相似三角形的判定与性质综合运用经典题型.

1、相似三角形的判定与性质综合运用经典题型考点一：相似三角形的判定与性质：例 1、如图， PCD是等边三角形，A、C、 D、B 在同一直线上，且APB=120°.2例 2、如图 , 在等腰 ABC中, BAC=90° ,AB=AC=1,点 D 是 BC边上的一个动点 ( 不与 B、 C 重合），在AC上取一点 E，使 ADE=45°（ 1）求证： ABD DCE；（2）设 BD=x，AE=y，求 y 关于 x 函数关系式及自变量x 值范围，并求出当x 为何值时AE取得最小值？（3）在 AC上是否存在点E，使得 ADE为等腰三角形？若存在，求 AE 的长；若不存在， 请

2、说明理由？例 3、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE上一点，且 AFE= B： 1）求 证： ADF DEC；2）若AB=4， AD3 3 ,AE=3 ，求 AF 的 长。FADGEBC例 6、已知：如图所示的一张矩形纸片 ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点 A 与点 C重合 , 再展开，折痕 EF 交 AD边于 E，交 BC边于 F，分别连结AF 和 CE（）求证：四边形 AFCE是菱形；（）若 AE=10cm， ABF的面积为 24cm2 ，求 ABF的周长；（）在线段 AC上是否存在一点 P，使得 2AE2 A

3、C·AP？若存在，请说明点 P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由考点三：相似之共线线段的比例问题：例 7、已知如图， P 为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P 的直线与AD、BC、 CD的延长线、 AB的延长线分别相交于点E、F、G、 H.求证：PEPHADFBEC考点二：射影定理：例 4、如图，在 Rt ABC中， ACB=90° ,CD AB于 D，CD=4cm,AD=8cm,求 AC、 BC及 BD的长。1例 5、如图，已知正方形 ABCD， E 是 AB 的中点， F 是 AD上的一点，且AF=4AD， EGCF 于点 G，（1）求证： AEF BC

4、E；2（2）试说明： EG=CG· FG.PFPG例 8、如图，点P 是菱形 ABCD的对角线BD上一点，连接CP 并延长，交 AD 于点 E，交 BA 的延长线于点F（ 1）求证： PC2 =PE?PF；（2）若菱形边长为8，PE=2， EF=6，求FB 的长例 9、如图， CD是 Rt ABC斜边上的高， E 为 AC 的中点， ED交 CB的延长线于 F求证： BD?CF=CD?DF例 15、如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形 .(1) ACF 与 ACG相似吗？说说你的理由.(2)求 1+ 2 的度数.例 10、如图：已知在等边三角形ABC中，点 D、E 分别

5、是 AB、BC延长线上的点，且BD=CE，直线 CD与2AE相交于点 F（ 1）求证： DC=AE；（2）求证： AD=DC?DF考点四：相似三角形的实际应用：例 16、如图， ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在 BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？例 11、如图， E 是矩形 ABCD的边 BC上一点， EF AE，EF 分别交AC， CD（2）若这个矩形的长PQ是宽 PN的 2 倍，则边长是多少？于点 M，F， BG AC，垂足为G，BG交 AE于点 H（1）找出与 ABH相似的三

6、角形，并证明； （ 2）若 E 是 BC中点， BC=2AB， AB=2，求 EM的长例 12、如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、 CG， AE 与 CG例 17、已知左，右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和 CD=12m，两树的根部的距离BD=5m。一个身高相交于点M，CG与 AD相交于点N求证：（ 1）AE=CG；（ 2）AN?DN=CN?MN1.6m 的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点C？例 13、如图，在Rt ABC中， CD是斜边 AB上的高，点M在 CD上， DHBM且与 AC 的延

7、长线交于点E求证：（1） AED CBM；（2）AE?CM=AC?CD例 14、如图， ABC是直角三角形， ACB=90°， CD AB 于 D， E 是 AC 的中点， ED的延长线与 CB的延长线交于点 F（1）求证： FD2=FB?FC；（2）若 G是 BC的中点，连接 GD， GD与 EF 垂直吗？并说明理由例 18、两颗树的高度分别为 AB=6m， CD=8m，两树的根部间的距离 AC=4m，小强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进， 如果小强的眼睛与地面的距离为 1.6m，当小强与树 AB 的距离小于多少时， 就不能看到树 CD的树顶 D？例 23、如图，在ABC中， B

8、=90°， AB=6 米， BC=8米，动点 P 以 2 米/ 秒的速度从A 点出发，沿AC例 19、小亮想利用太阳光下的影子测量校园内一棵大树的高，小亮发现因大树靠近学校围墙，大树的向点 C 移动同时，动点Q 以 1 米/ 秒的速度从C 点出发，沿CB向点 B 移动当其中有一点到达终点影子不全落在地面上，如图所示，经测量，墙上影高CD=1.5m，地面影长BC=10m时，它们都停止移动设移动的时间为t 秒若此时 1 米高的标杆的影长恰好为2m请你求出这棵大树AB的高度（1）当 t=2.5秒时，求 CPQ的面积；求CPQ的面积 S（平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；（ 2）在 P

9、，Q 移动的过程中，当CPQ为等腰三角形时，写出t 的值。例 20、如图，九年级的数学活动课上，小明发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD和地面 BC上，量得 CD=8米， BC=20米， CD与地面成 30°角，且此时测得1 米杆的影长为2例 24、如图所示，在ABC中， BA=BC=20cm，AC=30cm，点 P从米，求电线杆的高度A 点出发，沿着AB 以每秒 4cm的速度向B 点运动；同时点Q从 C点出发，沿CA以每秒 3cm 的速度向 A点运动，设运动时间为x（ 1）当 x 为何值时， PQ BC；（ 2）当 S BCQ:S ABC=1:3，求 S BPQ:S ABC 的

10、值；（ 3）APQ能否与 CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由例 21、如图，有一路灯杆 AB（底部 B 不能直接到达） ，在灯光下， 小明在点 D 处测得自己的影长 DF=3m，沿 BD方向到达点 F 处再测得自己得影长 FG=4m，如果小明的身高为 1.6m，求路灯杆 AB的高度考点五：相似三角形中的动点问题：例 22、在矩形 ABCD中， AB=12cm， AD=6cm，点 P 沿 AB边从点 A 开始向点 B 以 2cm/秒的速度移动，点Q沿 DA边从点 D 开始向点A 以 1cm/ 秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t （秒）表示运动时间（0t 6），那么当 t 为何

11、值时， APQ与 ABD相似？说明理由例 25、如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、 B 的坐标为（ 6， 0），（ 6，8）动点 M、N分别从 O、 B 同时出发，都以每秒1 个单位的速度运动，其中，点M沿 OA向终点 A 运动，点N 沿 BC向终点 C 运动，过点N作 NPBC，交 AC于点 P，连接 MP，已知动点运动了x 秒（ 1）用含 x 的代数式表示 P 的坐标（直接写出答案） ；（ 2）设 y=S 四边形 OMPC，求 y 的最小值，并求此时 x 的值；（3）是否存在 x 的值，使以 P、 A、M为顶点的三角形与 AOC相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由例 26、如图，正方形ABCD的边长为4，E 是 BC边的中点，点P 在射线 AD上，过 P 作 PFAE 于 F（ 1）求证： PFA ABE；（ 2）当点 P 在射线 AD上运动时，设 PA=x，是否存在实数 x，使以 P、F、E 为顶点的三角形也与 ABE相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由例 27、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt AOB的两条直角边OA、 OB分别在y 轴和x 轴上，并且OA、 OB的长分别是方程x 2 7x+12=0 的两根（OAOB），动点P 从点A 开始