第二章介观环中加入磁场的输运特性

1、第二章 介观环中加入磁场的输运特性2.1模型与基本公式Equation Chapter (Next) Section 1 对圆环的研究要追溯到 Aharonov 和 Bohm 发现了矢势在量子力学中的重要性40。在介观尺度下，考虑一个两端由引线连 接的圆环，在圆环中心施加一磁通，在引线和圆环中磁场为零，但矢势不为零， 造成出射端有相位差，从而引起了量子干涉效应，1959年由Aharonov和Bohm首先提出的，所以就称之为 AB效应，该磁通就称为 AB磁通，该圆环就称为 AB环。AB效应于1985年由Akira. To no mura等人利用超导体禁闭磁通，从实 验中成功地证实了 Aharon

2、ov-Bohm效应。另一类叫AC效应，类似AB效应，但 不同的是AC效应是由自旋轨道耦合引起的，该圆环就称为AC环41。近年来，对AB环的研究引起了广泛的关注，在理论42和试验上43都取得了进展。针对AB环两端引线处于对称位置的输运问题有不少的文章对此作了报道 44-47，本文主要是对右端引线处于不对称出射的AB环进行研究，通过分析计算结果，讨论了磁通和右端引线的出射位置对输运系统的影响。对于一个输运系统，电导决定其输运性能的优劣，通过研究发现不但施加的磁通可以影响该系统的电 导，而且出射端引线的位置对电导也有影响；进一步把结果和不加磁通时的结果对比，并得出相应的结论。我们研究的模型如图2-1

3、所示，由半径为a的量子线组成的圆环，环上相对 两个节点通过引线与左右外界相连。将其中的量子线分成四段，分别标记0，1,2和3;属于圆环系统的量子散射冋题，电子由左端引线入射，经圆环系统后由右 端引线出射。弓I线和圆环都置于 xy平面内，在圆环的中心以长直螺线管沿 z轴 正向施加磁通G，即Aharonov-Bohm型磁通。在引线和圆环中磁场处处为零， 但磁通可以通过矢势影响电子的散射行为。环量子输运模型的示意图(不对称出射)描述电子在圆环上运动的薛定谔方程为4712m談2(1-1)其中m和-e分别表示电子的质量和电荷，方二h 2二和c分别为普朗克常数和真空中的光速，A为矢势，E为入射电子的能量。

4、如图2-1所示，各个区段的波函数可分别设为：n(X)=人* BoikX , (1-2)Ae心Bf®J(f)=人(皿B2ek(5,(1-4)(l1、宙。ut( X J = Aexp -i 号 J A df eikx, (1-5)IQl 0丿中电子波矢k *2mE力.，圆环周长I = h 12，并且,AM L A,2(I、en -exp - i Ad f ,l叭 丿(I、exp -i4 Adf , Bf)二 B.I出0 丿=甲inx=01£=02根据波函数连续性条件丄1 、(1-7)outX=0 j (1-8)将( 2-2) - (2-5)代入(2-7), (2-8)得到:1B

5、。= A B = A2eikl2B2eJkl2 e，(1-9)A1eikl1Bq"1 = AB2 = A3,(1-10)其中环路积分相位e 1e二刖叫，1-11)2.2 AB环中几率流守恒公式的推导由粒子数守恒可得cP cJ亍0(1-12)-宇宇为概率密度，J代表几率流在圆环上系统的哈密顿量为丄*£+eA【2m I 戏 c丿，由含时薛定谔方程忙加可得,_ 1 严 F i/je $ " i/je .£ .fe=2m2、2Ah(cA"(1-14):t 2m f 2mc ¥ “a ”'eA¥,(1-15)2mc '

6、 i/?2m c且有心-“鑫316)二 _2m_2mc寸"_2mcA代入方程(2-13)有：讯=丹+叶空+丹jt：t：tih 一：2*一A样一旦 AM"2mc2mc 汀e .盒詁2小-A TV2m dl-2 eA A；r2m2mc2mci/i2m c "烽徐A叮5岁仲2mc前少河卜盏A評划、2m cl世_2m i cl*2m 巩 dl.u2m2.+丹e 3乙刑+强12mcA "e ：e ?瓦盂A疋)和-議A亍甲和,(1-17)进一步写成cP;:tjr 證护盏 AE ,(1-18)+2mc对比(2-12河知，几率流为空+A徑® i方豊甲+eA甲甲

7、+'山c),(1-19)类似地，在两端引线上的哈密顿量与圆环上不同，其几率流可以写成-2m cf.(1-20)由于几率流守恒要求(尸中+i “in"X丄-'inXx =0孑弓2 尹V 4川:2 *尹行2、 空： + eA 空 碰 c是二 0,利用波函数的连续条件r,上式可以化简为十诈Ra長丄I +X0(1-22)7-i in j XX=0沙 y(1-23)则有+X卫i产"；X"4(空応/十(1-24)"=0i孑甲+/+ 11txx=0I以及(1-25)-inx.B',代入(2-22)式有=0,(1-26)所以B ： B =0时,且

8、由(2-23)式可知B丄B，所以可以取B = 0。有-i+ 1祁号+ eA長2x £C=i=0.(1-27)=0所以B =0是左端引线连接点的几率流守恒的充分条件，方程(2-27)即为Griffith 边界条件48,49类似地，我们可以求得右端引线连接点的 Griffith边界条件为1=0.(1-28)2.3问题求解由上述Griffith边界条件文xobxc+.1P亠 B。 A + 0 十(A2e_2 B2e±2CD-©-Houol)ild ildA3+(Ae Ble )A)+B2 np(r32)(20) (2二 0) (229) (200)日笳一9729)Hoo

9、oo)y+ BzA2e2 + Bo)邑;(云4) H (1 十 Box亠 + Bo + A 0 ( A2e_2 Bo)艮 2 )ee H 2(r35)A B2 (&¥ Be吉)+A£?36)>(2O3)M曲(2O4)M曰笳丄十0込 A A "占I 2isin(kh) - I 2isin(kh)-In 一2isin(k_2 ) 2isin(k_2)KA ( 2o5)Ma( 2O6)M曰笳T(k-2)十 sin(k-1)e AA3 I 町 n(k-)丄 sin(kh)sin( k-2) =1 + Bor2i sin(kh)sin( k-2)-(r39)s

10、in(k-)isin(kh)sin(5一2)7(40) sin(k-2)+sin(kh)e_ -i2sin( kh)sin( k-2) sin(k-2)+e- sin(kh) ' ' rsin2(k-2) +Sin2(kh ) +2sin( kh)sin( k-2)cos 0 I kin(k-)丄 sin(kh)sin( k-2二匕4)Bo =sin2(kl2) +sin2(klj +2sin( kl1 )sin( kl2)cos © - Bin(kl) i sin(kljsin( kl2)(1-42)可以进一步化简：si n(kl七(1_43)cosk(l2-h)

11、l-5cos”k l2 h i 亠 4isi n ”k l2 h亠 4coscos k(hl2) h：； 3cos |k h l2 J4cos透射率为:T =A3 A16”2sin(kljsin( kl2)cos 亠sin2(klj sin2(kl2)cos2 |k h -l2 I 10cos | k h-l2 ：lcos|k l1 - l 亠 8cos|k h-Jjcos，-40cos | k h l2 ： bos 9cos21| k h l2 J 16cos216(1-45)反射率为:icosk-12)卜:;3cos|k l1 l2-4cos /cos21|k h - I? - 10cos

12、|k h -I? ：lcos|k h I2 i 亠8cos|k -40cos|k h l2lcos 9cos2 |k l1 l216cos2 16(1-46)可以验证R T =1令:二k h I2 ,亠k h J，可得16 1 - cos： -cos： cos -cos： cos：cos P -10cosa cos 卩 +8cos P cos© -40cosa cos© +9cos2a +16cos2© +16(1-47)bcosG + cos P - 4cos e fR -cos2 卩-10cosa cosP +8cos P cos© -40cosa

13、cos$ +9cos2。+16cos2© +16(1-48)如果h =12，贝=0, (2-47)和(2-48)式可以简化为：4i si n(®2)(1+e询1 3cos ： - 4cos 'A, B0,(1-49)1-5cos t " 4i sin_：i 】 4cos1-5cos t " 4i si n t " 4cos如果左右引线处于对称位置，即h，并且没有磁场，即门=0,上述结果还可以进一步简化为3i sin(： 2)A3 一 4COS(: 2) i5sin(: 2) '4cos(: 2) i5sin(: 2)，(1-50

14、)根据Landauer-Buttiker公式50,51,利用(2-47)还可以计算零偏压下圆环系统的电导为,(1-51)令Go二16 1 - cos： -cos： cos -cos： cos -2e2222jh cos - 10cos二cos 8cos : cosT 40cos二 cos9cos 二 i 16cos T 162e2 T,所以有16 1 - cos：- -cos ： cos - cos cos :cos ：10cos =cos.亠 8cos ： cos 40cosh cos亠 9cos2 T6cos2 J T6(1-52)在绝对零度零偏压时，由Buttiker公式39可知，散粒噪

15、声功率为,33sj-T 供(1-53)_ 216 1 - cos： -cos： cos -cos： cos3cos= 11 cos： - 4cos 1利用(2-47) (2-48)圆环系统的散粒噪声可以写成,S用 2222h cos -10cos-icos 亠 8cos cos -40cos ：cosr 亠 9cos :亠 16cos “ 亠 16 (1-54)bcos J 'cos - - 4cos fFano因子为,Si3cosa +F =SP cos2 卩 T0cos 口 cos P +8cos P cos© 40cos。cos© +9cos% +16cos2

16、© +16 '(1-55)当不存在磁通量，即.=0时，圆环的电导为,16 1 -cos二，cos -cos： cos!：:;g 22,(1-56)cos 戸一lOcosot cosP +8cosP 40cosg +9cos g +32散粒噪声为,S 2e3 16(1cosa +cos0 cosa CosB I 3cosa +cosB 4 )2(1 57)h cos2 .? -10cos:2 2cos： 8cos ? -40cosx " 9cos 工-3223cos二川 cos1： -4F =22, (1-58)cos : 10cos： cos ： 8cos ： 40

17、cos二"9cos 二-322.4分析与讨论首先我们讨论圆环加入磁通时的电导和散粒噪声随磁通量和:的变化。在Fig.2-2(a)(b)分别为- -：2和: =2二时的情形。图中可以看出电导随增大时, 在改变磁通量时所表现出的不同的行为。Fig.2-2.电导在圆环周长一定时，随出射引线位置和磁通的变化图。当=2二时Fig.2-2(b),=0时，电导总为零；而当2时Fig.2-2(a),，0时，电导不为零。且随着:增大时，对称出射时(即为0 )的电导特性也不一样，当- =2二时，电导总为零；而当- -/2时，电导随着磁通量的变化在最大值与最小值之间振荡。0.20-2.0-1.5-1.0-

18、05 fl.O 051.01 520p/n（b）0.10Fig.2-3.散粒噪声(单位为2e'/h )在圆环周长一定时，随出射引线位置和磁通的变化图。接下来我们研究散粒噪声，在 Fig.2-3(a)(b)分别为:=7,2和:一 2二时的散粒噪声频谱。当=2：时Fig.2-3(b),=0时，散粒噪声总为零；而当:= 2时Fig.2-3(a), '=0时，散粒噪声不为零；这个特点与电导相似。对比Fig.2-2(a)与Fig.2-3(a)，我们可以清晰的看到散粒噪声所显示的新的特点，当：一 2时，不管怎样改变出射引线在圆环上的位置，电导值基本不受影响，总能取得最大值， 更重要的是此时

19、在相同的区间散粒噪声值达到最小值；从Fig.2-2(b)与Fig.2-3(b)也可发现相同的特点，调节磁通量的大小和圆环出射引线的位置可以使得电导达 到最大值时散粒噪声达到最小值。2015-1.0-0500051.01-52 0Fig.2-4. Fano因子在圆环周长一定时，随出射引线位置和磁通的变化图如Fig.2-4所示，是Fano因子分别为:=. 2(a)和=2二(b)时的三维等高图。Fano因子可以反映系统的相互作用；F =1时，对应于闭合通道，相当于电子全 被反射，电子之间的关联较大；F =0时，对应于开放通道，相当于电子全透射, 电子之间的关联最小。由图中可以看出， F =0的区域即

20、为电导达到最大值时的 区域，且F =0时电子之间的关联最小，电流的涨落为零，所以散粒噪声为零。Fig.2-5.电导在圆环周长一定且出射引线固定时，随磁通的变化图。为了研究AB环的电导随的变化，在Fig.2-5中画出了三种情况下的电导图。：的改变可以通过改变入射电子的波矢或者改变圆环的大小。电导是 的以2二为周期的函数。我们可以看到，随着:减小，'=0时的电导却越来越大；且:不同，电导达到最大值时所加的磁通量也不同，不与 :成比例。Fig.2-6.散粒噪声（单位为2e3. h ）在圆环周长一定且出射引线固定时，随磁通 的变化图。如上图所示，与Fig.2-5相同的条件下，当3=0时，随减小

21、，散粒噪声值 也越来越小；：越大，散粒噪声达到最小值时所需的磁通量越来越大。 从图中可 以看出，与电导不同，散粒噪声的周期变大。与 Fig.2-5相比较可以看出，在电 导的一个周期0L2二内，当=2二时，、1.65二处电导达到极大值，散粒噪声 同时达到极小值；当-时，、0.76二处电导达到极大值，散粒噪声达到极小 值；当=型2时，弋.4二电导达到极大值，散粒噪声达到极小值；所以在电 导的一个 '的周期内，总能同时使得电导达到极大值，散粒噪声达到极小值。Fig.2-7. Fano因子在和 -固定时，随磁通的变化图如上图所示，当F =0时，是电子的相互关联最小的情形，所以此处的电导 也是达到最