2019高考数学复习不等式的性质与一元二次不等式

1、第七章.不等式第1节 不等式的性质与一元二次不等式最新考纲1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系， 了解不等式(组) 的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型； 3.通过函数图 象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 .建砒修断I回归教材，夯实基础知识梳理1 .两个实数比较大小的方法，ab0? a_b,(1)作差法 ab=0? a=b, 、ab0? a1? ab (a R, b0),a(2)作商法0),、：0).2 .不等式的性质(1)对称性：ab? bb, bc? ac；(3

2、)可加性：ab? a+ c_b+ c； ab, cd?a+c*b+d;(4)可乘性：ab, c0? ac_bc； ab0, cd0?ac*bd;(5)可乘方：ab0?an2bn(nCN, n1)；(6)可开方：ab0? %之nb(n N , n2).3.三个“二次”间的关系判别式A = b2 - 4acA 0-0A 0)的图象y1 /.1L1，兀一次方程ax2+bx+c=0(a0)的根启两相异实根x1 , x2(x1 0(a0)的解集凶 或xx用 X1fuxxRax2+bx+c0)的解集x|x1_ xb0, m0,贝Wv； a a m mb bma a m(bm0).若 ab0,且 ab? 1

3、0,求解时不要忘记讨论a= 0时的情形.3 .当A0(aw0)的解集为R还是？，要注意区别.诊断自测1 .思考辨析(在括号内打“或 X ”)(1)ab? ac bc .()(2)若不等式ax2+bx+ c0.()(3)若方程ax2 + bx+ c=0(a0的解集为 R.()不等式ax2+bx+ c00在R上包成立的条件是 20且八=b2 - 4acbc2? a b；反之，c= 0时，ab? / ac2bc2.(3)若方程ax2+ bx+ c=0(a0的解集为?.(4)当a=b=0, c00时，不等式ax2+bx+c00也在R上恒成立.答案 (1)X (2)V (3)X (4)X2 .若 ab0

4、, c d- d ca bC.- c do a b B.d ca bD c d解析 因为cd1,两边同乘一1,得一工 一10,又ab0, c dd c故由不等式的性质可知一a-bc0.两边同乘一1,得3号故选b.答案 BA. (0, 4B.0 , 4)C. -1, 0)D.(-1 , 03 .设集合 M = x|x2 3x 40, N = x|0&x&5,则 MAN 等于()解析 v M = xM 3x-40 = x| 1x4,.MnN = 0, 4).答案 B4 .(2018梧州模拟)不等式一)1的解集是.x十1解析由系1得三x0,解得 x1 或 x1.答案x|x15 .已知函数f(x) =

5、 ax2 + ax1,若对任意实数x,恒有f(x)&0,则实数a的取值范 围是.解析 若a= 0,则f(x)=100恒成立，若a*0,则由题意，得a0, ,2. 一A =a + 4a 0,解得40acbA. c baC.cbaD.acb1 1111(2)(一题多解)若a0;a：1b b；ln a2ln b?.其中正确的不等式是()A.B.C.D.解析 (1)= c- b= 44a+a2= (a-2)20,cb.又 b+c= 6 4a+3a2, . .2b = 2 + 2a2, . .b=a2+1,1213c 力 + 40,. ba,cba.一1 1(2)法一 因为g0,故可取 a=1, b=

6、2. a b显然|a|+b=12= 10,所以错误.综上所述，可排除A, B, D.，1 111法二 由a60，可知 ba0.中，因为 a+ b0,所以0.故有丁不，即正确；a 十 b ab中，因为baa0.故一b|a|,即|a|+b0,故错误；中，因为 ba0,又11 10, a ba b一.11 ,一 、所以a-b-,故正确； ab中，因为baa20,而y =ln x在定义域(0, +00)上为增函数，所以ln b2ln a2,故错误.由以上分析， 知正确.答案(1)A (2)C规律方法1.比较大小常用的方法: (1)作差法；(2)作商法；(3)函数的单调性法.2.判断多个不等式是否成立，

7、常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证;二是用特殊法排除【训练1】（1）（2018赣州、吉安、抚州七校联考）设0一1,则下列不等式成立D. lg(b-a)b3C. ab1一，1门 R2 2_i入一、,一.已知P = a+a, q=之，其中a2, xe R,则p, q的大小关系是（A. pqB. pqC. pqD. p2, 故p = a+-=(a-2) + -+22 + 2 = 4,当且仅当 a = 3 时取等 a 2a 2x22i-2号.因为x22方 2,所以q=3J=2)=4,当且仅当x=0时取等号，所以pq.答案(1)D (2)A考点二一元二次不等式的解法（多维探究）命题角度1不含参的

8、不等式【例21 （2018河北重点八所中学模拟）不等式2x2-x- 30的解集为（A. 1x|- 1x2或x 1，3、,3C. |x|_ 2x1 或x0,得(x+ 1)(2x-3)0,3解得x2或x0的解集为x|x2或x2x ax（a0.当a = 0时，原不等式化为x+ K0,解得x0 - 1.当a0时，原不等式化为x-| (x+1) 1,即 a 2 时，解得一1x2; aa,2当2=1,即a= 2时，解得x= 1满足题意；a当21,即一2a0,解得20x& - 1. aa综上所述，当a = 0时，不等式的解集为x|xw1；当一2a0时，不等式的解集为4 2x-1)；,a当a= 2时，不等式的

9、解集为 1;当a 2时，不等式的解集为1x|-1x a规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较 (相应方程)根的大小，对参 数进行分类讨论:(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论;(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式;其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集 .【训练2】 已知不等式ax2 bx 10的解集是?|2x0的解集是:解析由题意，知1,1是方程ax2bx1=0的两个根，且 a0为x25x+60,解得x3或x02.答案 xk3或x02考

10、点三不等式的包成立问题(多维探究) 命题角度1在R上恒成立【例3-11若一元二次不等式2kx2+kx10对一切实数x都成立，则k的取 O值范围为()A. (-3, 0 B. -3, 0)C. -3, 0D. (-3, 0)解析 一元二次不等式2kx2+kx30对一切实数x都成立，O2k0,则必有= k24X 2kx解之得3k0.答案 D命题角度2在给定区间上包成立【例 3 2】(一题多解)设函数 f(x) = mx2mx 1(mw0),若对于 xC1, 3, f(x) m+5恒成立，则m的取值范围是.解析 要使f(x) m+5在1 , 3上恒成立，故 mW mx+ m60,1 2 3即 m J

11、+m60时，g(x)在1, 3上是增函数,所以 g(x)max=g(3) = 7m60.所以 m7，则 0m7.当m0时，g(x)在1, 3上是减函数，所以g(x)max= g(1) = m60.所以m6,所以m0.r综上所述，m的取值范围是m 0Vm7或m0，又因为 m(x2 x+ 1) 60,所以 mx2_:+1.因为函数y= 2_6+ 1 = 6在1, 3上的最小值为6,所以只需m6即可.x2卜4因为mw0,所以m的取值范围是661，m 0Vm7 或m0 .答案im 0Vm7或m0恒成立，则x的取 值范围为()A. (-oo, 2) U (3, i)B. (-oo, 1)U(2, +3C

12、. (8, 1)U(3, +oo)D. (1, 3)解析 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)=(x 2)a+x2-4x+ 4,则由f(a) 0对于任意的a 1, 1恒成立，所以 f(1) = x25x+60,且 f(1) = x2 3x+ 20 即可，x2-5x+60,解不等式组2 2得x3.x23x+20,答案 C规律方法 1.对于一元二次不等式包成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求 最值.2.解决包成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一

13、般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数【训练3】(1)若不等式x2-2x+5a2-3a对任意实数x包成立，则实数a的取 值范围是()A.-1, 4B. (oo, 2 U 5, +oo)C. ( 00, 1 U 4, + 00)D.-2, 5已知函数f(x) = x2+mx 1,若对于任意xCm, m+1,都有f(x)0成立，则 实数m的取值范围是.解析 (1)由于4 2x+ 5=(x 1)2+4的最小值为4,所以x2 2x+ 5a2 3a对 任意实数x包成立，只需a2-3a4,解彳31a4.(2)二次函数f(x)对于任意x m, m+1,都有f(x)0成立，f (m) =m2+

14、m210,则32J (m+1) = ( m+ 1) +m (m+1) - 10,解得-2mg(x)C. f(x)0? f(x)g(x).答案 B3. (2018河南百校联盟模拟)设2, bCR,则“(a b)a20是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由(ab)a20,推不出ab,如a=0, b = 2, 因为a20, ab,所以(ab)a20, 故(ab)a20”是“ab”的必要不充分条件. 答案 B4. (2018清远一中一模)关于x的不等式ax-b0的解集是()A. (-oo, 1)U(3, i)B. (1, 3)C. (-1, 3

15、)D. (oo, 1)U(3, i)解析 关于x的不等式ax b0即axb的解集是(1, +00),a= b0 可化为(x+1)(x 3)0,解得一1x0恒成立，则b的取值范围是()A. (-1, 0)B. (2, +oo)C. (8, 1)U (2,D.不能确定解析 由f(1x) = f(1+x)知f(x)的图象关于直线x= 1对称，即1,解得a = 2. 又因为f(x)开口向下，所以当xC 1, 1时，f(x)为增函数，所以 f(x)min = f( 1) 1 2+b? b+ 1=b? b 2,f(x)0何成立，即b2b 20何成立，解得b2.答案 C二、填空题x? + 2x, x0 ,6

16、 .已知函数f(x) =3_x2 + 2x XV 0则不等式f(x)3的解集为.解析fx”由题意知2 cc或,、x +2x3x 3,解得x1.故原不等式的解集为xx1.答案 xx17 .(2018郑州调研改编)规定记号表示一种运算，定义aOb=Vab+ a+b(a, b为正实数)，若1Ok23,则k的取值范围是.解析由题意知#2+ 1 + k23,化为(|k|+2)(|k|1)0,所以 |k|1,所以1k1.答案 (一1, 1)8 .不等式(a2)x2 + 2(a 2)x40对一切x R恒成立，则实数a的取值范围是解析 当a 2=0,即a = 2时，不等式即为一40,对一切xCR包成立,当aw

17、 2时，则有a-20,=4 (a-2)2 一， 一、 一2+ 16 (a-2) 0,解得2a0;(2)若不等式f(x)b的解集为(一1, 3),求实数a, b的值.解(1)由题意知 f(1) = 3+a(6a)+6= -a2+6a+30,即 a2-6a-30,解得 3-23a3+2/3.所以不等式的解集为a|3 2/3ab的解集为(一1, 3),方程3x2+a(6 a)x+6b = 0 的两根为一1, 3,/ xa(6 _ a)(-D +3=3,3i/3,(1) X3= 6-b3 ，、b= - 3.3故a的值为3监 b的值为一3.10 .某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100

18、件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加8x成.要求售价不能低于成本价.5设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式v= f(x),并写出定 义域；(2)若再要求该商品一大营业额至少为 10 260元，求x的取值范围.解(1)由题意得，v= 100110 10011+器)因为售价不能低于成本价，所以。110，- 80 0.所以 y = f(x) = 40(10 x)(25 + 4x),定义域为x|0 x10 260,113化简得 8x2-30x+ 1300.解得2&x&.所以x的取值范围是|2, 21能力提升题组(建议用时：20分钟)11. (2018咸阳模拟)已知0a0C. log2a+ 10g2b 2B. 2a b2D. 2a+ b1b a 2解析 由题意知0a1,此时10g2a0, A错误；由已知得0a1, 0Vb1,所以.一一 八、，一一