有理数知识总结有用

1、冀教版有理数复习一、学习目标：理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类； 理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算； 通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算； 通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。二、重点难点：有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等 , 有理数的运算； 有理数运算法则尤其是加法法则的理解； 有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便 运算。三、学习策略：先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从 而达到内容系统化和应用的灵活性。五、

2、知识梳理1、知识点一：有理数的概念（一）有理数：1）整数与分数统称 按定义分类： 有理数按符号分类：有理数 零注：正数和零统称为 ；负数和零统称为 正整数和零统称为；负整数和零统称为 .（2）认识正数与负数： 正数：像 1， 17 ， 2008等大于 的数，叫做 .5 负数：像 -1 ，- 17 ， -2008 等在正数前面加上“”（读作负）号的数，叫 注意 ：5都大于零， 都小于零 . “0”即不是 ，也不是 .（3）用正数、负数表示相反意义的量：如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其 意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其 意义的量 .如：若-5 米表示向东走 5 米，则+3

3、米表示向 走 3 米； 若 +6 米表示上升 6 米，则 -2 米表示 ； +7oC 表示零上 7oC ， - 7oC 则表示4）有理数“ 0”的作用：作用举例表示数的性质0 是自然数、是有理数、是整数表示没有3 个苹果用 +3 表示，没有苹果用 0 表示表示某种状态00C表示冰点表示正数与负数的界点0 非正非负，是一个中性数（二）数轴（1）概念：规定了 、和 的直线注： 、称为数轴的三要素，三者缺一不可 . 单位长度和长度单位是两个不同的概念， 前者指所取度量单位的 ，后者指所取度量单位的 ， 即是一条 人为规定的代表“1' 的线段，这条 线段 ，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长

4、度一旦确定，则不能再改变 .（2）数轴的画法及常见错误分析 画一条水平的 ； 在这条直线上适当位置取一实心点作为 ： 确定向右的方向为 ，用 表示； 选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的数轴画法的常见错误举例：一切有理数都可以用数轴上的 表示出来 . 在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点 所对应的数 ，正数都大于 ，负数都小于 ，正数大于一切负数 . 注意 ：数轴上的点不都是有理数，如 .（三）相反数（ 1 ）相反数：只有 的两个数互称为相反数特别地， 0 的相反数是；若 a与 b互为相反数 ，则 a b _ _ _ ，反之亦然 .（2）相反数的性质

5、： 代数意义：只有 的两个数叫做互为相反数，特别地， O 的相反数是 0相反数必 须 出现，不能单独存在例如 +5 和 互为相反数，或者说 +5 是 的相反数， 5 是 的相反数， 而单独的一个数不能说是 另外，定义中的“只有”指除 以外，两个数，注意应与“只要符号不同”区分开例如 +3 与 3互为相反数，而 +3与 2虽然不同，但它们不是相反数几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于两侧，并且到原点的相等这两点是关于对称的数是求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可一般地，数 a 的相反；这里以 a 表示任意一个数，可以为、负数，也可以是任意一个代数式注意 a 不一 定是注意：

6、当a> 0时， a 0（正数的相反数是数）；a=0时， a O(0的相反数是）；a< 0 时， a O (负数的相反数是 ）互为相反数的两个数的和为，即若 a与 b 互为，则 a+b=0，反之，若 a+b=O，则 a与 b 互为 多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部；一个正数前面有个“”号，也可以把“”号全部去掉；一个正数前面有个“”号，则化简后只保留一个“”号，即“正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的，“负正”是指化简的最后结果的四）绝对值1）绝对值的代数意义及几何意义 绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的0 的绝对值是

7、绝对值的几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数a的的距离 . 数 a的绝对值记作注意 ：取绝对值也是一种，这个符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性绝对值符号绝对值具有性，取绝对值的结果总是 任何一个有理数都是由 部分组成： 和它的，如： 5 ，符号是 ，绝对值是 .（ 2）字母 a 的绝对值的分类,(a o),(a 0)或 a,(a 0),(a,(a0)或0),(a 0),(a 0)（3）利用绝对值比较两个负有理数的大小 规则：两个负数，绝对值大的反而 . 步骤：计算两个负数的 . 比较这两个 的大小 . 写出正确的判断结果 . 如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为

8、.例如：若 a b c 0,则a , b ,c 2、知识点二：有理数运算一）有理数比较大小1）数轴上的数，右边的数总左边的数2）正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数；3）两个负数，绝对值大的反而4）两数比较大小，可按符号情况分类：同正：两数同号同同负正：大_ 的数大 大_ 的反而小 _大于_ _大于0_小于0比较大小 两数异号（一正一负）：正数与0：_其中有0时负数与0：_二）有理数的加减法1）有理数加法法则 同号两数相加，取相同的 ，并把绝对值 . 绝对值不相等的异号两数相加， 取 的加数的符号， 并用较大的 减 去较小的 . 一个数同 0 相加，仍得 .（2）有理数加法的运算步骤 法则

9、是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： 确定和的 ；求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的 .（3）有理数加法的运算律 两个加数相加，交换加数的位置，不变 . 即 a+b=b+a（ 加法律） 三个数相加， 先把前两个数相加， 或者先把后两个数相加， 不变 . 即 （a+b）+c=a+（b+c） （加法 律）（4）有理数加法的运算技巧 分数与小数均有时，应先化为 形式 . 带分数可分为 与 两部分参与运算 . 多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合 得 若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合 . 若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起 . 相同的

10、数可以先结合在一起 .（5）有理数减法法则减去一个数，等于 ，即 a-b=a+（ ）（6）有理数减法的运算步骤 把减号变为加号（改变运算符号） 把减数变为它的相反数（改变性质符号） 把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算 .（7）有理数加减混合运算的步骤把算式中的减法转化为加法；省略加号与括号；利用运算律及技巧简便计算，求出结果 .根据有理数减法法则，减去一个数等于加上 ，因此加减混合运算可以依据上述法则转 变为只有 的运算，即变为求几个正数，负数和 0 的和，这个和称为代数和 . 为了书写简便， 可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：（+3）+（） +（-9）

11、+（+5）+（-11）=+5-11 ，它的含义是正 3，负，负 9，正 5，负 11的和。 （三）有理数的乘除法（1）有理数乘法法则两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把相乘. 任何数同相乘，都得0.（2）有理数乘法的运算律两个数相乘，交换因数的位置，积相等 .即 ab= （乘法结合律）三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等 .即 abc= （乘法结合律） 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 . 即 a（b+c）=（乘法分配律）（3）有理数乘法法则的推广几个不等于 0 的数相乘，积的符号由 的个数决定，当 的个数是偶数时，积的个数是奇数时，积为

12、.几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为.在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为 ，便于约分；若有小数及分数，一般先将 小数化为 ，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算 .（ 4）有 理数除法 法则： 除以一 个不等 于 0 的数， 等于乘 这个数 的。 即a÷b=a·（b 0）两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ， 除以任何一个 不等于 0 的数，都得 0.（5）倒数及有理数除法乘积为 的两个数互为倒数。倒数是出现的，单独一个数不能称为倒数； 互为倒数的两个数的乘积一定 ；没有倒数；求一个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母 即可（正整数可以看作分母为

13、 1 的分数）。注意： a,b互为倒数，则 ab _； a,b互为负倒数，则 ab 。反之亦然 .有理数除法的运算步骤：首先确定商的 ，然后再求出商的绝对值 .（四）有理数的乘方（1）概念：求 n 个相同因数的积的运算，叫做， 的结果叫做 ，在 an中， a叫做， n叫做.（ 2）含义： an中， a 为底数， n 为指数，即表示 a的个数， an 表示有相乘.例如： 35表示 3×3×3×3×3，（-3） 5表示（ -3 ）×（ -3 ）×（ -3 ）×（ -3 ）×（ -3 ），特别注意 负数及分数的乘方，应把

14、底数加上括号 . 如（-2） 7表示相乘，而 -2 7则表示 7个 2相乘的积的 。当 n 为奇数时， （-a） n = ；而当 n 为偶数时， （-a） n = . 注意： 负数的奇次幂是 ，负数的 幂是正数。正数的任何次幂都是， 0 的任何次幂都是 ，任何不为 0 的数的 0 次幂都是 .（3）“奇负偶正”口诀的应用 口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点： 多重负号的化简，这里奇偶指的是“”号的个数，例如：（ 3）=，+（ 3）=.有理数乘法， 当多个非零因数相乘时， 这里奇偶指的是负因数的个数， 正负指结果中积的符号， 例如：（ 3）×（ 2）

15、5;（ 6） =，而（ 3）×（ 2）×6=. 有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为 ；指数 为偶数，则幂为，例如：（ 3） 2=，（3） 3=.（4）有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行； 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 . 加减法为一级运算，乘 除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算 . 同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级 运算，应先算级运算，然后 级，最后 级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时， 应先算 _括号里的， 再算括号里的， 最后算 括号里的

16、. 以上运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）到低（级） ，从小（括号）到大（括号）”.六、经典例题1、类型一：正数与负数的意义 例 1 一个物体沿着东西两个相反方向运动，如果把向东的方向规定为正，那么走6km，走，走 0km的意义各是什么？思路点拨： 正数与负数可表示具有相反意义的量， 正数表示向东运动， 则负数表示 运动 .0 表示原地不动， 0 表示正数与的分界，在实际问题中也有确定的意义 .解析：总结：举一反三：【变式 1】博然的父母 6 月份共收入 4800 元，可以将这笔收入记作 +4800 元；由于天气炎热，博然家 用其中的 1600 元钱买了一台空调，又该怎样记录这笔支出呢

17、 ?解析：【变式 2】某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：10、 5、0、 8、3，又知记为 0的实际成绩表示 90 分，正数表示超过 90 分，则这五位同学的平均成绩为多少分？解析：2、类型二：有理数的分类15例 2把下列各数填入相应的括号内： +6，-1 ，0，97， 2 .46；整数集合：非负集合：；分数集合：；负数集合： .思路点拨： 根据有理数的分类标准 ， 将所给数进行分类填整数集合时，不能漏掉“”；填集合时，最后要加“”，“非负数”不要仅理解为正数，既不是正数，也不是负数，属于“非负”范围内的数；负数包括 和 .解析：举一反三：【变式】 ( 1 )最小的正整数是：最大的负整数是

18、 ；最小的整数是 ；最小的正数是 ；最大的负数是 ；最小的有理 数 ；绝对值最小的有理数是 。( 2)一个数的相反数等于它本身，这个数是；一个数的绝对值等于它本身，这个数是 ；一个数的绝对值等于它的相反数，这个数是 ；一个数的倒数等于它 本身，这个数是 ；一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方等 于它的绝对值，这个数是 ；一个数的平方等于它的相反数，这个数是 ； 个数的立方等于它本身，这个数是 。解析：3、类型三：多重符号的化简例 3 、化简下列各数：11(1) ( 3 ) (2) ( 4 ) (3) ( 5) (4) ( 2)25思路点拨： 多重符号的化简是由“ ”的个数来定，若“

19、 - ”个数是 个时，化简结果为正； 若 “- ”个数是奇数个时，化简结果为。解析：举一反三：4【变式 1】 ( ) 5【变式 2】说出下列各式的意义，然后化简：(1)-(-3) (2)+-(+5)(3)- -(-6) (共 n 个负号)4、类型四：有理数的大小比较例 4在数轴上画出表示下列各数的点，并用“ < ”连接起来；133, 4,1112, 22,10, 1 ,4思路点拨 ：首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数 轴上的位置顺序比较大小，再用“ < ”连接起来 解析： 举一反三：【变式】利用绝对值比较下列有理数的大小用>、<

20、;号连接 .2 3 4（1）， -60（ 2） , ,345思路点拨： 比较负数的大小，先求出各数的 ，关键是比较绝对值的大小，绝对值大的反 而 ，比较分数大小，一般要化成同 的分数来比较 .解析5、类型五：绝对值的概念例 5若 a 3 +|2b+5|=0, 计算 2a-b 的值 .思路点拨 ：从表面看条件比较复杂，但根据绝对值的非负性，可求出 a,b 值。 解析：举一反三：【变式 1】若 a b ，化简： b a 1 a b 5 .解析： 【变式 2】代数式 |x 2| |x 3| 的最小值为解析：【变式 3】a，b 在数轴上的位置如图1）化简： |a b|b 1| 2)比较大小： a 1

21、0； a b a b。解析：5、类型六：相反数，倒数的概念例 6已知 a、b 互为倒数， c、d 互为相反数， e 0且 |e| 1，那么 ( ab)2009 (c d ) 2008 e2007 的值为 。思路点拨 ：根据相反数与倒数的意义可得： 互为相反数的两数的和为 ， 互为倒数的两数之积为 .举一反三：【变式】已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b， a 的形式，又可表示为 0， b ，ba 的形式，且 x 的绝对值为 2，求 (a b)2008 ( ab) 2009 (a b ab) x2 的值解析：7、类型七：有理数的混合运算5121 271例 7、计算 154152(1)23 (7 )1624168思路点拨 ：本题有五种运算， 因为有括号，应先算括号里面的，括号里面显然又要先算 ，接着算 法，再算 法注意除法运算，要把除法转化为 解：总结升华：举一反三：【变式】计算下列各式的值：( 1) 3 32 ( 3)2 1 3；3(2)1 1 1 1 1 1 1 1 ；2 3 4 5（3）( 5)2 111 77 14 880.25 199893 ( 2)2 2 ；23（4）1 2 5 ( 1 )2 ( ) (299)1( 2