曲线与方程圆的方程

1、曲线与方程'圆的方程1 .曲线C的方程为:f(x,y)=0曲线c上任意一点P (Xo.yo)W坐标满足方程f(x,y)=O，即f(xo,yo)=0 ；且以f(x,y) =0的任意一组解(x°,y。)为坐标的点P (x°,y。)在曲线C上。依据该定义：已知 点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P的坐标(x,y)满足的方程(等式)。求动点轨迹方程的步骤：建系，写(设)出相尖点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件， 化简，验证：满足条件的点的坐标

2、都 是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。举例1方程(x y 1).x2y2 4 0所表示的曲线是：()ABCD解析：原方程等价于:x y 102222'，或 xy4 ;x v 4其中当xy1。需；x2 y24有意义，等式才成立，即x2 y2 4，此时它表示直0上不在圆x2y? 4内的部分，这是极易出错的一个环节。选举例2已知点A(1 , 0), B(2, 0),动点M满足2/ MAB2 MBA求点M的轨迹方程。解析：如何体现动点M满足的条件2/ MABM MBA是解决本题的矢键。用动点M的坐标体现2 / MABM MBA的 最佳载体是直线MA MB的斜率。设M(x, y),

3、/ MAB=，则/ MBA=2，它们是直线MA MB的倾角还是倾角的补角，与点 M在x轴的上方还是下方有尖；以下讨论：若点M在x轴的上方，(0°,90°), y 0 ,此时'直线MA的倾角为，MB的倾角为-2 ,A OB2 ?ytan(2yTP得：1 J MA MB,当点M在线段AB上时，也满足2/ MAB2 MBA此时y=0(-1综上所求点的轨迹方程为乙X231(x1)或 y 0( 1 x巩固1右图的曲线是以原点为圆1为半径的圆的一部分,心，则它的方程是(X=0(x 厂 y2).1 X2)=0c. (x厂行)1 X2 )=0(X .1 y2)1 X2)=0VxV

4、2)2).巩固2已知点R(-3,fy0),点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上,当290。时，=45 ,° MAB为等腰直角三角形，此时点M的坐标为(2,3)，它满足上述方程.2当点2M右:X铀的下肯时.v VO同理BUS占 M的钏谕肯超为X1(x1)且满足RPPM =0 , 2 PM +3MQ =0，当点P移动时，求M点的轨迹方程。迁移正方ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的 体一动点，P到直线A1D1的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4,则点P的轨迹A圆 且点为：B 椭圆C双曲线D 抛物线2.圆的标准方程刻画了圆的位

5、置特点(圆心与半径)，圆的一般方程反映了圆的代数特点(元二次方程 Ax2+By 2+Cxy+Dx+Ey+F=0A=B 工 0 , C=0但 D2+E2-4AF>0 )。判断点 P(Xo,yo)与O M : (x-a)2+(y-b) 2= r2的位置矢系，用|PM|与r的大小，即:|PM|> r (Xo-a)2+(yo-b)2> r2 P 在 O M 夕卜；|PM|< r (xo- a)2+(yo- b)2< 产 P 在 O M 内；|PM|=r (Xo- a)2+(yo-b)2= r2 P在OM上。过两个定点 A、B的圆，圆心在线段AB的中垂线上。2,则圆举例1

6、一圆经过A(4, 2), B(-1 , 3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为的方程为。解析：研究圆在坐标轴上的截距，宜用一般方程(因为与圆心、半径没有直接联系)，设圆22的方程为 x+y+Dx+Ey+F=O,T 圆过点 A B,. 4D+2E+F+20=0 ，D+3E+F+10=0，圆在x轴上的截距即圆与x轴交点的横坐标，当y=0时，x2+Dx+F=0, x计X2=-D圆在y轴上的截距即圆与y轴交点的纵坐标，当x=0时，y2+Ey+F=0, yi+y2=-E由题意知：-D-E=2，解得D=2, E=0, F=-12o举例2若存在实数k使得直线I : kx-y-k+2=0与圆c：x2+2ax

7、+产a+2=0无公共点，则实数a的取值范围是：。解析：本题看似直线远的位置矢系问题，其实不然。注意到直线I对任意的实数k恒过定点M ( 1,2)，要存在实数k使得直线丨与O C相离，当且仅当M点在圆外；方程x J2ax+产a+2=0变形为:(x+a) 2+y2= a2+a- 2, M 点在 O C 夕卜 (1+a) 2+4>a2+a-2>0,解得:-7<a<-2 或 a>1.注：本题中a2+a- 2>0是极易疏漏的一个潜在要求。巩固1过点A (3,2 ) , B (2, 1)且圆心在直线x-2y-3=0 ±的圆的方程是。巩固2已知定点M (xc,y

8、o)在第一象限，过M点的两圆与坐标轴相切，它们的半径分别为n,贝 Hr ir 2= °迁移矢于曲线C:x4y21给出下列说法：尖于直线y 0对称；矢于直线x 0对称；矢于点(0,0)对称；尖于直线y x对称；是封闭图形，面积小于：是封闭图形，面积大于 ；则其中正确说法的序号是 3涉及直线与圆的位置尖系的问题宜用圆心到直线的距离d来研究。d = r ( r为圆的半径)直线与圆相切；过圆x2+y2/上一点M (Xo,yo)的切线方程为Xox+yoy=r2;过圆x2+y2=r2y2 Dx Ey外一点M (Xo.y o )作圆的两条切线，则两切点A、B连线的直线方程为XoX+y7=r2。过O

9、 A外系方程：X2y2 Dx Ey F +(A x+B y +C )直线与圆相离，圆周上的点到直线距离的最小值为d- r ,最大值为d +r 0举例1 从直线x-y+3=0上的点向圆(x 2)2 (y2) 21引切线，则切线长的最小值是3.2143.23、. 2A.B.c<D.-12 242长|AB| =2 r2 d2;过直线 A x+B y +C = 0 与圆:x2解析：圆(X 2)2 (y 2)21的圆心A (2,2),直线xy+3=0上任一点P,过引圆的一点P作圆的切线PQ (Q为切点)，则|PQ匸JPA|切线PQ (Q为切点)，则|PQ|= J PAf1,当且仅当|PA|最小时|

10、PQ|最小，易见|PA|的最小值即A到直线x- y+3=0的距离，为聚J14B。2222举例2能够使得圆xy 2x4y 10上恰有两个点到直线2Xy c 0距禺等于1的C的一个值为：A . 2B. ,5C. 3D.35解析：本题如果设圆上一点的坐标，用点到直线的距禺公式得到一个方程，进而研究方程解的个数'将是非常麻烦的。注意到圆心M (1,2),半径r =2,结合图形容易知道，当且仅当M到直线I ： 2x y c 0的距离d ( 1, 3)时，0 M上恰有两个点到直线I的距离等于 1,由 1=孕 ( 1, 3)得：C ( 3聽75) (V5,3、； ； 5)，选 CoV5巩固们 若直线

11、(1+a)x+y+仁0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为()(A ) 1,- 1( B) 2,- 2(C) 1(D)- 1对称贝y CA CB=。迁移实数x,y满足x2 y2 2x 2y 1巩固2直线h: y=kx +1与圆C： x2+y2+2kx+2my=0的两个交点A、B矢于直线12 : x+y=Ov 40,则的取值范围为()X/ O4AH,Q)4B 0,；Q4 .判断两圆的位置矢系用圆心距与它们半径 和、|MN|> n +外 禽一|MN| =A+DO M :22xyDixEiyFl 0,ON ：x2的方程为：2X2yDix E” F1 +外切4D【3卩差的大小。O M、O N

12、的半径分别为ri、2 ,寸2 |<|MN|< ri + D 相交，此时，若y D2 X E2Y F20,过两圆交点的圆(系)2(x2 y D2X E2 y F2)= 0(0 N 除外)。特别地：当=-1时该方程表示两圆的公共弦。连心线垂直平分公共弦。|MN| =|n-r2|内切，|MN| <|n- r2| 内含。举例1 已知两圆Oi : x2+y2=16 , O2 : (x-1)2+(y+2)2=9，两圆公共弦交直线09?于M点，则 Oi分有向线段MO2所成的比入二()6565A.B.C.D一5A5A),有定比分点5解析：直线。1 02 ： y=2x，两圆公共弦：x-2y=6

13、，于是有:内含；有两圆圆心分别为原点0, 2),半径分别为坐标公式不难得到入的值，选Co举例 2若 A(x, y)| x2y2 16, B (x, y)|x2(y2尸a1且ABB,则a的取值范围是()A. a 1 B . a 5C 1 a 5D .a5解析：集合A、B分别表示两个圆面(a=1时集B表示一个点)，AH B=BB A,即两圆解得：1 a 5，选Co巩固1圆心存育线xy4 0上，且经过两圆2X2y4x 30,x2y2 4y 30的交点的圆的方程为()A. x2 y2 6x 2y3 0B.2X2y6x 2y 30223 02C. x y 6x 2yD.2Xy6x 2y 30巩固2若圆(

14、x a)2+(y- b)J6始终平分圆/+y2+2x+2y- 3=0的周长，则动点M(a,b)的轨迹 方程是A. a2+ b2 2a 2b+1=0B. a2+b2+2a+2 b+1=0C.a2+b2 2a+2b+仁 0D.a2+b2+2a 2b+1=0迁移与圆x24- y2 2x=o外切且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 5.圆的参数方程的本质是sin2 + cos2 =1。参数方程的重要用途是设圆上一点的坐标时,而无需再借助圆的方可以减少一个变量，或者说坐标本身就已经体现出点在圆上的特点了，程来体现横纵坐标之间的矢系。举例已知圆x2 (y 1 )21上任意一点P(x、y)都使不等式x+y+m

15、0成立，则m的取1,)B,oc(、2,)D 12)(解析：不等式x+y+m0恒成立m - (x+y)恒成立'以下求(x+y)的最大值:记 x= cos y=1 + sin,-(x+y) = -( cos +1 + sin )= -1- 2 sin( + ) w-1 + . 2 ,选 A。4巩固1 f()sin的最大值为、2 coscosb a,c=10,P是”ABC的内切圆上一点，贝U PA2+PB2巩固2在“ABC中，已知一一cosA b+PC?的最大值为迁移动点P, Q坐标分别为p cos , sin，Q 3 sin，1 cos ,(是参数)，则|PQ|的最大值与最小值的和为答案1

16、 巩固1D,巩固2 y2=4x (x>0),迁移在平面ABCD上建立平面直角坐标系，选C。2、巩固1 (x1)t(y+1)J5，巩固2 T点M在第一象限，二过点M与两坐标轴相切的圆的方程可设为:(x- r)2+(y- r)2= r2,圆过 M(x°,y。)点，二(Xo-r)2+(yo-r)2= r2,整理得:22222r2(x o+y°)r+x o+y°=0,由题意知“为该方程的两根，故订2= Xo +yoo 迁移在曲线C上任取 _点 M(xo,y o) ,Xo4+yo2 = 1, / |x°|< 1,/. xo4W xo2,xo2+yo2 > Xo4+yo2=1,gp 点 M 在圆x2+y2=1夕卜，选®；3、巩固1 D ,巩固2 -1 ,迁移A； 4、巩固1 A ,巩固2圆x2+y2+2x+2y- 3=0的圆心A(1 ,1),半径为,5 , OM始终平分O A的周长即两圆的公共弦是O A的直径，A在直线:2(a+1