2019-2020年高考数学总复习基础知识向量与向量的线性运算文

1、2019-2020年高考数学总复习基础知识 第四章 第一节向量与向量的线 性运算文I知里网络口京费加喷运算 的几何意年平面向、数系的r充与襄的引入近三年广东高考中对本章考点考查的情况年份题号赋分所考查的知识点xx35向量的坐标形式、向量平行、参数确定65向量坐标形式的数量积的最大值（与线性规划综 合）xx15复数的乘、除法35向量的坐标运算105向量的夹角（与集合综合）15复数的乘、除法xx35复数的相等、复数的模105向量的三角形法则、平面向量基本定理本章主要包括两个内容： 平面向量、复数的概念与运算.1 .平面向量的复习，主要掌握以下几点：（1）平面向量的相关概念：主要有相等向量、相反向量

2、、零向量、共线向量、向量的模、 两个向量的夹角等，这些概念是向量的基础.(2)平面向量的线性运算：向量的加法运算、减法运算、数乘运算，要注意向量共线的 充要条件的应用.(3)平面向量的基本定理：这个定理是平面向量的核心，有了这个定理，实现了平面向 量的坐标化运算.(4)平面向量的数量积是平面向量的主要公式，利用这个公式，可以求出两个向量的夹 角，判断两个向量的垂直与平行.2 .复数的复习，主要掌握以下几点：3 1)复数的概念：复数的定义，复数的实部、虚部，复数的相等，共轲复数，复数的模.4 2)复数的运算：复数的四则运算中，除法运算是将分母实数化.5 3)复数加减运算的几何意义.预测高考对平面

3、向量的考查仍以小题考查重要知识点，以中、低难度为主；在解答题中，会与三角函数、解三角形、解析几何等结合综合考查向量的应用.对复数的考查，仍会以小题考查复数的概念与四则运算，以容易题为主.1.复习平面向量内容时要注意：(1)向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没 有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.(2)共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它 们是进一步研究向量的基础.(3)向量的加、减、数乘是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一 个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹

4、角，判 断相应的两条直线是否垂直.(4)向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.(5)要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.(6)平面向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和 灵活运用知识的能力.2.对于复数，课标及考纲的要求有以下三点：理解复数的基本概念，理解复数 相等的充要条件，会进行复数代数形式的四则运算.所以在复习中应掌握好以下几个方面：(1)掌握好复数的基本概念和复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件.(2)熟练掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则.在运算过程中要注意复数运算 法则与实数运算法则的区别.第一节向量与向量

5、的线性运算考纲要求_把握考理清脉络 成付于明1 .平面向量的实际背景及基本概念.(1) 了解向量的实际背景.(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示.2 .向量的线性运算.(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.3 3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义.1 飞" r *植理加识 戡跺检洌 存实蠹或知识梳理一、向量的有关概念1 .平面向量.平面内既有大小又有方向的量叫做向量.向量一般用a, b, c,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB.向量动的大小即向量的模(长

6、度)，记作|AB|,向量a的大小，记作|a|.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.2 .零向量.长度为零的向量叫做零向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行.零向量 a=0? |a|=0.由于0的方向是任意的，且规定 0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件(注意“ 0”与“ 0”的区别).3 .单位向量.模为1个单位长度的向量叫做单位向量.向量a0为单位向量？ |a0|= 1.4 .平行向量(共线向量).方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作a/b.由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向

7、量也称为共线向量.数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取， 这里必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.5 .相等向量.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为a =b.二、向量的运算1 .向量的加法.求两个向量和的运算叫做向量的加法.、r设AB=a, BC = b,贝U a+ b= AB + BC= AC.规定：(1)0+a= a+0=a;(2)向量加法满足交换律与结合律.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB+BC+CD + PQ+GR=AR,但

8、这时必须“首尾相连”.2 .向量的减法.(1)相反向量：与a长度相等、方向相反的向量叫做 a的相反向量，记作一a.零向量的相 反向量加是零向量.关于相反向量有：一(一a) = a;a+( a)= ( a) +a= 0;若a, b互为相反向量，则 a= b, b= a, a+ b= 0.(2)向量的减法：向量 a加上b的相反向量叫做 a与b的差，记作ab=a+(b).求 两个向量差的运算叫做向量的减法.(3)作图法：a- b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a, b有共同起点).3 .向量加、减法的“三角形法则”与“平行四边形法则”.(1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向

9、量是始点与已知向量的始 点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量.(2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点 的有向线段就表示这些向量的和，差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时， 用三角形法则.4 .实数与向量的积.(1)实数入与向量a的积是一个向量，记作 后，它的长度与方向规定如下：I同=1恫；当 Q0时，后的方向与a的方向相同；当 K0时，后的方向与a的方向相反；当 入=0时，启=0,方向是任意的.（2）数乘向量满足交换律、结合律与分配律.三、两个向量共线定

10、理向量b与非零向量a共线？有且只有一个实数入，使得b=入a.基础自测1. （xx惠州调研）已知向量a, b,则“a/ b"是"a+b=0”的 条件（）A .充分不必要B.必要不充分C.充要D .既不充分也不必要解析：“a/b”只要求两向量共线，而 “a+b= 0”要求反向共线且*II相等.故选B.答案：B2. （xx增城下学期调研）设“是平行四边形 ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则 OA + OB+OC+OD = （） A.OMB. 2OMC. 3OMD. 4OM解析：在4OAC中，M为AC中点，根据平行四边形法则，有 Oa+OC = 20M ,同理有OD+OB =

11、 2OM,所以 OA+OB+OC + OD=4OM.故选 D.答案：D3.如图,ei, e2为互相垂直的单位向量，则向量 ab可表示为解析：如图所示，a- b= ei- 3e2.A-1产.ei Jiei1LR答案：ei -3e24. (xx江苏南通高三期末考试)AABC中，a, b, c分别是角A, B, C所对的边，且3aBC + 4bCA+5cAB=0,贝U abc=解析：由 3aBC+4bCA-5c(BC + CA) = 0.得 3aBC + 4bCA- 5cBC-5cCA=0.即(3a5c)BC+ (4b-5c)CA = 0.因为BC与CA不共线，所以 3a-5c= 0,且4b-5c=

12、 0.所以 abc= xx12.答案：xx12走近高考模拟测娱巩固提升, 一、 ,_L，、1.如图，正六边形 ABCDEF中，BA+CD + EF = ()解析：BA+CD+EF = CD+ DE+EF = CF.故选 D.答案：D2. （xx四川卷）如图,在平行四边形 ABCD中，对角线AC与BD交于点O, AB+AD=汰0,则.解析：由于ABCD为平行四边形，对角线 AC与BD交于点O, 所以AB+AD=AC = 2AO,所以壮2.答案：21. （xx揭阳模拟）已知点O为 ABC外接圆的圆心，且 OA+Ob+CQ = 0,则4ABC的 内角A等于（）A. 30°B, 60

13、6; C. 90°D, 120°解析：由OA+OB+CO=o得oA+OB = OC,由o为abc外接圆的圆心，结合向量 加法的几何意义知四边形 OACB为菱形，且/ CAO = 60 °,从而 ABC的内角/ A= 30 :故选 A.答案：A2. （xx华南师大附中综合测试）在平行四边形 ABCD中，E, F分别是CD和BC的中点， 若AC = ?Ae+寿,其中 丫e r ,则入十尸.解析：由向量加法的三角形法则得 AC=AD+AB =（Ald!）+（aF bF）=（a!+aF） 一 3 一 心 1 一 心 一 在 1 一（DE +BF）=（AE+AF）-2（AB

14、 + AD）= （AE+ AF）-2AC,所以ac=2（a1+af）,所以正产2+2=4.33 3 3答案：32019-2020年高考数学总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲集合及其运算集合与常用逻辑川语最新考纲1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.基础诊断梳理自测，理解记忆知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)

15、元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号C或 _ ?表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系关系表小文字语百符号语后集合间相等集合A与集合B中的所有元素都相同A= B的基本子集A中任意一个兀素均为B中的兀素A? B关系真子集A中任意一个兀素均为 B中的兀素，且 B中至少有 一个元素不是A中的元素A B空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语百符号语百AU B= x| xC A,或 xC BAn B= x|xC A,且 xC B?uA= x| xC U,且 x?内4.集合的运算性质 并集的性质：AU ?

16、 = A； AU A= A； AU B= Bu A； Au B= A? B? A 交集的性质：An ?=?； An a= a； An b= Bn a； An b= a? a? b 补集的性质：AU (?uA)=U； An (?UA) = ?; ?u(?lA)=A诊断自测1.判断正误(在括号内打或“X”) 精彩PPT展示 (1)若 A=x|y=x2, B=(x, y)|y=x2, C=y| y= x2,贝U A= B=C( x )(2)若x2,1 = 0,1,则 x = 0,1.( x)1(3)已知集合A=x|mx= 1,B= 1,2，且A?B,则实数m= 1或 m万.(x)(4)含有n个元素的

17、集合的子集个数是2n,真子集个数是2n1,非空真子集的个数是2n 2.( V)2. (xx 新课标全国 I 卷 )已知集合 M= x| - 1<x<3 , Nl= x| -2<x< 1,则 MA N =()A. (-2,1)B. ( 1,1)C. (1,3)D. ( -2,3)解析借助数轴求解.由图知:Min ni=( 1,1), 答案 B3. (xx 辽宁卷)已知全集UR,A=x|xw0,B= x| x>1,则集合？u(AuB)=()A. x|x>0B. x|x<1C. x|0<x<1D. x|0 <x< 1解析借助数轴求得：

18、AU B= x|xwo或x>1,.?u(AU B) =x|0<x<1.答案 D4.已知集合A= (x,y)|x, y CR,且x2+y2=1,B=( x,y)|x, yC R,且 y=x,则An b的元素个数为()A. 0B. 1D. 3C. 2解析 集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合 B表示的是直线y=x,据此画出图 象，可得图象有两个交点，即AH B的元素个数为2.答案 C5.（人教 A必修 1P12A10改编）已知集合 A= x|3 < x< 7, B= x|2 vxv 10,则（？rA） n B解析?rA= x|xv3 或 x>7,.1. （?r

19、A） AB= x|2 vx<3 或 7Wxv10.答案x|2 vxv 3 或 7Wxv10考点突破分类讲练，以例求法 瞎需有PPT名师讲解考点一集合的含义【例1】（1）已知集合A= 0,1,2，则集合B=xy|xC A,yCA中元素的个数是（）A.1B.3C.5D.9(2)若集合A= xCR|ax2+ax+ 1 = 0中只有一个元素，则a=()A.4B.2C.0D.0 或 4解析 (1) x y=2, - 1,0,1,2，其元素个数为5.（2）由ax2 + ax+1 = 0只有一个实数解，可得当 a=0时，方程无实数解；当awo时，则 A = a24a=0,解得a=4（a = 0不合题意

20、舍去）.答案（1）C（2）A规律方法（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合.（2）集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大， 特别是含有字母的集合， 在求出字母的值后，要注意检验集 合中的元素是否满足互异性.【训练 1】 已知 aCR, be R,若,a, b, 1 已a2, a+b, 0,则 a2 016+b2 016=.b2解析 由已知得一=0及aw0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a= 1,又根据集合 a中元素的互异性可知 a=1应舍去，因此a= 1,故a2 016+ b2 016 = 1.答

21、案 1考点二集合间的基本关系【例 2】（1）已知集合 A= x| -2<x<7, B= x| m 1<x<2» 1,若 B? A,则实数 m 的取值范围为.（2）设 U= R,集合 A= x|x2+3x+2=0, B= x|x2+（m+ 1）x + m= 0,若（？必 n B= ?,贝 U m=.解析 (1)当B= ?时，有 饰1>2 n-r 1,则nf 2.当Bw?时，若B? A,如图.深度思考(1)你会用这些结论吗?AUB = A? B? A,AAB = A? A? B, (?uA)AB = ?B? A;(2)你考虑到空集了吗？m+1 >- 2

22、,则 2m-K7, 1<2m- 1,解得2<nK 4.综上，m的取值范围是(一8, 4.(2) A= -2, 1,由(？uA) n B= ?，得 B? A,方程 x2+ (1)x+ m= 0 的判别式 A=(m 1)24m=(nv 1)2>0,Bw?.B= 1或B= -2或 B= -1, 2.若 B= - 1,则 m= 1 ；若 B= 2,则应有一(nrF 1) = ( 2) + ( 2) = - 4,且 rn= ( 2) , ( 2) = 4,这两 式不能同时成立，Bw 2;若 B= - 1, 2,则应有一(rr 1) = ( 1) + ( 2) = 3,且 rr (1)

23、( 2) = 2, 由这两式得m= 2.经检验知 m= 1和m= 2符合条件.，m= 1或2.答案 (1)( 8, 4(2)1 或 2规律方法(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端 点间的关系，进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、 Venn图来直观解决这类问题.【训练2】(1)已知集合 A= x|y=ln( x+3) , B= x|x>2,则下列结论正确的是 ()A. A= BB. An B= ?C. A? BD. B? A(2)已知集合 A= x|log 2x<2,

24、 B= x|xva,若 A? B,则实数 a的取值范围是解析 (1) A= x| x>- 3, B= x| x> 2,结合数轴可得:B? A(2)由 log 2x<2,得 0vxW4,即 A= x|0 < x<4,而 B= x| x< a,由于A? B,如图所示，则 a>4.答案(1)D(2)(4 , +8)考点三集合的基本运算【例3】(1)(xx 新课标全国n卷)已知集合A= -2,0,2 , B= x| x2-x-2=0,则 An B=()A. ?B. 2C. 0D. -2(2)(xx江西卷)设全集为R,集合A= x|x29<0,B= x|-

25、1<x<5,则An(?rB)=()A. ( -3,0)B. ( -3, - 1)C. ( -3, - 1D. ( -3,3)解析 (1) B= x| x2-x-2= 0=1,2 , A= -2,0,2, .An B= 2.(2)A= x| x2- 9V 0=x| - 3V x< 3,B= x| - 1 <x<5,?rB= x| xw 1 或 x>5,AC ( ?rE) = x| 3<x<3 A x| x< 1 或 x>5 = x| 3<x< - 1.答案(1)B(2)C规律方法(1) 一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用

26、Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化【训练 3】(1)已知全集 U= 0,1,2,3,4,集合 A= 1,2,3 , B= 2,4,则(？吩 U B 为()A.1,2,4B.2,3,4C.0,2,4D.0,2,3,4(2)(xx 四川卷)已知集合A= x|( x+ 1)( x 2尸0,集合B为整数集，则An B=()A. -1,0B.0,1C.-2, 1,0,1D.-1,0,1,2解析(1)?uA=0,4. (?uA) UB= 0,2,4.(2) .A= x| -1<x

27、<2, B为整数集，.An B= -1,0,1,2.答案(1)C(2)D微型专题集合背景下的新定义问题以集合为背景的新定义问题，集合只是一种表述形式，实质上考查的是考生接受新信息、 理解新情境、解决新问题的数学能力.解决此类问题，要从以下两点入手：（1）正确理解创新定义.分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础.（2）合理利用集合性质.运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集

28、合的运算与性质.一，一一一八.3【例4】（xx 青岛质检）设集合M= x mex<m彳N都是集合0|0 & xwi的子集，如果把 b-a叫作集合x| awxwb的“长度”，那么集合MT N的“长度”的最小值是（）1A.3B.1 C.丘D.512点拨 先理解集合的“长度”，然后求Mn N的“长度”的最小值.m> 0,解析由已知，可得$31即 0w me4；n-1>0,3n<1,3 214-丁石故选173172即§w nw 1,取m的最小值0,n的最大值1,可得M= |0, 4 , N= 3 1:31 21 72 31所以Mn N= |0, 4 n忖，1

29、- 3 4此时集合Mn N的“长度”的最小值为C.答案 C点评本题的难点是理解集合的“长度”，解题时紧扣新定义与基础知识之间的相互联系，把此类问题转化成熟悉的问题进行求解课堂总结 反思归轨陋悟阳思想方法1 .在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解 题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正 确.2 .求集合的子集（真子集）个数问题，需要注意的是：首先，过好转化关，即把图形语枚举法不失为求言转化为符号语言； 其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决, 集合的子集（真子集）个数的好方法，使用时应做到不重不漏.3 .对于集

30、合的运算，常借助数轴、Venn图，这是数形结合思想的又一体现.易错防范1 .集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简.2 .空集不含任何元素，但它是存在的，在利用A? B解题时，若不明确集合 A是否为空12）集时应对集合 A的情况进行分类讨论.如例2（1） “错解1:由解得|2m- K7,m 1 < 2 m-1,3w me4；错解2：由”m 1 >- 2,解得2Vme4,错因都是对集合B= x|1 <x、2m-1<7,<2m-1”认识不清.3. Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数

31、轴 图示法要特别注意端点是实心还是空心.课时作业 分层训练，提升能力A. 1B. 1,2C. 1,1,2D. -1,1 , -2解析. A<= -1,1 , B= 1,2, .AU B= -1,1,2.答案 C4. (xx 山东卷)设集合 A= x| x2 2x< 0 , B= x|1 w xW4,则 AC B=()A. (0,2B. (1,2)C. 1,2)D. (1,4)-2_解析 / A= x| x - 2x< 0 = x|0 < x< 2 , B=x|1WxW4,AA B=x|0vxv2 n x|1 <x<4= x|1 < x<2.

32、答案 C5. (xx 武汉检测)设集合P= x|x>1,Q= x|x2x>0,则下列结论正确的是()A.P? QB.Q?PC.P= QD.PUQ=R解析 由集合Q= x|x2x>0,知Q= *|*<0或*>1,所以P? Q故选A.答案 A6.设集合 A= x|0 <x<3, B= x|xv 1 或 x>2,则 An B=()A. (2,3B. ( -oo, i)u(0,+ 0°)C. ( 1,3D. ( 8, 0) U (2 ,+ 0°)解析借助数轴得：.An B= （2,3.答案 A7 .已知集合 A= x|x2=1, B=

33、 x|ax=1,若B? A,则实数a的取值集合为（）A. 1,0,1B. -1,1C. -1,0D. 0,1i，一 _ r一 ，_1-1解析 因为A=1 , 1,当a=0时，B= ?，适合题意；当aw。时，B= -? A,则一 aa=1或一1,解得a=1或一1,所以实数a的取值集合为 1,0,1.答案 A8 . （xx 长沙模拟）已知集合A=x|x2-3x+2=0,xCF,B= x|0 <x<5, xCN）,则满足条件A? C? B的集合C的个数为（）B. 2A. 1C. 3D. 4解析 A=1,2 ,B= 1,2,3,4, A? C? B,则集合 C可以为：1,2 , 1,2,3

34、 , 1,2,4),1,2,3,4.故选 D.答案 D二、填空题9 .设全集 U= R,集合 A=x|x>0, B= x|x>1,则集合(？心 n A=.解析?uB= x|x<1,(?uB) n A= x|0 <x<1.答案x|0vxw 1 210 .设集合 A= -1,1,3 , B= a+2, a +4 , An B= 3,则实数 a 的值为.解析由题意得 a+2= 3,则 a=1.此时 A= -1,1,3 , B= 3,5 , An B= 3,满足题意.答案 111 . (xx 山东卷改编)已知集合 A B均为全集U= 1,2,3,4 的子集，且？u(AU B) = 4, B= 1,2,则 An ( ?uE) =.解析由题意知 AU B= 1,2,3,又8=1,2 ,?uB= 3,4, .An (?uB)=3.答案312 .集合 A= 0,2 , a, B= 1 , a2,若 AU B= 0,1,2,4,16,则 a 的值为.解析 根据并集的概念，可知a, a2 = 4,16,故只能是a=4.答案 4能力提升题组(建议用时：15分钟)13 . (xx 皖南