数学八年级-轴对称：最短路径问题

1、三角形第3节 多边形及其内角和【知识梳理】路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解。所以最短路径问题，需要考虑轴对称。典故：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”这个问题提炼出数学问题为：设C 为直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(

2、如图) 作法：(1)作点B 关于直线l 的对称点B；(2)连接AB，与直线l 交于点C.则点C 即为所求证明：如图，在直线l上任取一点C(与点C 不重合)，连接AC，BC，BC.由轴对称的性质知，BC BC，BCBC. AC BC AC BC AB， ACBC ACBC. 在ABC中，ABACBC， AC BCACBC.即 AC BC 最短. 预备知识：在直角三角形中，三边具有的关系如下：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即RtABC中，C90°，则有【诊断自测】1、如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲在l上的某点M处修建

3、一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）ABCD2、如图所示，四边形OABC为正方形，边长为3，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（1，0），P是OB上的一动点，则“求PD+PA和的最小值”要用到的数理依据是（）A“两点之间，线段最短”B“轴对称的性质”C“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”D以上答案都不正确3如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）ABCD【考点突破】例1、如图，在矩形ABCD中，点E为BC

4、的中点，点F在CD上，要使AEF的周长最小时，确定点F的位置的方法为答案：作点E关于DC的对称点E，连接AE交CD于点F解析：根据题意可知AE的长度不变，AEF的周长最小也就是AF+EF有最小值作点E关于DC的对称点E，连接AE交CD于点F故答案为：作点E关于DC的对称点E，连接AE交CD于点F例2、如图所示，点P在AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F.（1）若MN=20 cm，求PEF的周长；（2） 若AOB=35°，求EPF的度数.答案：见解析解析：（1）M与P关于OA对称 OA垂直平分MP. EM=EP. 又N与P关于OB对

5、称 OB垂直平分PN. FP=FN. PEF的周长=PE+PF+EF=ME+EF+FN=MN=20(cm).（2）连接OM，ON，OP，OA垂直平分MP，OM=OP.又OB垂直平分PN，ON=OP.MOEPOE(SSS)，POFNOF(SSS).MOE=POE，OME=OPE，POF=NOF，OPF=ONF.MON=2AOB=70°EPF=OPE+OPF=OME+ONF=180°-MON=110°.例3、如图，AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=2，ON=6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（）A2BC20D2

6、答案：A解析：作M关于OB的对称点M，作N关于OA的对称点N，如图所示：连接MN，即为MP+PQ+QN的最小值根据轴对称的定义可知：NOQ=MOB=30°，ONN=60°，ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，NOM=90°，在RtMON中，MN=2故选：A例4、如图，四边形ABCD中，C=50°，B=D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当AEF的周长最小时，EAF的度数为（）A50°B60°C70°D80°答案：D解析：作A关于BC和CD的对称点A，A，连接AA，交BC于E，交CD于F，则AA即

7、为AEF的周长最小值作DA延长线AH，C=50°，DAB=130°，HAA=50°，AAE+A=HAA=50°，EAA=EAA，FAD=A，EAA+AAF=50°，EAF=130°50°=80°，故选：D例5、如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A2B2C4D4答案：B解析：由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点此时PD+PE=BE最小，而BE是等边ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的

8、面积为12，可求出AB的长，从而得出结果连接BD，与AC交于点F点B与D关于AC对称，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE最小正方形ABCD的面积为12，AB=2又ABE是等边三角形，BE=AB=2故所求最小值为2故选B例6、如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD，EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADDEEB的路程最短，这个最短路程是多少米？答案：见解析。解析：作AFCD，且AF=河宽，作BGCE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E、D作DD、EE即为桥

9、证明：由作图法可知，AFDD，AF=DD，则四边形AFDD为平行四边形，于是AD=FD，同理，BE=GE，由两点之间线段最短可知，GF最小；即当桥建于如图所示位置时，ADDEEB最短距离为+5×2=110米【易错精选】1如图，已知锐角ABC的面积为6，AC=4，BAC的平分线交BC于点D、M、N分别是AD和BC上的动点，求BM+MN的最小值及画出图形2、作图：（1）在直线l上求作一点P，使PA+PB最小；（2）在直线l上求作一点P，使PAPB最大【精华提炼】下列给出常考解题作图方法：最大值对称轴为线段时，在两个端点处取到最大值对称，然后连线，与对称轴交点即为最小值时的情况最大值最大值

10、取线段的中垂线与对称轴的交点，即为最小的情况，最小值为0最大值线段连线的延长线与对称轴的交点，即为最大的情况，最大值为的周长最小值 若一个动点，则对称一次若两个动点，则对称两次 四边形的周长最小值 情况一、两固定点两动点，对称两次，转化为两点之间线段最短 情况二、两固定点，定长度动线段，利用平移，转化为两点之间线段最短修桥问题：两条动线段加平行线距离之和最短问题，利用平移，转化为两点之间线段最短 多条折线之和最短： 将其中的两个点对称过去，把折线转化成两点之间线段最短问题之和最短 【本节训练】训练【1】如图，正ABC的边长为2，过点B的直线lAB，且ABC与ABC关于直线l对称，D为线段BC上

11、一动点，则AD+CD的最小值是（）A4B3C2D2+训练【2】如图，MBN=60°，在MBN的内部有一点C，且BC=10，点D、E分别在BM、BN上，则CDE周长的最小值为训练【3】如图，AOB=，P在AOB内，OP=2，M和N分别为OA，OB上一动点，当PMN的周长为最小值2时，=训练【4】如图，在等腰ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，M、N分别是AD和AB上的动点则BM+MN的最小值是基础巩固1、（1）如图1，在l上找一点P，使PA+PB最小（2）如图2，在l上找一点P，使PA+PB最小（3）如图3，在l上找一点Q，使AQBQ最大（4）如图4，在l上找一

12、点Q，使AQBQ最大（尺规作图，保留作图痕迹，并简要说明理由以及得到的结论）2、如图，已知A、B两村庄的坐标分别为（2，2）、（7，4），一辆汽车从原点O出发，在x轴和y轴上行驶汽车在y轴上行驶到离A村最近的位置的坐标是；在x轴上行驶到离B村最近时的位置的坐标是 3、如图，牧区内有一家牧民，点A处有一个马厩，点B处是他的家l1是草地的边沿，l2是一条笔直的河流每天，牧民要从马厩牵出马来，先去草地上让马吃草，再到河边饮马，然后回到家B处请在图上画出牧民行走的最短路线（保留作图痕迹）4、如图，四边形ABCD中，BAD=130°，B=D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使

13、AMN周长最小时，则AMN+ANM的度数为巅峰突破1、如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=2，MC=6，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是（）A2B8C2D102、如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）A（2，0）B（4，0）C（2，0）D（0，0）3、如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家他要完成这件事情所走的最短路程是（）A15 kmB16 kmC17

14、 kmD18 km4、请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线l的对称点A，使点A，B分别位于直线l的两侧，再连接AB，根据“两点之间线段最短”可知AB与直线l的交点P即为所求请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BDl，垂足为D若CP=1，AC=1，PD=2，直接写出AP+BP的值；（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4AC”，其它条件不变，直接写出此时AP+BP的值；（3）请结合图形，求的最小值参考

15、答案【诊断自测】1、答案：作点A关于直线l的对称点，再把对称点与点B连接，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求点M解：根据最短路线问题，B选项图形方案符合故选B2、解：四边形OABC为正方形，A、C两点关于直线OB对称（轴对称的性质），连接CD，则CD即为PD+PA和的最小值（两点之间，线段最短），用到的数理依据是“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”故选C3、解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN直线a（或直线b），只要AM+BN最短就行，即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在AH上取点I，使AI等于河宽连结IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所

16、得MN即为所求故选D【易错精选】1、解：设N关于AD的对称点为R，由于为锐角三角形，则R必在AC上，作AC边上的高BE，E在线段AC上，连接BR交AD于M，MN=MR，BM+MN=BM+MR=BRBE，面积为6，AC=4，6=ACBE，BE=3，BM+MN的最小值为32、解：如图所示：（1）此时：PA+PB最小；（2）此时：PAPB最大3、【本节训练】训练【1】解：作点A关于直线BC的对称点A1，连接A1C交直线BC与点D，如图所示由图象可知当点D在CB的延长线上时，AD+CD最小，而点D为线段BC上一动点，当点D与点B重合时AD+CD值最小，此时AD+CD=AB+CB=2+2=4故选A训练【

17、2】解：分别作点C关于BM、BN的对称点C、C，连接CC，分别交BM、BN于点D、E，连接BC、BC点C关于BM的对称点C，DC=DC，BC=BC，CBM=CBM；点C关于BN的对称点为C，EC=EC，BC=BC，NBC=NBC，BC=BC=OC=10，CBC=120°，CBC是等腰三角形，CC=10CDE的周长的最小值=CD+MDE+CE=DC+DE+DECCC=10故答案为10训练【3】 解：作P关于OA，OB的对称点C，D连接OC，OD则当M，N是CD与OA，OB的交点时，PMN的周长最短，最短的值是CD的长PC关于OA对称，COP=2AOP，OC=OP，同理，DOP=2BOP

18、，OP=OD，COD=COP+DOP=2（AOP+BOP）=2AOB，OC=OD=OP=2CD=2，COD是等边三角形COD=2AOB=60°，AOB=30°，=30°，故答案为30°训练【4】解：如图，作BHAC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MNAB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值AB=AC，D是BC边上的中点，AD是BAC的平分线，MH=MN，BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，ADBC，AD=12，SABC=AC×BH=BC×AD，13×BH=10&

19、#215;12，解得：BH=，故答案为：基础巩固1、解：（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示；（4）如图4所示2、解：（1）汽车行驶到点A与y轴的垂线段的垂足处时，离A村最近，此点的坐标为（0，2）；（2）汽车行驶到点B与x轴的垂线段的垂足处时离B村最近，此点的坐标为（7，0）故答案为：（0，2）、（7，0）3、解：如图所示：4、解：如图，作点A关于BC的对称点A，关于CD的对称点A，连接AA与BC、CD的交点即为所求的点M、N，BAD=130°，B=D=90°，A+A=180°130°=50°，由轴对称的性质得：A=AAM，A=AAN，AMN+ANM=2（A+A）=2×50°=100°故答案为：100°巅峰突破1、解：如图，过点作COAB于O，延长BO到C'，使OC'=OC，连接MC'，交AB于P，此时MC'=PM+PC'=PM+PC的值最小，连接AC'，COAB，AC=BC，ACB=90°，ACO=×90°=45°，CO=OC'，COAB，AC'=CA=AM