1994考研数学三真题及解析

1、、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.)(2)已知f(x)f(X0 2x) f(X0 x)设方程exycos x确定y为x的函数,贝U dx(4)a?M，其中 a 0,i 1,2,L,n,则 A1an设随机变量an0X的概率密度为f(x)2x,0,0x1,其他，以Y表示对X的三次独立重复观察中事件1,1一一X 1出现的次数，则P Y 22曲线y1x21xex arctan2 x 1 »x-的渐近线有()(x1)(x 2)(A) 1 条(B) 2条(C) 3条 (D) 4(2)设常数0,而级数na；收敛，则级数 (1n 1(A) 发散(B)条件收敛(C)

2、绝对收敛(D)、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)条()收敛性与有关(3)设A是m n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r,矩阵B AC的秩为r1，则,只有一项符(A) rr1(B)()rr1(C) rr.(D)r与r1的关系由C而定(4)设 0 P(A) 1,0 P(B) 1,P(A B) P(A(A)事件A和B互不相容 (C)事件A和B互不独立(B)(D)B) 1,则事彳A和B相互对立 事彳A和B相互独立(5)设Xi,X2,L ,Xn是来自正态总体N(,2)的简单随机样本,x是样本均值，记则服从自由度为n(

3、A) tXS1.n 1(C) tXS3,n三、(本题满分6分)计算二重积分(xD四、(本题满分5分)设函数y五、(本题满分n(Xii 1n(Xi i 1X)2,)2,1的t分布的随机变量是(B)(D)y)dxdy,其中 Dy(x)满足条件5分)已知 f (x, y) x2 arctan x六、(本题满分5分)设函数f(x)可导，且f(0)七、(本题满分8分)已知曲线y a x(a(x,y)y 4y 4yy(0) 2,y(0)1 n(Xin i 1X)2,0,4,2.xy arctan ,求 yx n0,F(x)0tn(Xi i 1XS2 n 1XS4.n求广义积分2f1 nf (x)2,y(

4、x)dx .tn)dt,求 lim Fx) x 0 x2n0)与曲线ylnjx在点(x0, y0)处有公共切线，求:(1)常数a及切点(x0, y0)；(2)两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积Vx.八、(本题满分6分)假设f (x)在a,)上连续，f (x)在a,内存在且大于零，记f (x) f(a)/、F (x) - (x a)x a证明F(x)在a,内单调增加九、(本题满分11分) 设线性方程组Xia#22a1 X33 a1,23Xia?X2a2X3a2,23Xi23X2a3X3a3,23x1a4x2a4x3a4.(1)证明：若ai,a2,a3,a4两两不相等，则此线性方

5、程组无解;(2)设aia3k,a2a,k(k 0),且已知i, 2是该方程组的两个解11i 1 , 21 ,11写出此方程组的通解.十、(本题满分8分)0 0 1设A x 1 y有三个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件.1 0 0十一、(本题满分8分)假设随机变量 Xi,X2, X3,X4相互独立，且同分布P Xi 00.6,P Xi 10.4(i 1,2,3,4),XiX2求行列式x的概率分布.X3 X4十二、（本题满分8分）假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布 N（ ,1），内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损.

6、已知销 售利润T （单位：元）与销售零件的内径 X有如下关系：1,X10,T20,10X12,5,X12.问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.)【答案】ln3【解析】利用被积函数的奇偶性，当积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数时，积分为0；被积函数为偶函数时，可以化为二倍的半区间上的积分.所以知一，、2 x原式 2dx22 x22dxX .-2 dx x六2dX2(2)_2ln (2 x )ln 6ln 2ln3.【解析】根据导数的定义，有f (%) lim所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式f (XooX) f (Xo)x,从

7、而求得极限值.由于f (Xo 2x)f (Xo x)lXmoxf(Xo 2x) f(Xo) f(XoX)f(Xo)所以 原式limx oxf(Xo 2x) f(Xo)2xf (Xo 2x)f (Xo x)f (Xo X) f (Xo)2f (Xo) f (Xo) 1.一 xy 一 _【答案】yye sin xxexy 2 y【解析】将方程exy y2 cos x看成关于x的恒等式，即y看作x的函数. 方程两边对x求导，得eXy(y xy ) 2yy sin x y【相关知识点】两函数乘积的求导公式:f(x) g(x)_xyye sin xxexy 2yf (x) g(x) f(x) g (x)

8、.anai(4)【答案】0a?Man 1【解析】由分块矩阵求逆的运算性质a1a2a2所以，本题对A分块后可得、9【答案】64【解析】已知随机变量ananana2Man 1X的概率密度，所以概率P122xdx0求得二项分1布的概率参数后，故Y B(3,-),由二项分布的概率计算公式，所求概率为P Y 2C2964【相关知识点】二项分布的概率计算公式:k 0,1,L ,n,若 Y B(n, p),则 PY kC：pk(1 p)n k二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.)【答案】(B)【解析】本题是关于求渐近线的问题 .5 .X2 X 1由于lim ex arctanx(x 1)(x

9、2)1X2lim exX 0故y 为该曲线的一条水平渐近线 4x2 x 1arctan(x 1)(x 2)故x 0为该曲线的一条垂直渐近线 故本题应选(B).【相关知识点】水平渐近线：若有,所以该曲线的渐近线有两条.lim f (x) a ,则y a为水平渐近线;x铅直渐近线：若有lim f (x)x a，则x a为铅直渐近线;f(x).斜渐近线：右有a lim ,b lim f (x) ax存在且不为，则y ax b为斜渐x x x近线.(2)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因(1)n|ad 1 2 111 21；n2 I 2an2k 2an 汨，199(第一个不等式是由a 0,

10、b 0,ab -(a2 b2)得到的.)一 2 一， 1又 a；收敛，一2收敛,(此为p级数:n1n12n1 ,F当p 1时收敛；当p 1时发散.)n 1 np所以1an2n 1212n2收敛，由比较判别法，得(1)n|an|收敛.故原级数绝对收敛，因此选(C).【答案】(C)【解析】由公式r(AB) min(r(A), r(B),若A可逆，则r(AB) r(B) r(EB) rA 1(AB) r(AB).从而r(AB) r(B),即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩，所以选(C).(4)【答案】(D)【解析】事实上，当0 P(B) 1时，P(A|B) P(A|B)是事件A与B独立的充分必要条件

11、，证明如下:P(AB)PWP(AB)若 P(A|B) P(A|B),则P(AB) , P(AB) P(B)P(AB) P(B)P(AB), 1 P(B)P(B) P(AB) P(AB) P(B)P(A),由独立的定义，即得A与B相互独立.若A与B相互独立，直接应用乘法公式可以证明P(A| B) P(A| B).P(A| B) 1 P(A| B) P(A|B).由于事件B的发生与否不影响事件A发生的概率，直观上可以判断 A和B相互独立.所以本题选【答案】(D).(B)由于Xi,X2,L ,Xn均服从正态分布 N(,2),根据抽样分布知识与t分布的应用模式可知X :N(0,1),其中Xn(Xi i

12、 1X)22(n1)， : t(n 1).1 n - 2 ,(Xi X)2 n 1 i 1n(n 1) i 12(Xi X)XS2 n 1因为t分布的典型模式是：设X: N(0,1), Y：2(n),且X ,Y相互独立，则随机变量xT服从自由度为. Y/nn的t分布，记作T : t(n).因此应选(B).三、(本题满分6分)【解析】方法1 ：由x22、一y x y 1,配完全万得人 11令 x r cos , y 22r sin ，引入极坐标系(r,(r, )02 ,0 r(xDy)dxdy32(1r cos r sin)rdr方法2:由x21，配完全方得引入坐标轴平移变换:1x 2,vDi2

13、0 (cossin21 x2sincos)d21 y 21f 、，y -,则在新的直角坐标系中区域D变为圆域2(u,v)|u2dudv,代入即得由于区域同理可得(xDy)dxdyDi(x(u v 1)dudvv轴对称，被积函数vdudv 0,又D1y)dxdyD1ududv vdudv dudv .D1D1u是奇函数，从而 ududv 0.D1dudv D1D1四、(本题满分5分)【解析】先解出 y(x),此方程为常系数二阶线性齐次方程，用特征方程法求解.方程y 4y 4y 0的特征方程为 2 44 0,解得122.故原方程的通解为y (C1 C2x)e2x由初始条件 y(0) 2, y (0

14、)4得C1 2,C2 0,因此，微分方程的特解为2xy 2e再求积分即得° y( x) dx 0 2e 2xdxb 2xlim e d 2xb 0bim2xeb1.0【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程py qy 0 ：首先写出方程y pyqy 0的特征方程:pr0,在复数域内解出两个特征*H r1,r2 ；分三种情况:(i)两个不相等的实数根Jr2,则通解为yr2xC2e2 ;(2)两个相等的实数根ri口，则通解为yCiC?x erx1;(3) 一对共轲复根口,2i ,则通解为yC1 cos x C2 sin x .其中Ci,C2为常数.五、(本题满分5分)【解析】

15、由复合函数求导法,首先求,由题设可得2xarctan xx2x2y2121/yy再对y求偏导数即得cy2xarctan 一 xcy2xarctan y . x2f2x2x222x y22 .x y【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(x, y), v (x, y)都在点(x, y)具(u,v)具有连续偏导数，则复合函数有对x及对y的偏导数，函数z f (u,v)在对应点z f ( (x, y), (x, y)在点(x, y)的两个偏导数存在，且有六、（本题满分5分）【解析】运用换元法tnu,则F(x)n 1 nt f (xtn)dtxnf (u)du F (x)n 1 n、x f (x

16、 ).由于limx 0法则，可得F(x)2nx9 ”型的极限未定式0，又分子分母在点 0处导数都存在，运用洛必达由导数的定义，有xm0原式F(x)2nxF (x) lim 于 x 02nx 11lim2n x 0f(xn)limn 1 n、x f(x )c 2n 12nxlim2n x 0f(xn) f(0)1Elzxzuzvf1-uxf2 -v xuxvxzzuzvf1uf2vyuyvyyy【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式:若 F(t)（t） 一"，均一阶可导，则F (t)(t) f (t)(t) f(t).七、（本题满分8分）【解析】利用（xo,yo）在两条曲线上及两曲线

17、在 （xo,yo）处切线斜率相等列出三个方程 ，由此,可求出a,x0,y0,然后利用旋转体体积公式f 2(x)dx求出 Vx.y k（x x°），其中，当y（%）存在时，（1）过曲线上已知点（x°, y0）的切线方程为y k y (Xo).由ya Jx知y产.由y ln Vx知2 . x由于两曲线在（X0,y0）处有公共切线，可见一 二一，得Xo2Jx0 2x011将Xo分别代入两曲线方程a于是从而切点为(e2,1).(2)将曲线表成y是x的函数，V是两个旋转体的体积之差,套用旋转体体积公式，可得旋转体体积为Vx(1Vx)2dxe21(ln、x)2dx2e 2一 ln xd

18、x4 1/.2e- x ln x24e2e22 ln xdx1【相关知识点】由连续曲线y f(x)、直线x a,xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为:f 2(x)dx.八、(本题满分6分)【解析】方法1:所以方法F (x)f (x)(xa)f(x) f(a)2 af (x)(x a) f(x) f(a),(x)(x)(x)在F (x)f (x)(x a)f (x)(x a)f (x) f (a)(xf (x) f(x)a),(xa)f(x) 0( x a),a, 上单调上升，于(x)0.F(x)在 a,内单调增加.2： F (x)f (x)(x a) f (x)f(a)由

19、拉格朗日中值定理知于是有f (x)f(x) f(a)3 f(),(ax).x a1.F (x)f (x) f () x a由 f (x) 0知 f (x)在 a,上单调增，从而f (x) f (),故F (x) 0.于是F(x)在a,内单调增加【相关知识点】1.分式求导数公式:u v uv2v2.拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足在闭区间a,b上连续；在开区间a,b内可导,那么在 a,b内至少有一点 (ab),使等式 f (b) f (a) f ( )(b a)成立.九、(本题满分11分)【解析】(1)因为增广矩阵 A的行列式是范德蒙行列式，a1,a2,a3,a4两两不相等，则有(a2 a

20、1)(a3 a1)(a4al。a2)(a4a2)(a4a3)0,故 r(A) 4 .而系数矩阵 A的秩r(A) 3 ,所以方程组无解(2)当a1 a3 k,a2 a4k(k 0)时，方程组同解于x1 kx2 k2x3 k3, x1 kx2 k2x3k3.一 .1 k,一因为2k 0,知 r(A) r(A) 2.1 k由 n r(A) 3 21 ,知导出组Ax 0的基础解系含有1个解向量，即解空间的维数为1.由解的结构和解的性质，11212110是Ax 0的基础解系11212于是方程组的通解为1 k1 k 0 ，其中k为任意常数12【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是m n矩

21、阵，线性方程组 Ax b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AAM)的秩，即r(A) r(A).(或者说，b可由A的列向量1, 2,L , n线表出，亦等同于1, 2,L , n与1, 2,L , n,b是等价向量组)设A是m n矩阵，线性方程组Ax b,则(1)有唯一解r(A)r(A) n.(2)有无穷多解r(A)r(A) n.(3)无解r(A)1 r(A).b不能由A的列向量1, 2,L , n线表出.2 .解的结构：若12是对应齐次线性方程组 Ax 0的基础解系，知Ax b的通解形式为ki ik2 2，其中i, 2是Ax 0的基础解系，是Ax b的一个特解.3 .解的性质：如果 1, 2是Ax 0的两个解，则其线性组合 ki i k2 2仍是Ax 0的解；如果 是Ax b的一个解，是Ax 0的一个解，则仍是Ax b的解.十、(本题满分8分)【解析】由 A的特征方程，按照第二列展开，有0112x 1y ( i) .(1)( i) 0,i10得到A的特征值为12 1, 31.由题设有三个线性无关的特征向量，因此,1必有两个线性无关的