2020-2021学年江苏省高考数学模拟试卷(十)及答案解析

1、江苏省高考数学模拟试卷（十）一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1 .设集合 U=1, 2, 3, 4, A=1, 2, B=2, 4,则？ u （AHB）等于.2 .已知 bCR,若（2+bi） （2 i）为纯虚数，贝U |1+bi|=.3 .学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在 50, 60）元的同学有30人，则n的值为.5 .从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是.6 .命题： 存在xCR,使x2+ax-4a< 0”为假命题，则实数 a的取值范围

2、是 .7 .已知函数y=Asin (姒+4), (A> 0, w>0,网v兀)的图象如图所示，则该函数的解析式是.8 .如图，四边形 OABC是边长为1的正方形，点 D在OA的延长线上，且 OD=2,点P为 BCD 内(含边界)的动点，设 OP=«OC+® (", 3C R),则计3的最大值等于9.如图，在长方体 ABCD- AiBiGDi中，对角线BQ与平面AiBC1交于E点.记四棱锥 E-AiBQDi的体积为V1,长方体ABCD- A1BGD1的体积为”,则合的值是(0,2)处的切线与直线 x+2y+1=0垂直，则a=11.实数 x, y 满足 4

3、x2- 5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,贝尼U12K12.设函数f(x)=3k - 1,置12工1,则满足f (f (a) =2 (f (a) 2的a的取值范围为13 .已知圆O: x2+y2=1,点C为直线l: 2x+y- 2=0上一点，若圆 。存在一条弦 AB垂直平分线段OC,则点C的横坐标的取值范围是 14 .各项均为正偶数的数列 ai, a2, 83, a中，前三项依次成公差为 d (d>0)的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若 &- a=88,则q的所有可能的值构成的集合为 二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出

4、文字说明、证明过程或演算步骤.15 .已知a, 3均为锐角，且sind1E )= 一占.(1)求 sin (a- 3)的值；(2)求cos3的值.16 .已知三棱柱 ABC- A1B1C1 中，CG，底面 ABC, AB=AC=AA=2, Z BAC=90°, D, E, F 分别为BiA, GC, BC 的中点.(I)求证：DE/平面 ABC;(II)平面 AEF1平面BCGB"求三棱锥 A- BCB的体积.17 .如图，有一直径为 8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的

5、C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是/ECF=,点E, F的直径AB上，且0 | n/ ABC=-.6(1)若 CE=/13,求 AE 的长；(2)设/ ACE=a,求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.18.已知椭圆C方程为一亍+千=1 (a>n>0),离心率e二一,过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1 .(1)求椭圆C方程；(2) D, E, F为曲线C上的三个动点，D在第一象限，E, F关于原点对称，且|DE|=|DF问DEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时 D点的坐标；若不存在，请说明理由.19 .设 aC R,函数 f (x)

6、 =lnx-ax.(I )求f (x)的单调递增区间； 、一2(n )设F (x) =f (x) +ax+ax,问F (x)是否存在极值，右存在，请求出极值；右不存在，请说明理由；(出)设A (x1，y1)，B (x2, v2是函数g (x) =f (x) +ax图象上任意不同的两点，线段 AB的 中点为C O, y0),直线AB的斜率为为k.证明：k>g'(x0).20 .对于给7E数列Cn,如果存在头吊数 p, q,使得Cn+1=pCn+q (pw0)对于任息的nCN都成立,我们称这个数列Cn是M类数列”.(1)若an=2n, bn=3?2n, nCN*,判断数列an, bn

7、是否为M类数列”，并说明理由；(2)若数列an是M类数列”，则数列an+an+小 3n?3n+1是否一定是M类数列”，若是的，加以证 明；若不是，说明理由；(3)若数列an)W足:a1=1,an+an+1=3?2n(nJN*),设数列a的前n项和为Sn,求Sn的表达式,并判断an是否是M类数列”.选做题选彳4-1 :几何证明选讲(任选两个)21 .如图所示，已知。Oi与。2相交于A、B两点，过点A作。Oi的切线交。O2于点C,过点B作两圆的割线，分别交。 Q、。2于点D、E, DE与AC相交于点P.(1)求证：AD/EC;(2)若AD是。2的切线，且 CA=8, PC=2, BD=9,求AD的

8、长.选彳4-2 :矩阵与变换22 .已知线性变换 T1是按逆时针方向旋转 90°的旋转变换，其对应的矩阵为 M,线性变换T2： 丁 =22" ,对应的矢I阵为N.(I )写出矩阵M、N;(II)若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y=x的直线，求直线l的方程.选彳4-4 :坐标系与参数方程选讲23.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程P-2cos( 9-rj-).(i)判断直线1与曲线C的位置关系;(n )设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围.选彳4-5 :不等式选讲24.

9、设函数 f (x) =|2x+1| - |x- 2|.(1)求不等式f (x) >2的解集；2(2) ? xCR,使f (x) >t2-t,求实数t的取值范围.解答题25.网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物.(I )求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率;X= E q求随机变量X的分(D)用&刀分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记布列与数学期望 EX.26.记(1号)(1嗑)

10、(1号)的展开式中,(1)求 an；x的系数为3n, X2的系数为bn,其中nCN.对nC N*, n>2恒成立？证明你 、.L p Q(2)是否存在常数 p, q (pvq),使 bn=Y (1+%；) (17322的结论.参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1 .设集合 U=1, 2, 3, 4, A=1, 2, B=2, 4,则？ u (AHB)等于1, 3, 4【考点】补集及其运算.【分析】首先求出 anB,然后对其进行补集运算.【解答】解：由已知，ACB=2,所以？ U (A屯)=1, 3, 4;故答案为：1, 3, 4.2 .已知 bCR,

11、若(2+bi) (2 i)为纯虚数，贝U |1+bi|=_Vi7_.【考点】复数求模.【分析】利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出.【解答】解：(2+bi) (2-i) =4+b+ (2b-2) i为纯虚数，(4廿Q解得b" 4.则 |1+bi|=|1 4i|=J 1 g ) 2=/!?.故答案为：V17.3 .学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在 50, 60)元的同学有30人，则n的值为 100 .【考点】频率分布直方图.50, 60）元的频率，计算可【分析】根据频率直方图的意义，由前三个小组的频率可得样本在

12、得样本容量.【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036） X10=0.7,，支出在50, 60）元的频率为 1-0.7=0.3,30.n的值=00;故答案100.4.按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是5【考点】循环结构.【分析】根据所给的循环结构知第一个输出的数字是1,第二个输出的数字是 1+2=3,出的数字是 3+2=5.【解答】解：由题意知第一个输出的数字是1第二个输出的数字是 1+2=3第三个输出的数字是 3+2=5故答案为：5第三个输5.从3名男同学,2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的 2名同学中至少有1名男同学的概率是10一【考点

13、】古典概型及其概率计算公式.【分析】选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，由此利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学中至少有1名男同学的概率.【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，基本事件总数n=CJ=10,选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，选到的2名同学中至少有1名男同学的概率：,“9p=1 - 7=w 故答案为：圈.6 .命题： 存在xCR,使x2+ax-4av 0"为假命题，则实数 a的取值范围是T6, 0.【考点】命题的真假判断与应用.【分析】将条件转化为 x2+ax- 4a>0恒成立，必须0,

14、从而解出实数 a的取值范围.【解答】解：命题： 存在x R,使x2+ax- 4a< 0”为假命题，即x2+ax-4a>0恒成立，必须0,即：a2+16aw 0,解得-16WaW0,故实数a的取值范围为-16, 0.故答案为：-16, 0.7 .已知函数y=Asin( cox+4), ( A>0, w>0,网v兀)的图象如图所示，则该函数的解析式是y=2sin2 兀_LTx+【考点】由y=Asin （ cox+4）的部分图象确定其解析式.【分析】由图可知，A=2,由点（0, 1）在函数的图象上，可得 sin,0）在函数的图象上，可得-=k兀，kC Z,17利用五点作图法可

15、解得进而解得从而得解该函数的解析式.【解答】解：二.由图知 A=2, y=2sin （球+协， ,点（0, 1）,在函数的图象上, .2sin(f)=1,解得：sin一， L兀 利用五点作图法可得：4一,6解得:Tz,0）,在函数的图象上，可得:7 IT7C co+-T12&=kTt, kCZ,当 k=0 时,. . y=2sin (/x+TTT2sin (一7KIF冗<1+6)=0,2 天故答案为：y=2sin (yx+_8.如图，四边形 OABC是边长为1的正方形，点 D在OA的延长线上，且 OD=2,点P为 BCD 内（含边界）的动点，设 0P=<iC+to5 （ %

16、 3C R）,则“+3的最大值等于2一°【考点】简单线性规划；平面向量的基本定理及其意义.【分析】因为是正方形，所以可考虑建立平面直角坐标系：以。为原点，OA, OC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，这时候可求出 反二 I),而5=(2,所以设P (x, y),所以根据已知条件可得：(x, y) = (23,%,所以可用x, y表示出 3,并得到Q + F=,x+y , 这样求招工+了的最大值即可.而 x, y的取值范围便是 BCD上及其内部，所以可想着用线性规ill1划的知识求解.所以设 z专升y, y=-yx+z;,所以z表示直线 产一台工十工在y轴上的截距，要 求 附

17、3的最大值，只需求截距 z的最大值即可，而通过图形可看出当该直线过 B点时截距最大，(x, y),所以将B点坐标带入直线方程，即可得到z的最大值，即 计3的最大值.(x, y) =a (0, 1) +3 (2, 0) = (2£ a);it 二 2 by-a ;设z卷 叶y,贝U： y=一方工十工，所以 z是直线 丫二一" 什五在y轴上的截距；由图形可以看出，当该直线经过B (1,1)点时，它在y轴的截距z最大，最大为焉;l£I:.代3的最大值是故答案为：9.如图，在长方体 ABCA AiBiGDi中，对角线BQ与平面AiBC1交于E点.记四棱锥 E-AiBQDi

18、， 1VlI的体积为Vi,长万体ABCD- AiBGDi的体积为 ”,则不一的值是 .Yn 9 一【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】连接 BiDMAiC产F,证明以E是AiBC的重心，那么点 E到平面AiBiCDi的距离是BBi 的白，利用体积公式，即可得出结论.【解答】解：连接 BiDi OAiCi=F,平面AiBCi叶面BDDiBi=BF,因为EC平面 AiBG, EC平面 BDDiBi,所以EC BF,连接BD,因为F是AiCi的中点，所以BF是中线，1 EF 1又根据BiF平行且等于BD,所以三1二不， 二口口上所以E是AiBG的重心，那么点 E到平面AiBiGDi的距离是BBi

19、的上，所以Vi福久泅31告BBi,而 V2=S%CiIXBBi,所以扃闻故答案为:10.若曲线：y=ax+1 （a>0且awl）在点（0, 2）处的切线与直线 x+2y+1=0垂直，则a= e2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1,可得a的方程，即可解得a.【解答】解：y=ax+1的导数为y'=axlna,即有曲线在点（0, 2）处的切线斜率为 k=lna,由于切线与直线 x+2y+1=0垂直，则 lna? （ - y） =T,解得a=e2,故答案为：e2.11.实数 x, y 满足 4x2- 5xy+

20、4y2=5,设S=x2+y2,则SIR3K85 【考点】基本不等式.【分析】由2xyWx2+y2可得5xy=4x2+4y25-5<2（x2+y2）,从而可求s的最大值，由x2+y2 > - 2xy及5xy=4x2+4y2- 5> - 8xy- 5可得xy的范围，进而可求 s的最小值，代入可求【解答】解：-.1 4x2 - 5xy+4y2=5,5xy=4x2+4y2 - 5,又2xy< x2+y2(x2+y2)22设 S=x+y ,4s 5<-s2_10 mas 3,. x2+y2> - 2xy5xy=4x2+4y2 - 5 > - 8xy- 513.一

21、 xyS=x2+y2 > - 2xy-L J3 13810 W=5故答案为:12.设函数f (x) =',则满足f (f (a) =2 (f (a) 2的a的取值范围为,+°0)【考点】分段函数的应用.【分析】令f (a) =t,则f (t) =2t2,讨论tv 1,及t>1时，以及avl, a>1,由分段函数的解 析式，解不等式或方程即可得到所求范围.【解答】解：令f (a) =t,则f=2t2,tv 1时，由 f (t) =2t2得 3t- 1=2t2,即 2t2-3t+1=0,得 t=1 (舍)或 t=U2t>1时，2t2=2t2成立,t>

22、1且 a<1；若 av 1,由 f (a) > 1,即 3a 1 > 1,解得 a>由f (a)=得3a- 1二二得a，满足条件,若 aA 1,由 f (a) > 1,即 2a2> 1,a> 1,，此时不等式2a 1恒成立，由f (a)卷得2a2=1得a=,，不满足条件, 综上av 1 或 a> 1.即 a>-.2 1综上可得a的范围是a>=或a=;13 .已知圆O: x2+y2=1,点C为直线l: 2x+y-2=0上一点，若圆 。存在一条弦 AB垂直平分线段阂OC,则点C的横坐标的取值范围是(0,F).【考点】直线与圆相交的性质.【

23、分析】设C(X0, 2- 2X0),得线段OC的中点坐标，则只要中点能落在圆的内部，就存在弦AB垂直平分线段 OC,所以代入圆的方程，即可确定点C的横坐标的取值范围.【解答】解：设 C(X0, 2-2x0),则线段OC的中点坐标是 D Ax。，1-X0),则只要中点能落在 .一 122.圆的内部，就存在弦 AB垂直平分线段 OC,所以代入圆的方程，(亍x°) + (1-x0)<1,解得 0Vx0 V8故答案为：(0, 9 . D14 .各项均为正偶数的数列 a1，a2,出，&中，前三项依次成公差为 d (d>0)的等差数列，后三 项依次成公比为q的等比数列，若a=

24、88,则q的所有可能的值构成的集合为 后* yj【考点】等差数列与等比数列的综合.【分析】先假设数列的项，利用三项依次成公比为q的等比数列，建立等式，从而可得公差的范围及取值，由此，即可求得结论.【解答】解：设ai, a1+d, a1+2d, a1+88,其中a1，d均为正偶数，则后三项依次成公比为 q的等比数列(q + gd)"=(曰+(1)(力+名宫),4d (22 - d) Ioo整理得自】二示一>“所以(d 22) (3d-88) <0,即22<4<受，则d可能为24, 26, 28,5208g当 d=24 时，ai=12, q=;当 d=26 时，力

25、口一(舍去)；当 d=28 时，ai=168, q二彳；所以q的所有可能值构成的集合为停，率 故答案为舟，-y) 二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知a, 3均为锐角，且sinQ二二，tanH一 阳二一看. 53(1)求 sin (a 3)的值；(2)求cos3的值.【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数.【分析】(1)根据“、3的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得 sin ( a- 3)的值.(2)由(1)可得，- P83 n二言,根据 cos 3=cosa- ( a-

26、 3),利用两103角差的余弦公式求得结果.【解答】解：(1)口， 6 (°，二)，从而一：<G 一自 又.tan(a- 5)=一9口，一?工口 一 5<Q. 2， 一 2，0、.3ing - 口 _ 1利用同角三角函数的基本关系可得sin ( a- 3) +cos ( a- 3) =1 ,且-f- -,cost Q 一 J 3解得 - 5)=(2)由(1)可得，COsC CI - 6 )二 . -”为锐角，si口Q = 3 ,二85口 =51055'- cos 3=cos a- ( a- 3) 尸cos «cos ( a- 3) +sin osin (

27、 a- 3) 16.已知三棱柱 ABC- A1B1C1 中，CG，底面 ABC, AB=AC=AA=2, /BAC=90°, D, E, F分别为BiA, CiC, BC 的中点.(I)求证：DE/平面 ABC;(II)平面 AEF1平面BCGBi；求三棱锥 A- BCB的体积.【考点】平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定.【分析】（1）欲证DE/平面ABC,根据线面平行的判定定理可知，证线线平行，取 AB中点G, 连DG, CG,只需证 DE/ GC即可；（2）欲证平面 AEH平面BCGBi,根据面面垂直的判定定理可知，证AF，平面BCCBi即可，然后再根据体积公式求出三

28、棱锥 A - BCB的体积.【解答】解：（I）取AB中点G,连DG, CG在三棱柱 ABC- A1B1C1中，CG，底面 ABC,BCGBi是矩形. D, E分别为AB, CCi的中点，. DGXyBBp比最叫,DGJ/E, DGCE是平行四边形，de/ GC. GC?平面 ABC, DE?平面 ABC, .DE/平面 ABC.(II)三棱柱 ABC- A1B1G 中，CC，底面 ABC, AFL CG ,. AB=AC, F 为 BC 中点,AFL BC又 BCHCC=C，AH平面 BCCBi,又 AF?平面 AEF,平面 AEF1平面 BCCBiAFL平面 BCGBi,在由已知，RTA A

29、BC 中，AB=AC=2,1二. BC=2y5,研一耳, S/iKB =_bcbb 1417.如图，有一直径为 8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的C处恰有7T一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是/ECF=1，点匚F的直径AB上，且B In/ ABC=-. 6(1)若 CE=/13,求 AE 的长；(2)设/ ACE=a,求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.【考点】函数模型的选择与应用.【分析】(1)利用余弦定理，即可求 AE的长;(2)设/ ACE="，求

30、出CF, CE,利用Szce=1<ECFsin/ECF,计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.【解答】解：(1)由题意， ACE中，AC=4, /A=，CEV13, .13=16+AE2- 2>4X AEXy,，AE=1 或 3;(2)由题意，/ ACEfC 0,/ AFC=l /a-/ ACF=7J占a.在ACF中，由正弦定理得CFACsinA min/CFA，在 ACE中，由正弦定理得CEACsinA 乳n/AEC '2CF=；COSOCE=.,Gln(F-4 Ct该空地产生最大经济价值时,兀CEF的面积最大,g0,-,0<sin

31、 (2 a+一一2218.已知椭圆C方程为，+-二a ba=-时，SzxcefM最大值为4寸尻 该空地产生最大经济价值.=1 (a>n>0),离心率eJW ,过焦点且与长轴垂直的直线被椭Ui圆所截得线段长为1 .(1)求椭圆C方程；(2) D, E, F为曲线C上的三个动点，D在第一象限，E, F关于原点对称，且|DE|=|DF问DEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时D点的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)由过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为a2=b2+c2,联立解出即可得出.(2)设直线EF的方程为：y=kx,则直线OD的方程为：尸

32、一=1,又 e=''二2x2+4y2=4s2him：、i之化简利用二次函数的单调性即可得出.【解答】解：(1)二.过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1, 2b2a, a2=b2+c2,联立解得a=2, b=1, c=/3，椭圆C的方程为3一+y2 = 1 .4 y(2)设直线EF的方程为：y=kx,则直线OD的方程为:联立产ku x2+4y2=42,解得打=一4 l+4k* '4k?H-4k2 |EF2=4 (4+牖)=H4k2同理可得：Xd=-2|OD| =k2)可得： 由=4 (4+城).同理可得：Xd, yD. |OD|2.设 DEF的面积=S.可得设

33、DEF的面积=S.-.S2=-|Mod|2 1 16(Hk2) 4(1+/)216(14/)21+4产X 74+k24H7k2+4k4=f (k),2令 1+k=t> 1,贝U f (k)16一三(t - 8 )，40当且仅当t=8, k=-a/时取等号.DEF的面积存在最小值此时D陪明19.设 aC R,函数 f (x) =lnx-ax.(I )求f (x)的单调递增区间；(n )设F (x) =f (x) +ax2+ax,问F (x)是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由;(出)设A (xi, yi), B (x2, v2是函数g (x) =f (x) +ax图象上任

34、意不同的两点，线段 AB的中点为C (x°, y°),直线AB的斜率为为k.证明：k>g'(xo).【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值.【分析】(I )先求出函数的定义域，求出函数f (x)的导函数，然后分类讨论，当 aw0时，f(x)的单调增区间为(oo, +OO),当a>0时，f (x)的单调增区间为(0,)；(H )首先求出F (x)的导函数，然后分类讨论，当 a> 0时，恒有F(x) >0, F (x)在(0,+8)上无极值；当a<0时，F (x)有极大值，无极小值;，求出g (x)的导函数，然后设出0&l

35、t;xi步设出k (t),求出k (t)的导函数，则结论可证.【解答】(I )解：在区间(0, +°°.11 一名宦)上，f 必=-a=(1)当 aw。时，x>0,f' (x) >0 恒成立，f (x)的单调增区间为(- °°, +°°)；一 三戈1(2)当 a>0 时，令 f' (x) >0,即>0,得。<k<2.工a.f (x)的单调增区间为(0,);闻综上所述： 当a< 0时，f (x)的单调增区间为(-0°, +°°),当a>。

36、时，f (x)的单调增区间为(0,9)；(n ) 由 F (x) =f (x) +aX2+ax=lnx- ax+a攵+ax=lnx+aX22得F，(共六手'I (x>0),XI当a>0时，恒有F' (x) > 0,1. F (x)在(0, +°°)上无极值;=0,得产(x) >0, F' (x)单调递增,xe (0,FF' (x) v 0, F' (x)单调递减.xC (F极大值於包F (x)无极小值.当av 0时，令F' (x)综上所述:a>0时，F (x)无极值,a<0时，F (x)有极

37、大值(出)证明:Ln2a - Lni 2要证k>g' (x0),即证>7啊 勺+叼不妨设0VXiX2,即证- 2 (x2 x 1InKn - Ln量 1 >41 K + Kg设 t二二>1,即证：1nt=2-, 勺t+1t+1也就是要证：Int十不其中te(1, +8),事实上：设 k(t)= 1门1十t' 二 te (1, +°°),、14(141 ) 2 * 4t (t - 1 ) 2= W=-7=二Tt (t+1 )2 tCt+1)2 t (t+1)2>0,即证k (t)在(1, +°0)上单调递增，因此 k (

38、t) > k (1) =0,即结论成立.20.对于给7E数列Cn,如果存在头吊数 p, q,使得Cn+1=pCn+q (pw0)对于任息的nCN都成立, 我们称这个数列Cn是M类数列”.(1)若an=2n, bn=3?2n, nCN*,判断数列an, bn是否为M类数列”，并说明理由；(2)若数列4是M类数列”，则数列4+4+1、3n?3n+1是否一定是M类数列”，若是的，加以证 明；若不是，说明理由；(3)若数列an)W足：a1=1, an+an+1=3?2n (nC N*),设数列a的前n项和为Sn,求Sn的表达式， 并判断an是否是M类数列”.【考点】数列的应用.【分析】(1)运用

39、M类数列定义判断，(2) 4是M类数列"，得出an+1 = pan+q, an+hpan+1+q,求解an+1 + an+2, an+14+2的式子，结合定义判 断即可(3)整体运用 an+an+1=3.2n ( n C N*),分类得出：当 n 为偶数时，Sn=3 (2+23+-+21)=2n+1 - 2, n为奇数时，Sn=1+3 (22+24+2n-1) =2n+1-3,化简即可得出 Sn,再运用反证法证明即可.【解答】解：(1)因为an+1=sn+2, p=1, q=2是M类数列”，bn+1=2bn, p=2, q=0 是 M 类数列”.(2)因为aj是 M 类数列“，所以

40、an+i=pan+q, an+2=pan+i+q,所以 an+i+an+2=p (an+i + an+2)+2q,因此，an+an+i是 M 类数列 因为an是 M 类数列"，所以 an+i=pan+q, an+hp%+i+q,所以 an+ian+2=p2 (anan+i) +pq (an+a+i) +q2,当q=0时，是M类数列”；当qw0时，不是M类数列”；(3)当 n 为偶数时，Sn=3 (2+23+-+2i) =2n+i- 2,当 n 为奇数时,Sn=i+3 (22+24+2't)=2n+i- 3,所以Sn=&i=2k, kG 2)2n+1-3, (n=2k

41、- 1, k£Z)当 n 为偶数时 an=Sn-Sn i=2n+i - 2- (2n-3) =2n+i,当 n 为奇数时，an=Sn- Sn i=2n+i - 3- (2n 2) =2n- i (n>3),那十1, ("2k, kEZ)所以an=LI 2r-l, (n=2k- 1, k£Z)假设an是M类数列”， 当 n 为偶数时，an+i=2n+i - i=pan+q=p (2n+i) +qp=2, q=- 3,当 n 为奇数时，an+i=2n+i+i=pan+q=p (2nT) +q,p=2, q=3,得出矛盾，所以an不是M类数列”.选做题选彳4-i

42、:几何证明选讲(任选两个)2i.如图所示，已知。Oi与。O2相交于A、B两点，过点A作。Oi的切线交。02于点C,过点B作两圆的割线，分别交。 。、。2于点D、E, DE与AC相交于点P.(i)求证：AD/EC;(2)若AD是。02的切线，且 CA=8, PC=2, BD=9,求AD的长.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(1)连接AB,根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到/BAC=Z D,又根据同弧所对的圆周角相等得到/ BAC=Z E,等量代换得到/ D=/E,根据内错角相等得到两直线平行即可；(2)根据切割线定理得到 PA2=PB?PD,求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA?PC=

43、BP?PE,求出PE,再根据切割线定理得 AD2=DB?DE=DB? (PB+PE),代入求出即可.【解答】(1)证明：连接AB,.AC是。Oi的切线, ./ BAC=Z D.又. / BAC=Z E, .D=Z E.2 .AD/ EC.(2)解：如图，.PA是。Oi的切线，PD是。Oi的割线，2.PA=PB?PD,PA=AC- PC=6,即 62=PB? ( PB+9),.PB=3.在。6 中，PA?PC=BP?PE.PE=4.3 AD是。O2的切线，DE是。2的割线，且 DE=DB+BP+PE=9+3+4=162，AD=DB?DE=9M6, . AD=12.选彳4-2 :矩阵与变换22 .

44、已知线性变换 Ti是按逆时针方向旋转 90°的旋转变换，其对应的矩阵为M,线性变换丁2：K -f c对应的矢I阵为N.(I )写出矩阵M、N;(II)若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y=x的直线，求直线l的方程.【考点】几种特殊的矩阵变换.【分析】(I )通过变换的特征即得结论;()由(I)【解答】解:,通过题意可得(I )通过题意，易得M=_ 2y=x 3x=yJ，N=,利用x=y'计算即可.(n )由(I)r0 - 2：<3 0/得' 由题意得x =y得3x= - 2y,直线l的方程为3x+2y=0.选彳4-4 :坐标系与参数方程选讲23 .已知

45、在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是_（t是参数），以原点O、一一， _ 元，为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标万程p-2cos（ 9-rj-）.（i ）判断直线1与曲线C的位置关系；（n ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围.【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程.【分析】（I ）由直线的参数方程消去 t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（II）设出曲线C上的点的参数方程，由 x+y=sin 0+cos 0,利用两角和的正弦化简后可得x+y的【解答】解：（I）由广，消去由 P -2cos （ 9,得P -2cos 日 3sP 2=V2P加白-aP曲18，即” 化为标准方程得：（x - 率产+ Cy+亨）t得：y=x+4V-2 -丸一2吕1口9 氯rr,即 R-esinU ,圆心坐标为 殍，-亨），半径为1,圆心到直线>1.，直线1与曲线C相离；（口）由M为曲线C上任意一点，可设不V2 y=-12贝U x+y=sin 0+cos 0=/2sin （ 0 寸Tj-,x+y的取值范围是一泥，如1.x-y+4<2 =0 的距离 d=l 2 + 2 +电 1 _V2"as 84sin 9取值范围.选彳4- 4-5 :不等式选讲24