九年级数学上册第三章圆的基本性质微专题圆周角定理的综合运用随堂练习含解析新版浙教版

1、微专题圆周角定理的综合运用一 巧作辅助线教材母赠（教材P91作业题第5题）如图1, 4ABC是。0的内接三角形，AD是。0的直径，/ ABC 50。.求/ CAD勺度数.图1教材母题答图解：如答图，连结 DC.AD是。0的直径，/ ACD= 90° / AB仔 50° , ./ AD住 50 , ./ CAD= 90° -Z AD（ 40° .【思想方法】利用圆周角定理，常见的辅助线作法有：作半径，构造圆心角；作弦，构造圆周角.变擢1 2016 泰安如图2,点A, B, C是。0上的三点，且四边形 ABC国平行四边形,0巳0©。0于点F,则/

2、BAF等于（B ） A. 12.5 °B. 15°【解析】如答图，连结0B 四边形ABO平行四边形， 00 AR 0。AB,又.0A= 0B= 0C 0A= 0B= AR .A0配等边三角形，. 0FX 0C 0。AB,. 0F1 AB .B0F= /A0F= 30° ,， 一、一1由圆周角定理得/ BAE2/BOR 15 .故选B.如图3,已知四边形ABC虚。的内接正方形,P是劣弧CD上不同于点C的任意一点，则/ BPC勺度数是（A ）A. 45B. 60° C . 75° D. 90°图3 变形2答图B. 88° C ,

3、 90°D. 112图4 变形3答图变形如图5, OO是ABC勺外接圆，且AB= AC= 13, BC= 24,求。的半径.变形4答图【解析】 如答图，连结 OB OC则/ BO仔90。，1。根据圆周角定理，得/ BPC= 2/BOC= 45 .园苞3 如图 4,已知 AB= AC= AD/CBD= 2/BDC/BAC= 44° ,则/ CAD勺度数为（B ）A. 68°【解析】 如答图，以A为圆心，AB为半径画圆，则点 C, D都在圆上,. / CBD= 2/ BDC CD= 2BC. / BAC= 44° , .CAD= 2/ BAC= 88 .故选

4、 B.解：如答图，连结 AO BQ AO交BC于点D.则根据垂径定理的逆定理，得 QAL BC-1 -"BD= CD= /BC= 12.在RtAABC,由勾股定理得 AD= "A百-BD =5.设。的半径为r,则OD= OA AD= r-5.在Rt OB阴，由勾股定理得 bD+ OD= OB,即 122+(r 5)2=r2,解得 r= 16.9 ,即。的半径为16.9.OD= 20,变形S 如图6, AB是。的直径，AC是弦，ODL AB交AC于点D若/ A= 30° ,求CD的长.图6A变形5答图解：如答图，连结 BC ODLAB /A= 30 , OD= 20

5、, .AD= 2OD= 40, . OA=:ADOD= 20>/3. .AB是。O的直径， .AB= 2OA= 40/3,且/ ACB= 90 ,1 22BC= 2AB= 20"'J3,AC=，aB- bC = 60,. CD= AC- AD= 6040= 20.圆周角定理与直角三角形、全等三角形等知识的综合运用教材P93作业题第5题)C= 45一个圆形人工湖如图 7所示，弦AB是湖上的一座桥.已知AB长为100 m,圆周角/求这个人工湖的直径.教材母题答图解：如答图，设圆心为 O,连结OA OB /O 45° , AOB= 2/0 90° ,AB

6、- OA= = 50 pm)，这个人工湖的直径为2OA= 1002(m).【思想方法】 直角三角形与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度转换,利用直角三角形的相关知识求解.变形2016 嘉善模拟如图8, OO是 ABC的外接圆,BC是。0的直径，AB= AC /ABC勺平分线交 AC于点D,交O O于点E,连结CE若CE= R 则BD的长为_2也_.M【解析】如答图，延长图8 变形1答图BA CE交于点M,.,BOO O的直径, . / BA" / CAIM= 90° , / BEC= / BEM= 90 .AB= AC / ABD- /ACMAB医 ACM .

7、BD- CM BE 平分 / ABC/ EBM= / EBC BE= BE, / BEC= / BEM.BE室 BEM EC= EM .BD- CM= 2CE= 2 2.变挎2 如图9,在 ABC中，以AB为直径的。O交BC于点D,连结AD,请添加一个条件_AB= AC< BD-。四 / B= / C或/ BA及 / CAD ,使 AB单 ACD变把图9如图10,。是 ABC勺外接圆，/ C= 30,AB= 2 cm,求。O的半径.图10变形3答图解：如答图，连结 AO并延长交。O于点D,连结BDD, / C所对的圆弧都为AB.D= / C= 30° .AD是。O的直径，ABD

8、= 90° ,1 、 . AD= 2AB= 4(cm) , 1- AO AD= 2(cm),即。O的半径为2 cm.变形在。0中，直径 AB= 4, CD= 2,直线AD BC相交于点 E(1)如图11，/ E的度数为笆_；(2)如图，AB与C而于点F,请补全图形并求/ E的度数; 如图，弦 AB与弦CD不相交，求/ AECW度数.图11解：(1)如答图，连结 OD OC BD.OD= OC= CD= 2,DO等边三角形，/ DO6 60° , .DBO 30° ,. AB为直径，./ ADB= 90° ,，/E= 90° 30° =

9、60° ,/ E 的度数为 60° ;(2)补全图形如答图，直线 AD CB交于点E,连结OD OC AC.OD= OC= CD= 2,DO等边三角形，/ DOe 60° , ./ DAC= 30 , 一， 一 1 。,一/DACF / DBC= X 360 = 180 ,/DB仔 150° ,EBD= 180° -Z DBG= 30° ,. AB为直径，/ ADB= 90° ,，/BDE= 90° ,E= 90° 30° =60° ;如答图，连结 OD OC BD.OD= OC= C

10、D= 2,DO等边三角形，/ DOe 60° , ./ CBD= 30 ,. AB为直径，./ ADB= 90° , ./ BED= 60° , .AEC= 60° . 变形4答图三圆周角定理的创新应用教材母题»(教材P92例3)如图12,有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角/ C= 50°问：船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？图12解：当张角/ ASB/ACB寸，船在弓形暗礁区外；当张角/ ASB= /ACB寸，船在弓形暗礁区 边上；当张角/ ASB>/ACB寸，船在弓形暗礁区内，要使船保证不进入暗礁区，必须使/ ASB：

11、/ACB 即/ ASB：50 .【思想方法】由圆周角定理知，同弧上的圆周角相等，应用在航海上，常常用来考查动点问题.园留， 如图13, AB是0O的直径，弦 BC= 2 cm, F是弦BC的中点，/ ABC= 60° .若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着 Z B A的方向运动，设运动时间为 t(s)(0wtv3),连 结EF,当 BEF是直角三角形时，t的值为(D )图13C.7或1 D. 7或1或9 444【解析】AB是。的直径，ACB= 90 .在 RtMBC, BC= 2 cm, Z ABC= 60 , ./A= 30° ,AB= 2BC= 4(cm).当/

12、BFM 90。时， .在 RtBEF中，/ ABC= 60 ,贝U/ BEF= 30 ,BE= 2BF= 2(cm) ,，AE= AB- BE= 2(cm), 1- E点运动的距离为 2 cm或6 cm ,故t = 1 s或3 s ,由于0wt<3,故t = 3 s不合题意，舍去, 当/ BFE= 90° 时，t = 1 s ;1当/ BEF= 90 时，同可求得 BE= 2 cm,此时 AE= AB- BE= 7(cm), 1- E点运动的距离为2 cm或2 cm,79综上所述，当t的值为1或4或4时， bef是直角三角形.故选D.2016 山西请阅读下列材料，并完成相应的任

13、务.阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ,公元前287公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.阿拉伯学者 Al Biruni(9731050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联一家出版社在 1964年根据Al - Biruni译本出版了俄文版阿基米德全集，第一题就是阿基米德的折弦定理.阿基米德折弦定理：如图14,AB和BQO O的两条弦（即折线ABO圆的一条折弦），BO>AR图14M是ABC勺中点，则从 M向BC所作垂线的垂足 D是折弦ABQ勺中点，即 CD= AB+ BD下面是运用“截长法”证明 CD= AB+ BD的部分证明过程.证明：如图，在 CBh截取CG= AB连结 MA MB MQF口 MG. M是ABC勺中点,MA= MQ任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分;（2）填空：如图，已知等边三角形ABW接于。O, AB= 2, D为AQh一点，/ ABD= 45° ,AH BD点E,则 BDQ勺周长是 2 + 2&_.解：（1）证明：如图，在 CB±截取CG= AB 连结 MA MB MQF口 MG. M是ABC勺中点,MA= MQBA= GQ在4 MB街口MGQK SA= / CMA= MQ.