第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION2

1、§场论初步一、场论的基本概念及梯度、散度与旋度标量场空间区域D的每点M（x,y,z）对应一个数量值 （x, y, z），它在此空间区域D 上就构成一个标量场,用点M （x，y，z）的标函数（x,y，z）表示.若M的位置用矢径r确定， 则标量 可以看作变矢r的函数 =（r）。例如温度场u （x,y,z）,密度场（x, y,z）,电位场e（x,y，z）都是标量场.矢量场 空间区域D的每点M（x，y，z）对应一个矢量值R （x，y，z），它在此空间区 域D上就构成一个矢量场，用点 M （x，y,z）的矢量函数R（x,y,z）表示.若M的位置用矢径r确 定，则矢量R可以看作变矢r的矢函数R（

2、r）:R （r）= X （x，y，z） i + Y（x，y，z） j + Z（x,y，z） k例如流速场（x，y,z），电场E （x,y,z），磁场H （x，y，z）都是矢量场.与标量场的情况一样，矢量场概念与矢函数概念，实质上是一样的.沿用这些术语（标量场、 矢量场）是为了保留它们的自身起源与物理意义.梯度grad =（,）= i + j + kx y zx y z式中 =i 一 + j 一 + k一称为哈密顿算子，也称为耐普拉算子。grad有的书刊中记作del .x y zgrad的方向与过点（x，y,z）的等量面=C的法线方向N重合，并指向 增加的一方,是函数 变化率最大的方向，它的长度

3、等于N梯度具有性质：grad (+)grad + grad为常数）方向导数grad( )= grad +gradF ()= Fgradgrad=cosx+ cosy+ cosz式中I = (cos , cos ,cos )为方向I的单位矢量,为其方向角.方向导数为在方向I上的变化律，它等于梯度在方向l上的投影。散度divR=上 + + -Zx y zR=div(X , Y , Z)式中为哈密顿算子散度具有性质：div(a+ b) = diva+ divb (为常数)div(a)=div a+ a graddiv(axb) = b rot a a rotbrotR =(-)j + (丄)k= x

4、x yXR=式中为哈密顿算子,旋度也称涡度,rot R有的书刊中记作curl旋度具有性质:rot ( a+rot a+ rot b (为常数)rot( a)=rot a+ aXgradrot (axb)=(b - ) a( a - )b+( div b)a (div a)b梯度、散度、旋度混合运算运算grad作用到一个标量场产生矢量场grad，运算div作用到一个矢量场R产生标量场div R,运算rot作用到一个矢量场R产生新的矢量场rot R。这三种运算的混合运算公式如下:div rot R=0rot grad =022 2div grad =2 x+ 2 + 2 -yzgrad div R

5、 =(R)rot rot R =X(XR)div grad(+)= div grad+ div grad(div grad ()=div grad +div grad +2gradgrad div R rot rot R = R式中为哈密顿算子，=二2为拉普拉斯算子。势量场（守恒场） 若矢量场R（x, y, z）是某一标函数(x,R= grad或x=,x丫= ,z=yz则R称为势量场，标函数称为R的势函数。矢量场R为势量场的充分必要条件是：rot R=0，或X = Y Y =ZZ = Xyx ' zyxz势函数计算公式(x, y, z)=(xo,y0,z0)xy+ X x, y0, z

6、0 dx + 丫 x, y,z° dyx0y0grady,z）的梯度，即为常数）无散场（管形场）z+ Z x, y,z dzzo若矢量场R的散度为零，即div R= 0,则R称为无散场.这时必存在一个无散场T,使R= rot T,对任意点M有式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.无旋场若矢量场R的旋度为零，即rot R= 0,则R称为无旋场。势量场总是一个无旋场，这时必存在一个标函数，使R = grad ，而对任意点M有1divRdV4r式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的。二、梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表达式1. 单位矢量的变换一般公式假定x=f ( ,

7、, ) ,y=g ( , , ),z=h (,)把(，)空间的一个区域一对一地连续映射为(x, y，z)空间的一个区域D，并假定f,g,h都有连续偏导数，因为对应是一对一的，所以有=（x，y,z），x,y,z ,x,y,z再假定，,也有连续偏导数，则有dx丄d 丄ddyy dyddyddz dzd或逆变换ddxxdy ydz zddx xdy ydz zddx xdy ydz z沿dx, dy, dz方向的单位矢量记作i, j,k，沿d ,d ,d方向的单位矢量记作e ,e ,e，贝U有iJkx 21 _2y2 zx . iyjzk2y2 zx . iyjzkee2x. y . z2 2y z

8、圆柱面坐标系的单位矢量对于圆柱面坐标系（图8。单位矢量为它们的偏导数为cossin,0ezcossink球面坐标系的单位矢量rsin cos r sin sinr cos单位矢量为ezezzsincos对于球面坐标系r ,0（图2 ,08.12)(/ o图ersincos isinsin jcoskecoscos icossin jsinkesin i cos j它们的偏导数为eree0rrrereee，-er j-0ereesine ,- cose ,sin ercos e2. 矢量的坐标变换一般公式一个由（x, y, z）坐标系所表达的矢量可以用（，）坐标系来表达：=（x， y，z）=xi

9、 + y j + z k = e式中xz22 z2| 222222xVyzdxyzyIy222i222xyzxyzzVzxx2222圆柱面坐标系与直角坐标系的互换由圆柱面坐标系到直角坐标系的变换公式sincossincos由直角坐标系到圆柱面坐标系的变换公式x cos y sinx sin y coszz球面坐标系与直角坐标系的互换由球面坐标系到直角坐标系的变换公式xr sin coscoscossinyr sin sincossincoszr COssin由直角坐标系到球面坐标系的变换公式xsin cosy sinsinz cosx cos cosy cossinz sinxSi ny co

10、s3. 各种算子在不同坐标系中的表达式设U = U(x,y,z)是一个标函数，V= V(x,y,z)是一个矢函数在圆柱面坐标系中各种算子的表达式,、. 1哈密顿算子=e 一 +e +ez 一z梯度gradU =U = eU + e1 UU + ezz 11散度divV =V - 1 -zz1旋度rotV=XV ze +z e +zz11ez1U2212U2U拉普拉斯算子U =div gradU2 2 22 z在球面坐标系中各种算子的表达式 1 1哈密顿算子=er + e+e -r rrsi ngradU =U = errU+ersindiv V=V=4tr1rsinsinr sinrotV =

11、XV =1r sinsiner1+ -r sin拉普拉斯算子U = div gradUsinrsin12U-22r sin三、曲线积分、曲面积分与体积导数的曲线积分定义为矢量的曲线积分及其计算公式矢量场R (r)沿曲线limR() ri1式中ri-1=ri - ri-1,右边极限与的选择无关，曲线 由A到B (图8。13)若矢函数R (r)是连续的(就是它的三个分量是连续函数),曲线也是连续的，且有连续转动的切线，则曲线积分R r dr存在.若R (r )为一力场,则卩=R r dr就等于把一质点沿着移动时力R所作的功。矢量曲线积分的计算公式如下:且与连接A, B两点的路径无关，只依赖于A,B

12、两点的位置（图8.15）.矢量的曲面积分设S为一曲面，令N= cos,cos,cos表示在曲面S上一点的法线单位矢量， 而dS= NdS表示面积矢量元素又设(r)=(x，y,z）是定义在曲面S上的连续标函数，R（r）=（X（ x， y,z）,Y（ x，y，z），Z(x，y，z）是定义在曲面S上的连续矢函数，则曲面积分有如下的三种形式:1 标量场的通量（或流量）dS= dydz i + dzdx j +SSV7Szxdxdy k这里规定法线单位矢量与曲面分布在切面的两侧图 & 16式中Syz, SZx,SXy分别表示曲面S在Oyz平面，Ozx平面, Oxy平面上的投影 S的正负号规定如下

13、：当从z轴正方 向看去时，看到的是曲面S的正面，认为Sy为正，如果 看到的是曲面的反面，则认为 Sxy为负（图8.16）.2 矢量场的标通量R dS=Xdydz+Ydzdx+ ZdXdySSyzSzxSxy式中Syz等的意义同1 .RXdS=(Zj Yk)dydz+SyzSzx3 矢量场的矢通量(Xk Zi)dzdx+(Yi Xj) dxdySxy式中Syz等的意义同1矢量的体积导数如果S是包围体积V的闭曲面，并包含点r，则沿闭曲面S的曲面积 分L dSR dS,RXdS）与体积V之比，当V趋于零时（即它的直径0 ）的极限SSS称为标量场（或矢量场R）在点r处的体积导数（或空间导数）。标量场

14、的体积导数就是它的梯度:dSgrad巳叫=矢量场R的体积导数之一是它的散度:R dSdiv R= lim V 0 V矢量场R的另一个体积导数是它的旋度:dSrot R= lim V 0 V四、矢量的积分定理咼斯公式div RdV=R dS=R NdSVSS即X YdxdydzX cosY cos Z cos dSVxyzS,Z(x.式中S为空间区域V的边界曲面,N = cos ,cos ,cos 为在S上一点的法线单位矢量，R (r)=(X (x, y, z),Y (x, y, z)y, z)在V+ S上有连续偏导数。斯托克斯公式rotR dS=rot RNdS= RdrSSL即ZYXZYXdydzdzdxdxdys yzzxxyZYXZYX*coscoscos dSs yzzxxy=LXdx Ydy Zdz式中S为一定曲面的一侧,L为曲面S的闭边界曲线(L的正向与N构成右手系)。S的每点有切面，其方向连续地依赖于曲面上的点，而边界曲线L上的每