向量代数与空间解析几何课件

1、12 定点定点ox横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴空间直角坐标系空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住 z 轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指度转向度转向 y 轴正向时，轴正向时，大拇指的指向就是大拇指的指向就是 z 轴的正向轴的正向. .从从 x 轴正向以轴正向以 角角2 3xoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限xyoz4)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxCxyzo),(zyxM 空间的点空间的点有序数组有序数组),(

2、zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C一个分量为零一个分量为零: :点在坐标面上点在坐标面上. . 两个分量为零两个分量为零: :点在坐标轴上点在坐标轴上. . 5, ),(1111zyxM设设),(2222zyxM为空间两点为空间两点,由勾股定理，得由勾股定理，得两点间的间隔两点间的间隔 公式：公式： 22122122121)()()(|zzyyxxMM Oxyzz1z2x2x1y1y2M2M1特特别别，点点),(zyxM与与原原点点)0 , 0 , 0(O的的距距离离为为 222|zyxOM 6

3、 在在 z 轴上求与两点轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和和B(3, 5, 2)等间等间隔隔 的点的点.设该点为设该点为M(0, 0, z) , ,由题设由题设 |MA| = |MB| ,即即222222)2()05()03()7()01()04( zz 解得解得，914 z即所求点为即所求点为.)914, 0, 0(M例例1 1解解7一、向量的概念一、向量的概念1、向量向量: 既有大小既有大小, 又有方向的量又有方向的量, 称为称为向量向量 (或或矢量矢量).用一条有方向的线段来表示向量用一条有方向的线段来表示向量.2、向量的几何表示法向量的几何表示法以线段的以线段的长度长度表示向量的表

4、示向量的大小大小, ABa特别特别: : 模为模为1 1的向量称为的向量称为单位向量单位向量. . 模为模为0 0的向量称为的向量称为零向量零向量. .记为记为 , ,它的方向可以看作它的方向可以看作是任意的是任意的. .0有向线段的有向线段的方向方向表示向量的方向表示向量的方向. .以以A为起点为起点, B为终点的向量为终点的向量, 记为记为 或或 .ABa向量向量 的大小叫做向量的的大小叫做向量的模模. 记为记为 或或 . ABAB|a| |83、自由向量自由向量a自由向量自由向量：只有大小、方向：只有大小、方向, 而无特定起点的向量而无特定起点的向量. 具有具有在空间中可以任意平移的性质

5、在空间中可以任意平移的性质.ba与与若若向向量量大小相等且方向相同大小相等且方向相同,记记作作相相等等与与称称 .ba.ba aab4、向量相等向量相等即通过平移即通过平移可以使它们可以使它们重合重合, ,95、向量平行向量平行(或共线或共线)abab6、向量共面向量共面 当把假设干个向量的起点放在一起时当把假设干个向量的起点放在一起时, ,假设它们假设它们的终点和公共起点在一个平面上的终点和公共起点在一个平面上, ,那么称这些向量共那么称这些向量共面面. . 如果两个向量如果两个向量 与与 的方向相同或相反的方向相同或相反, ,称为称为平行平行, ,记为记为abab10, 0 a, 0 ba

6、b 称称为为向向量量 a与与向向量量 b的的夹夹角角, 记记为为 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.)0( AOBAOB 则则),(ba),(ab或或.7、两向量的夹角两向量的夹角将它们平移，使得始点重合，将它们平移，使得始点重合， ab方方向向相相同同与与ba:0 方方向向相相反反与与ba: 平行，平行，垂垂直直与与ba:2 .ba 111、向量的加法向量的加法(1) 平行四边形法那么平行四边形法那么abbba (2) 三角形法那么三角形法那么abba b向量的加法向量的加法12向量加

7、法的运算规律：向量加法的运算规律：(1) 交换律交换律: abba (2) 结合律结合律:)()(cbacba ba ababcb cba abcba 13多个向量相加多个向量相加: : s1a2a3a4anaaa 21从从1a的的起起点点开开始始, ,首首尾尾相相接接, ,指指向向na的的终终点点. . 例如例如,4321aaaas 14abb b cbabac )(2) 向量减法向量减法.规定规定:)( baba (1) 负向量负向量: 与与 模相同而方向相反的向量模相同而方向相反的向量, 称为称为 的的负向量负向量, 记作记作 .aaa aa 将将 之一平移之一平移, 使起使起点重合点重

8、合, 由由 的终点向的终点向 的的终点作一向量终点作一向量, 即为即为 abba,.ba abba ba 15定义定义模：模： |aa 当当 0时时, ;同同向向与与aa 当当 0时时, 当当 = 0时时, ., 0它它的的方方向向可可以以是是任任意意的的 a 设设 为实数为实数. 规定规定: 向量向量 与数与数 的的 为一个向量为一个向量.a 乘积乘积aaa 0 ;反反向向与与aa a 0 方向：方向：16向量与数的乘积的运算规律向量与数的乘积的运算规律:(1) 结合律结合律:aaa)()()( (2) 分配律分配律:aaa )(baba )(定理定理设设0 a, ,则则ab/存存在在唯唯一

9、一实实数数k, ,使使akb . . 向量的单位化：向量的单位化：，设设0 a则则 表表示示与与 a方方向向相相同同的的单单位位向向量量. . aa|117例例2 2 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边, ,且其长度等于第三边的一半且其长度等于第三边的一半. . 如如图图所所示示, ,设设ED,分分别别为为ACAB,的的中中点点, ,则则 证证ABCDE,21ABAD ADAEDE ,21ACAE 所以所以)(21ABAC ,21BC 所以所以,/ BCDE且且.21BCED 18设设cba,两两两两不不平平行行, ,若若0 cba, ,则

10、则 cba,构构成成一一个个三三角角形形. . 设设立立方方体体三三边边为为cba, ,FEDCBA,为为各各边边中中点点, , 例例3 3证证证证明明：EFCDAB,构构成成三三角角形形. . ABCDEFOabc, )(21baAB , )(21caCD , )(21bcEF 0 EFCDAB, ,即即构构成成三三角角形形. . 19设设FED,分分别别是是 ABC 三三边边的的中中点点, ,证证明明 类类似似, ,设设dcba,两两两两不不平平行行, ,若若0 dcba, ,则则dcba,构构成成一一个个四四边边形形( (但但不不一一定定共共面面) ). . 练习：练习：证证明明向向量量

11、CDBFAE,构构成成某某个个三三角角形形的的三三边边. . 201. 起点在原点的向量起点在原点的向量(向径向径)OM设点设点 M (x,y, z)zijkMoxyCABzyxN以以 分别表示沿分别表示沿x, y, z轴轴正向的单位向量正向的单位向量, 称为称为基本单位基本单位向量向量. .kji,OM = OA + AN +NM r= OA + OB + OC,kzj yix 称称 OA、OB、OC分别是分别是OM 在在 x 轴轴, y 轴轴, z 轴上轴上的的分向量分向量, 而而x, y, z,分别是分别是OM 在三坐标轴上的投影在三坐标轴上的投影, 称为称为OM 的的坐标坐标.简记为简

12、记为 , 此称为向量此称为向量 的的坐标表示式坐标表示式.OMr ,zyxr 21xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaPMQMPMazyx 111 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 2. 起点不在原点起点不在原点O的任一向量的任一向量21MMa 设点设点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2)22kzzjyyix

13、xMM)()()(12121221 按根本单位向量的坐标分解式：按根本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐标坐标：,zyxaaa向量的向量的坐标表达式坐标表达式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 23,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( .)()()(kajaiazyx 24两向量平行的充要条件：两向量平行的充要条

14、件：即即 ax = bx，ay = by，az = bz，于是于是./zzyyxxbabababa 即对应的坐标成比例即对应的坐标成比例.注注: 在上在上 式中规定式中规定, 假设某个分母为零假设某个分母为零, 那么相应的分子那么相应的分子也为零也为零.已知已知baba /设设,zyxaaaa ,zyxbbbb 且且 为常数为常数,25设设点点),(111zyxA, ,),(222zyxB, ,在在线线段段AB上上求求一一点点M, ,使使 MBAM )1( . . （定定比比分分点点） ,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，ABMxy

15、zo例例4 4解解由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 26,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzz M的坐标为的坐标为)1,1,1(212121 zzyyxx 特特别别, ,1 , ,得得线线段段AB的的中中点点 )2,2,2(212121zzyyxx 27设设向向量量,zyxr ， 作作kzj yi xrOM ， xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxN),(zyxM 由勾股定理知，由勾股定理知，,

16、|222zyxOMr 此即向量此即向量模的坐标表示模的坐标表示. . 28 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为称为方向角方向角. . ，,zyxOMr 设设xyzo M,0 ,0 .0 29 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为称为方向角方向角. . ，,zyxOMr 设设xyzo M 由图分析可知由图分析可知 cos|rx cos|ry cos|rz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示方向余弦通常用来表示向量的方向向量的方向. .30 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为称为方向角

17、方向角. . ，,zyxOMr 设设xyzo M 222|zyxr ,cos222zyxx 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式时，时，当当0|222 zyxr,cos222zyxy .cos222zyxz 311coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为,cos222zyxx ,cos222zyxy .cos222zyxz 32 已知两点已知两点M1(2, 2, )和和M2(1, 3, 0). 计算向量计算向量M1 M2的模的模, 方向余弦和方向角方向余弦和方向角.2例例5

18、5解解M1 M2 = 1, 1, 221MM;22cos ,21cos ,21cos .43 ,3 ,32 ;2)2(1)1(222 模模:方向余弦：方向余弦：方向角：方向角：33 已知两点已知两点A(4, 0, 5)和和B(7, 1, 3). 求方向和求方向和AB 一一致的单位向量致的单位向量.例例6 6解解，14)2(13|222 AB.142 ,141 ,143| ABABa,2, 1, 3 AB34P8 1. 35sF解解: : 由物理知由物理知, 与位移平行的分与位移平行的分力作功力作功, 与位移垂直的分力与位移垂直的分力不作功不作功. 于是于是一、向量的数量积一、向量的数量积|co

19、s|SFW 例如例如: 设力设力 F 作用于某物体上作用于某物体上, 物体有一段位移物体有一段位移 S , 求功的表示式求功的表示式.cos| SF 36ab 数量积也称为数量积也称为“点积、点积、“内积内积.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积个向量在这向量的方向上的投影的乘积. .定义定义,Prjcos|bba ,Prjcos|aab abbabPrj| .Prj|baa cos| |baba 向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba ， ( (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角) ) 投影投影37数量

20、积符合以下运算规律：数量积符合以下运算规律：1 1交换律：交换律：;abba 2 2分配律：分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数： . )()()(bababa 38关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证证证.| aaa 即即0)2( ba.ba , 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos . ba 即即，2|)1(aaa ,ba ,0cos . 0cos| | baba, 0 .|cos| |2aaaaa ,2 ,2 39例例1 1 利用向量证明三角形的余弦定理利用向量证明三角形的余弦定理证证ab c.cos2222 abbac , bac 由于由于)()(| 2

21、babaccc babbaa 2， cos| |2|22baba .cos2 222 abbac 40证证明明三三角角不不等等式式 |baba . 例例2 2证证 cos| baba，|ba )()(| 2bababa 22| |2|bbaa 222bbaa ，2) | (ba 所以所以. |baba 41,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)()(kbjbibkajaiazyxzyx ,kji ,0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa ijk42 cos| |baba ,| |cosbaba 222222coszyxzyxzzyy

22、xxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为43例例3 3解解已知已知3 , 1, 2 a，4 , 1 , 3 b，求，求 ba ； baab22 。 (1)ba ;17431)1(32 ,143)1(22222 a,264132222 bbaab22 4 , 1 , 3143 , 1, 226 .22,40,10 (2)44例例4 4解解;1100111 AMB cos.),2 , 1 , 2()1 , 2 , 2()1 , 1 , 1( AMBBAM 求求和和

23、已知三点已知三点、,21221 .3 AMB.,的的夹夹角角与与就就是是向向量量作作向向量量MBMAAMBMBMA ,0 , 1 , 1 MA,1 , 0 , 1 MBMBMA ,2,2 MBMAMBMAMBMA ABM45先研究物体转动时产生的先研究物体转动时产生的力矩力矩LFPQO 设设 O 为为一一根根杠杠杆杆 L 的的支支点点， 有有一一力力 F 作作用用于于这这杠杠杆杆上上 P 点点处处力力 F 与与 OP 的的夹夹角角为为 ，力力 F 对对支支点点 O 的的力力矩矩是是一一向向量量 M，它它的的模模 |FOQM sin| |FOP M 的的方向方向: 垂直于垂直于OP与与F 所在的

24、平面所在的平面, 指向使指向使OP、F与与M 满足满足右手规则右手规则.46定义定义向向量量a与与b的的向向量量积积 bac 规规定定为为 sin| |)1bacc 的模的模大小：大小：(其其中中 为为a与与b的的夹夹角角) 2 2) )方方向向：c的的方方向向同同时时垂垂直直于于a和和b， 即即垂垂直直于于a, ,b所所决决定定的的平平面面, ,a, ,b和和ba 成成右右手手系系. . 向量积也称为向量积也称为“叉积、叉积、“外积外积. .bac ab47注注: 1向量积的模的几何意义向量积的模的几何意义.|ba 是是以以ba,为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积； （2 2）

25、0 ba 当当且且仅仅当当 ba/. . （3 3）0 aa sin| |baba bac ab48向量积符合以下运算规律：向量积符合以下运算规律：1反交换律：反交换律：.abba 2分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa )()(baba bbbaabaa .2ba 例例5 549,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( ij

26、k50向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示.zyxzyxbbbaaakjiba ba kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 51求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量. bac 211423 kji,510kj ,55510|22 c|0ccc . )5152(kj 例例6 6解解52在在顶顶点点为为)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的的三三角角形形中中，求求AC边边上上的的高高BD. ABCD3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|

27、21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |521225BD .5| BD例例7 7解解|21BDACS |ABAC 054340 kji,161215kji 53设已知三个向量设已知三个向量cba,，数量数量 cba )(称为称为这三个向量的这三个向量的混合积混合积，记为，记为cba. . 定义定义cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式541向量混合积的几何意义：向量混合积的几何意义： 向向量量的的混混合合积积cba是是这这样样

28、的的一一个个数数, 它它的的绝绝对对值值表表示示以以向向量量cba,为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积. acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三三向向量量 a、b、c 共共面面 . 0 cba55ABCD已知空间内不在一平面上的四点已知空间内不在一平面上的四点),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD, 求四面体的体积求四面体的体积. 由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分

29、分之之一一.| |61ADACABV 例例8 8解解56,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 141414131313121212 abs 61 zzyyxxzzyyxxzzyyxxV ABCD,121212zzyyxxAB 57例例9 9解解判别判别)2 , 0 , 3(),4 , 3 , 1(),2 , 1 , 1(),1, 1, 2(DCBA 四点是否共面？四点是否共面？ 只要判别三个向量只要判别三个向量AB、AC、AD是否共面即可是否共面即可 630420321 ,3 , 2 , 1 AB,5 , 4 , 3 AC,3 , 1 , 1 AD311543321)

30、( ADACAB,0 因此因此 A、B、C、D 四点共面四点共面 58解解例例1010已已知知2 cba，计计算算)()()(accbba . )()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba .4 59向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积向量的混合积向量的混合积结果是一个数量结果是一个数量结果是一个向量结果是一个向量结果是一个数量结果是一个数量注意共线、共面的条件注意共线、共面的条件60P15 1. 61xyzo 假如一非零向量垂直于假如一非零向量垂直

31、于一平面，这向量就叫做该平一平面，这向量就叫做该平面的法线向量面的法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知平面的法线向量为已知平面的法线向量为,CBAn 设平面上的任一点为设平面上的任一点为，),(zyxMn一、平面及其方程一、平面及其方程),(0000zyxM且过点且过点求平面方程求平面方程.0MM1、平面的点法式方程、平面的点法式方程62,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA 平面的点法式方程平面的点法式方程,CBAn ),(0000zyxM),(zyxM00 nMMxyzon0MM63求求过过点点)0 , 3,

32、 2( A且且以以3 , 2, 1 n为为法法向向的的平平面面方方程程. . 解解例例1 1，03)3(2)2( zyx化简得所求平面方程为化简得所求平面方程为.0832 zyx由平面的点法式由平面的点法式64求过三点求过三点)1, 0 , 1( A、)2 , 1 , 2(B和和)1 , 1 , 1( C的平的平面方程面方程. ,3, 1, 1 AB取取ACABn ,3, 8, 1 所求平面方程为所求平面方程为, 0)1(3)0(8)1( zyx化简得化简得.0438 zyx解解例例2 2BCAn212311 kji,2, 1, 2 AC65一一般般, ,若若三三点点)3 , 2 , 1( )

33、,( izyxAiiii不不在在一一直直线线上上, ,则则这这三三点点确确定定一一张张平平面面, ,其其方方程程为为( (混混合合积积) ) 0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx, 或或 01111333222111 zyxzyxzyxzyx. . 称为平面的称为平面的三点式方程三点式方程 66求求过过点点) 1 , 1 , 1(,且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程. ,1, 1, 11 n12, 2, 32 n所以所求平面的法向量为所以所求平面的法向量为21nnn 5,15,10 化简得化简得. 0632 zyx,

34、 0)1()1(3)1(2 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解例例3 3两平面的法向分别为两平面的法向分别为1223111 kji,1, 3, 2/67 前面看到前面看到, ,平面可用平面可用三元一次方程三元一次方程表示；反之表示；反之, ,任一三任一三元一次方程元一次方程 0 DCzByAx（* *） 当当 A, ,B, ,C 不全为零时不全为零时, ,表示一张平面表示一张平面, , 它的法向为它的法向为 ,CBAn * *称为平面的一般方程称为平面的一般方程. . 68平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2

35、( A , 0, 0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0 DCzByAx69解解例例4 4求通过求通过 x 轴和点轴和点(4, 3, 1)的平面方程的平面方程.由于平面过由于平面过 x 轴轴, 所以所以 A = D = 0.设所求平面的方程为设所求平面的方程为 By + Cz = 0 ,又点又点(4, 3, 1)在平面上在平面上, 所以所以 3B C = 0 , C = 3B , ,所求平面方程为所求

36、平面方程为 By 3Bz = 0 ,0 B显然显然所以所求平面方程为所以所求平面方程为.03 zy70设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR(其其中中0 a,0 b,0 c), 求求此此平平面面方方程程. 设平面方程为设平面方程为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解例例5 571代入即得所求方程为代入即得所求方程为1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距oyPxzQR,

37、aDA ,bDB .cDC ,0 D显然显然,0 DCzByAx72把平面方程化为截距式把平面方程化为截距式, 14/556/5 zyxxyzo求求平平面面0546 zyx与与三三个个坐坐标标面面所所围围四四面面体体的的体体积积. . .1441254556561 V解解例例6 673两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. .定义定义通常取锐角通常取锐角1 1n2 2n , 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 74按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有2222222121212

38、12121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 75求求两两平平面面062 zyx和和052 zyx的的夹夹角角. . 解解例例7 7，2 , 1, 11 n两平面的法向分别为两平面的法向分别为，1 , 1 , 22 n，321 nn，6|21 nn21|cos2121 nnnn .3 76解解例例8 8 判断以下各组平面的位置关系：判断以下各组平面的位置关系：；：0432 )1(1 zyx .01865 2 zyx： ，1 , 3, 21 n，

39、8 , 6 , 52 n，021 nn. 21 ,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合01224, 012)2( zyxzyx解解77,212142 21)0 , 1, 1()0 , 1, 1( MM两平面平行两平面平行所以两平面重合所以两平面重合.02224, 012)3( zyxzyx,1, 1, 21 n2 , 2, 42 n解解78.0)1, 1 , 0()1 , 1 , 1( 21，求求它它的的方方程程平平面面且且垂垂直直于于和和一一平平面面通通过过两两

40、点点 zyxMM1 1M2M1n.02 zyx111201 kji,1, 1, 2 解解例例9 9所求平面的法向为所求平面的法向为，过过点点)1 , 1 , 1(1M，0)1()1()1(2 zyx化简得化简得n121 nMMn 79过过点点)1 , 3, 2( 且且与与平平面面0432 zyx平平行行的的平平面面方方程程. . 将将)1 , 3, 2( 代入得代入得 7 D, , 所求方程为所求方程为 0732 zyx. . 解解例例1010，032 Dzyx设所求方程为设所求方程为80设设),(0000zyxP是平面是平面ByAx 0 DCz 外一点，求外一点，求0P到平面的距离到平面的距

41、离. 1PNn0P 解解则有则有 0111 DCzByAx, , 在平面上取一点在平面上取一点),(1111zyxP, , 显然有显然有 |01ndnPP , , 而而,10101001CBAzzyyxxnPP )()()(101010zzCyyBxxA )(111000CzByAxCzByAx ，DCzByAx 00081222000|CBADCzByAxd 点到平面间隔点到平面间隔 公式公式如如, ,点点)1 , 1 , 1(到平面到平面0432 zyx的距离为的距离为 ，DCzByAxnPP 00001，而而222| CBAn 1944132 .144 , |01ndnPP 82平面的方

42、程平面的方程熟记平面的几种特殊位置的方程熟记平面的几种特殊位置的方程两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的间隔点到平面的间隔 公式公式.点法式方程点法式方程一般方程一般方程截距式方程截距式方程 注意两平面的位置关系注意两平面的位置关系83xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两个不平行平面的交线空间直线可看成两个不平行平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA 空间直线的一般方程空间直线的一般方程L1、空间直线的一般方程、空间直线的一般方程84xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 假如一非零向量平行于一条直假如一非

43、零向量平行于一条直线，这个向量称为这条直线的方向线，这个向量称为这条直线的方向向量向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM pzznyymxx000 85pzznyymxx000 直线的点向式方程直线的点向式方程(或对称式方程或对称式方程)注注：若：若0 m, ,理解为理解为 lzznyyxx000, , 若若0 nm, ,理解为理解为 00yyxx, , 此时直线与此时直线与 x 轴垂直；轴垂直； 此时直线与此时直线与 xOy 面垂直面垂直. 86tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直

44、线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦. 直线的参数方程直线的参数方程87求求过过两两点点),(111zyxA、),(222zyxB的的直直线线方方程程. . 解解例例1111 直线的直线的两点式方程两点式方程 方向向量为方向向量为，,121212zzyyxxAB 121121121zzzzyyyyxxxx 所以所求直线方程为所以所求直线方程为88一一直直线线过过点点)4 , 3, 2( , 且且和和 y 轴轴垂垂直直相相交交，求求其其方方程程. 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直线方程所求直线方程.4

45、40322 zyx解解例例1212因为直线和因为直线和 y 轴垂直相交轴垂直相交, 89即直线过点即直线过点)2 , 0 , 1( , , 解解例例13 13 将直线一般式化为对称方程及参数方程：将直线一般式化为对称方程及参数方程： 043201zyxzyx先在直线上找一点：先在直线上找一点：,1 x令令， 06302zyzy解得解得， 20zy90两两平平面面的的法法向向：1111， n, ,3 , 1, 22 n, , 直直线线的的方方向向向向量量为为 3, 1, 421 nns， 直直线线的的对对称称方方程程为为 32141 zyx. . 再求方向向量：再求方向向量： 043201zyx

46、zyx1 2 1n2n参数方程为参数方程为.3241 tztytx即直线过点即直线过点)2 , 0 , 1( , , 91 定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角称为两两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角直线的夹角.通常取锐角通常取锐角 两直线的夹角公式两直线的夹角公式s1s292两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直

47、线直线:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即93求两直线求两直线 1L：21213 zyx和和 2L：230212/3 zyx的夹角的夹角. . 解解例例1414,851517|220213|cos .851arccos 94定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直称为直线与平面的夹角线与平面的夹角,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns.20 95222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线

48、与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm)2cos(sin | )2cos(| 96例例15 15 断定以下各组直线与平面的关系：断定以下各组直线与平面的关系：. 3224: 37423: )1( zyxzyxL和和又点又点M0( 3, 4, 0)在直线在直线 L 上上, 但不在平面上但不在平面上,所以所以 L 与与 平行平行, 但不重合但不重合.解解L的方向向量的方向向量3 , 7, 2 s 的法向量的法向量2, 2, 4 n,0 ns所以所以 L 与与 平行平行.97解解L的方向向量的方向向量7 , 2, 3 s

49、的法向量的法向量14, 4, 6 n,/ns所以所以 L 与与 垂直垂直.81446: 723: )2( zyxzyxL和和例例15 15 断定以下各组直线与平面的关系：断定以下各组直线与平面的关系：98解解L的方向向量的方向向量4, 1 , 3 s的法向量的法向量111， n. 3: 431232: )3( zyxzyxL和和,0 ns所以所以 L 与与 平行平行.又又 L 上的点上的点 M0(2, 2, 3) 满足平面方程满足平面方程,所以所以 L 与与 重重合合.例例15 15 断定以下各组直线与平面的关系：断定以下各组直线与平面的关系：99设设直直线线 :L21121 zyx，平平面面

50、: 32 zyx，求求直直线线与与平平面面的的夹夹角角. ,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s|sinsnsn 967 .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角解解例例1616100求求过过点点)4 , 2, 1( 且且与与平平面面0432 zyx垂垂直直的的直直线线方方程程. . 求求过过点点)5 , 2 , 3( 且且与与平平面面34 zx和和152 zyx平平行行的的直直线线方方程程. . 所求直线方程为所求直线方程为 153243 zyx. . 解解例例1717.143221 zyx例例1818解解方向向量方向向量,1, 3, 45, 1, 24, 0 , 1 s101L

51、求过点求过点)3 , 1 , 2(A且与直线且与直线: :12131 zyx垂直相交的直线方程垂直相交的直线方程. . 即即 0523 zyx, , 例例1919解解，0)3() 1( 2)2( 3 zyx A ， tztytx1213，0614 t，73 tB过点过点 A 且与直线且与直线 L 垂直的平面垂直的平面 ：再求直线再求直线 L 与平面与平面 的交点的交点(垂足垂足)： 代入代入的方程的方程, , 102垂垂足足为为 )73,713,72( B, , 所求直线为过点所求直线为过点 A,B 的直线：的直线： ，3733171312722 zyx.431122 zyx即即L A B求过

52、点求过点)3 , 1 , 2(A且与直线且与直线: :12131 zyx垂直相交的直线方程垂直相交的直线方程. . 例例1919解解103注注：缺缺少少平平面面2 ( (为为什什么么? ?) ). . 0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA设两张平面设两张平面相交于直线相交于直线 L , 那么过那么过 L 的平面束可表示为的平面束可表示为 .0)(22221111 DzCyBxADzCyBxA 104设平面方程为设平面方程为 0)132(22 zyxzyx , 求经过直线求经过直线 13222zyxzyx和点和点)2 , 2, 1( P的平的平面方程面方程 例例2020解

53、解由由于于点点)2 , 2, 1( P在在该该平平面面上上， 代代入入得得 2 , 由此得到所求平面方程为由此得到所求平面方程为 ,0)132(222 zyxzyx.04554 zyx即即105求过点求过点)2, 1 , 3( 且通过直线且通过直线12354zyx 的平面方程的平面方程. . 比较：比较：解解因为平面过点因为平面过点)2, 1 , 3( A, ,且过直线上一点且过直线上一点)0 , 3, 4( B故平面平行于故平面平行于AB, ,且平行于直线的方向向量且平行于直线的方向向量1 , 2 , 5 s, , 所以其法向为所以其法向为 22, 9 , 8125241 kjisABn由点

54、法式得所求平面的方程为由点法式得所求平面的方程为 0)2(22)1(9)3(8 zyx0592298 zyx即即106设设平平面面方方程程为为 0) 132(22 zyxzyx , 求经过直线求经过直线 0262 zyxzyxl：且垂直于平面且垂直于平面02 zyx的平面方程的平面方程. 例例2121解解由由于于所所求求平平面面与与平平面面02 zyx垂垂直直，所所以以 由此得到所求平面方程为由此得到所求平面方程为 ,06)1()1(2)1( zyx 即即,01, 2, 11,22,1 .0623 zyx,01)22(21 即即解得解得 2 , 107 L求直线求直线L: : 0101zyxz

55、yx 在平面在平面 : :0 zyx上的投影直线的方程上的投影直线的方程. . 只只要要求求出出过过L且且与与 垂垂直直的的平平面面即即可可. . 且且 L 过过点点)0 , 1 , 0(, , 的的法法向向1 , 1 , 1 n, , 过过L且与且与 垂直的平面垂直的平面1 的法向为的法向为 例例2222解解先求先求 L的方向向量：的方向向量： ，2, 2, 01 , 1, 11, 1 , 1 s，2, 2 , 01 snn方法方法1 1108方法方法1 1，2, 2 , 01 snn即即 01 zy. . 所所求求投投影影直直线线即即为为平平面面 与与 1 的的交交线线 1 的的方方程程为

56、为 02)1(2 zy, , 010zyzyx L且且 L 过过点点)0 , 1 , 0(, , 求直线求直线L: : 0101zyxzyx 在平面在平面 : :0 zyx上的投影直线的方程上的投影直线的方程. . 例例2222解解109方法方法2 2设过直线设过直线 L的平面束方程为的平面束方程为 ，0)1()1( zyxzyx L求直线求直线L: : 0101zyxzyx 在平面在平面 : :0 zyx上的投影直线的方程上的投影直线的方程. . 例例2222110即即 0)1()1()1()1( zyx, , 欲欲使使它它与与平平面面0 zyx垂垂直直, ,只只要要 ，01111,1 ,1 ，1 过过L且与且与 垂直的平面垂直的平面1 的的方程方程为为 0222 zy, ,或或 01 zy, , 以下同方法以下同方法1.方法方法2 2设过直线设过直线 L的平面束方程为的平面束方程为 ，0)1