双曲线的定义、方程和性质

1、双曲线的定义、方程和性质执教：钱如平 班级：高二(3) 地点：本教室 时间：200046一、 学习目标：掌握双曲线的定义、方程和性质，注意与椭圆的区别和联系。二、 知识要点：1 定义（1）第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。说明：|PF1|-|PF2|=2a（2a|F1F2|时无轨迹。设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在双曲线的左支上，则|MF1|1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。2 双曲线的方程及几何性质标准方程图形焦点F1（-c

2、，0），F2（c，0）F1（0，-c），F2（0，c）顶点A1（a，0），A2（-a，0） A1（0，a），A2（0，-a）对称轴实轴2a，虚轴2b，实轴在x轴上，c2=a2+b2实轴2a，虚轴2b，实轴在y轴上，c2=a2+b2离心率准线方程准线间距离为准线间距离为渐近线方程3 几个概念（1） 等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=x，离心率为。（2） 共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例：的共轴双曲线是。 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线；双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同

3、一个圆周上。三、 解题方法指导： 例1设双曲线方程为，则中心坐标为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ，渐近线方程 ，对称轴方程为 ，实轴方程为 ，共轴双曲线方程为 。 解：中心（0，0），焦点坐标（ ，0），顶点坐标（ ，0），实轴长为，虚轴长为2，离心率为，准线方程为，准线间距离为，渐近线方程为，对称轴方程x=0，y=0，实轴方程y=0，（），共轴双曲线，即。 说明：根据双曲线的方程熟练地写出其性质，是学习双曲线基本要求，也是一项重要基本功，对知识要点中的性质部分要熟记。 例2设曲线C的方程为Ax2+By2=|（AB0），则 C表示椭圆的充要条件

4、是 C表示焦点在X轴上的椭圆的充要条件是 C表示焦点在Y轴上的椭圆的充要条件是 C表示双曲线的充要条件是 C表示焦点在X轴上的双曲线的充要条件是 C表示焦点在Y轴上的双曲线的充要条件是 C表示圆的充要条件是 解：C的方程可化为 则C表示椭圆的充要条件是，即， BA0， AB0， AB0， A0，B0， A0，B0， AB0， 说明：方程Ax2+By2=1，可表示圆、椭圆、双曲线，而圆、椭圆、双曲线是有心曲线，故Ax2+By2=1表示有心曲线。例3求以2x3y=0为渐近线，且经过点（1，2）的双曲线方程 解法一，当x=1时，代入渐近线方程，得。 点（1，2）一定在2x-3y=0的上方， 双曲线的

5、实轴所在的坐标轴一定是y轴可设方程为，其渐近线方程为 又 （1，2）在双曲线上， 代入 所求双曲线方程为 解法二：方程4x2-9y2=，是所有渐近线方程为的双曲线系方程，即共渐近线方程，因为（1，2）点适合此方程 4-36=， =-32 方程为4x2-9y2=-32，即说明：双曲线是具有渐近线的曲线，学习时要注意如下两个问题（1） 已知双曲线方程，求出它的渐近线方程。（2） 求已知渐近线的双曲线方程；已知渐近线方程为时，可设双曲线方程为a2x2-b2y2=，再利用其它条件确定入的值，这求法实质上是待定系数法。 例4设动点P（x，y）到定点A（5，0）的距离与它到定直线X=3的距离之比为，求其轨

6、迹方程。 错解：根据双曲线的第二定义A（5，0）为焦点，C=5，又 a2=15 b2=c2-a2=25-15=10 P点的轨迹方程为双曲线 而此双曲线的离心率应为 所以双曲线的中心不在坐标原点。 正确解答：由动点运动的条件可得： 化简后得：2x2- y2-8x+2=0 说明：错解错误地按曲线中心为原点得出焦点从标F（C，0）和准线方程为的结论， 四、练习题（一） 选择题 1双曲线的离心率e为（ ）A、 B、 C、 D、 2已知双曲线以椭圆的焦点为焦点，且它的离心率为2，则该双曲线的方程。 A、 B、 C、 D、 3双曲线的渐近线方程为，则它的离心率e为（ ） A、 B、 C、或 D、（二） 填

7、空题 4与双曲线有共同的渐近线，且经过点（）的双曲线方程 5双曲线的渐近线方程是 6双曲线的两焦点为F1、F2，此双曲线上一点P到F1的距离为12，则点P到F2的距离 7双曲线上有一点P到左准线的距离4.5，则点P到右焦点的距离为 8以椭圆x2+4y2=64的焦点为顶点，一条渐近线方程为的，双曲线方程 （三） 解答题： 给定双曲线，过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在说明理由。参考答案（一） 选择题 （1）A （2）B （3）C（二） 填空题 （4） （5） （6）22或者2 （7）13.5 (8)（三） 解答题 解：假设所求的直线m存在，其方程为