBE;(2)求点B到平面PEC的距离.【分析】(1)求解三角形可得 AE = 2, BE = 2/3,结合AB = 4,得到BEXAE,再由 平面APE，平面ABCE ,结合平面与平面垂直的性质可得 BE，平面PAE ,进一步得到 平面PAEL平面PBE;(2)设O为AE的中点，连接 PO

33、, CO,求得PO = V3,进一步求解三角形可得OC、PC的值，求解三角形 PEC与BEC的面积，利用等体积法可求得点B到平面PEC的距离.【解答】(1)证明：在图 中连接BE,由平面几何知识，求得 AE = 2, BE = 2/3，又. AB = 4,BE LAE,在图中，平面 APE，平面 ABCE,且平面 APE n平面ABCE = AE , 二BE，平面 PAE,又 BE?平面PBE ,平面 PAE，平面 PBE;(2)解：设O为AE的中点，连接PO, CO, 由已知可得 PAE为等边三角形，PO = g.平面 PAEL平面 ABCE ,，PO,平面 ABCE ,得 POXCO.一.

34、2兀在4OEC 中，OE = 1, EC=2, /DEC二一一.由余弦定理得OC=J'.1- pc=.在APEC 中，PE=EC=2, PC=kfjxj.又二4一二、二一I-. .设点B到平面PEC的距离为d,由 Vp bce = Vb pce,得 J XX"3 => XX 日,OQ工解得 d=2/15_.5点B到平面PEC的距离为20.动圆P过定点A (2, 0),且在y轴上截得的弦 GH的长为4.(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线 C,求曲线C的方程；(2)在曲线C的对称轴上是否存在点 Q,使过点Q的直线1'与曲线C的交点S、T满足1|Q3|1 7五为定值？若存

35、在，求出点 Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由.|QT|【分析】(1)设P (x, y),过P作PBXGH ,交GH于点B,则B为GH的中点,GB =2, PG=lJz, PA=J&-2 产+/2十4,整理可得y2=4x(xwo)；(2)假设存在Q (a,0)满足题意，设S(xi,yi), t(X2,y2),设其方程为x=tiy+a(t1W0),联立 *,利用根与系数关系表示出QS2, QT2,Ly -4x 11 _进而表不出.*十; 后即可.IQS!2 |QT|2解：(1)设P (x, y),由题意知：PA=PG,当P点不在y轴上时，过 P作PBLGH ,交GH于点B,则B为GH的

36、中点，GB =yGH = 2,. PG = j/+4,又 PA =，k-2整理可得 y2=4x ( xw 0)；当点P在y轴上时，易知P点与O点重合，P (0, 0)也满足y2=4x,曲线C的方程为y2=4x,(2)假设存在 Q (a, 0)满足题意，设 S (xi, yi), T (X2, y2),根据题意可知直线l'的斜率必不为0,设其方程为x=tiy+a (tiw0),x-tLy+a联立，,整理可得y2-4tiy- 4a= 0, yi+y2= - 4ti, yiy2= - 4a, 2一 二 二 2 .xi+x2=ti (yi+y2)+2a= 4ti2+2axix2=H-yy? =

37、a2, r 2- QS2= (xia) 2+¥ = ( xi a) 2+4xi = xi2+ (4 2a) xi+a2,QT2=(x2-a) 2+ y2 = (x2-a) 2+4x2=x22+ (4-2a) x2+a2,1- QS2+QT2=xi2+ (4 2a) xi+a2+x22+ (4 2a) x2+a2= (x1+x2)2+ (42a) (xi+x2)2xix2+2a222=(xi+x2)( xi+x2+4 2a) - 2xix2+2a2= (4t"+2a) (41 +4),QS2? QT2=i6a2 ( t ,+i) 2,|Q3|2 |QT|2 QS2-QT2 2

38、 rhi2+1)I当a = 2时，上式=与ti无关为定值，4所以存在Q (2, 0)使过点Q的直线与曲线交于点 S、T满足 I 7七 为定值 |QS| 2 |QT|24、1,、 不2i.已知函数 f (x) = ax+, g (x)=-i.(i)讨论函数f (x)在(0, +°°)上的单调性；(2)若对任意的xC (0, +8), f (x) vg (x)恒成立，求实数 a的取值范围.八，一,，巾c1a K -1小一八一 人、”【分析】(i)对f (x)求导得，f (x)=a-22，然后分aw 0和a>0两个类X I别，讨论f' (x)的正负，即可得 f (x

39、)的单调性；(2)构造函数 h (x) = ex- ax2 - x- i (x>0),求出 h' (x)，令 H (x) = h' (x)=ex- 2ax - 1,再求H' (x) = ex- 2a,当时，易证得h (x)在(0, +8)上为增函数，h(x)> h(0)=0 成立，即f (x)v g(x)成立；当 时，由 H'(x)= ex-2a= 0,解得x=ln2a,可得函数 H (x)的单调性即 h' (x)的单调性，于是 h' (x) >h' (ln2a) > 2a - 1 - 2aln2a,再令 t (a

40、) = 2a - 1 - 2aln 2a),求导可知t ( a)在号，K°)上为减函数，t (a) < t(ybO,即h' (ln2a) v 0,最后结合隐零点的思维可证得当日>4时，对xC (0,当aW0时，f' (x) < 0,函数f (x)在(0, +8)上单调递减;当a>0时，由f' (x) =0,得产上逼 a(舍负)，+8), f (x) vg (x)不恒成立，因此得解.)时，f' (x) V0,函数f (x)单调递减，当 代(返，+CO)时，f' (x) a>0,函数f (x)单调递增.(2)由 f (

41、 x) v g (x),得 ex- ax2 - x - 1 >0,设 h (x) = ex ax2 x 1 (x> 0),贝U h' (x) = ex - 2ax - 1,令 H (x) = ex - 2ax - 1,则 H' (x) = ex- 2a,当;a二时，xC (0, +oo), H' (x) >0, H (x)为增函数，H (x) = h' (x) > h' (0) = 0, h (x)在(0, +oo)上为增函数，h (x) > h (0) = 0 成立，即 f (x) v g (x)成立.当曰二:"

42、二时，由 H' (x) =ex2a=0,解得 x=ln2a,xC (0, ln2a)时，H' (x) < 0, H (x)为减函数，xC (ln2a, +°°)时，H' (x) > 0, H (x)为增函数， h' (x) >h' (ln2a) > 2a - 1 - 2aln2a,设 t (a) = 2a- 1 - 2aln2a (，则 t' (a) = - 2ln2a< 0,. t (a)在(-ys +j2C0上为减函数，.t (a) v t(异0, 即 h' (ln2a) < 0.?x0e (0, +oo),当 xe (0, x0)时，h' (x) <0, h (x)为减函数, 当 xC (小，+oo)时，h' (x) >0, h (x)为增函数，又 h (0) = 0,当 x