第15讲 定积分概念

1、主讲：王淑媛主讲：王淑媛 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用abxyo? A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积)(xfy )0)( xf、x轴与两条直线轴与两条直线ax 、bx 所所围围成成.)(xfy 5.1 5.1 定积分的概念定积分的概念5.1.15.1.1两个实际问题两个实际问题abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）求曲边梯形面积的步骤求曲边

2、梯形面积的步骤:,:. 11210bxxxxxabann 内内插插入入若若干干个个分分点点，在在区区间间分分割割abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba，长长度度为为个个小小区区间间分分成成把把区区间间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间近似代替近似代替iiixx,:. 21 的小矩形面积为的小矩形面积为为高为高为底，为底，以以)(,1iiifxx iiixfA )( 3.3.求和求和: :曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(1 iniixfA )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当

3、分割无限加细当分割无限加细取极限取极限)0(,max,. 421 nxxx：曲边梯形面积为曲边梯形面积为实例实例2 2 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程 把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值度看作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值过程求得路程的精确值对于匀速运动，我们有公式对于匀速运动，我们有公式路程路程= =速度速度X X时间时间解决变速运动的路程的基本思路解决变速运动的路程的基本思路

4、.)(的的路路程程到到时时刻刻求求物物体体从从时时刻刻速速度度为为动动设设某某物物体体作作变变速速直直线线运运btat，tvv， （1) 分割分割btttttann 12101 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（3）求和）求和iinitvs )(1 （4）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值(2) 近似代替近似代替步骤步骤:iniixfA )(lim10 iniitvs )(lim10 （1）分割）分割（3）求和）求和（4）取极限）取极限（2）近似代替）近似代替设设函函数数)(xf在在,ba上上

5、有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点i （iix ），作作和和iinixfS )(1 ， 5.1.2 5.1.2 定积分的概念定积分的概念1.定义定义怎样的分法，怎样的分法，也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎样的取法，怎样的取法，若若 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间

6、,ba在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和 badxxf)(iinixf)(lim10 注意：注意：（1） 积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关. badxxf)(iinixf)(lim10 曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成. . badxxfAbaxfA

7、)( ,)(即即上上的的定定积积分分，在在区区间间等等于于函函数数其其面面积积 设某质点作直线运动，速度设某质点作直线运动，速度)(tvv 是时间间是时间间隔隔,21TT上上t的一个连续函数，物体在这段时的一个连续函数，物体在这段时间内所经过的路程间内所经过的路程. . 21)(TTdttvS, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值2 2、定积分的几何意义、定积分的几何意义abxyooyabx轴轴下下方方的的面面积积取取负负号号上上方方的的面面积积取取正正号号；在在轴轴数数和和在在之之间间的的各

8、各部部分分面面积积的的代代的的图图形形及及两两条条直直线线轴轴、函函数数它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)(1A2A3A321)(AAAdxxfba xyoab)(xfy 例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx xyo12xy ni1 ni解解将将1 , 0n等等分分，分分点点为为nixi ，(ni, 2 , 1 ) 小小区区间间,1iixx 的的长长度度nxi1 ，( (ni,2 , 1 ) ) 取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx nnini121 6)12)(1(13 nnnn,121161 nn

9、niin1231 n0 dxx 102 nnn121161lim.31 (4)(4)取极限取极限(1)(1)分割分割(3)(3)求和求和(2)(2)取点取点例例2.1102的值的值求求利用定积分的几何意义利用定积分的几何意义dxx， 义义知知，该该积积分分值值等等于于解解：由由定定积积分分的的几几何何意意的的面面积积（见见下下图图）所所围围及及轴轴，曲曲线线10,12 xxxxyx1y面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的4141102 dxx所所以以小结小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值

10、精确值定积分定积分化整为零化整为零分割分割直直(不变不变)代曲代曲(变变)近似近似对定积分的对定积分的补充规定补充规定:5.2 5.2 定积分的简单性质定积分的简单性质 aadxxf0)()1( abbadxxfdxxf)()()2( babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质1 1证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf

11、)()( badxxf)( badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3 3性质性质4 4性质性质5 5则则为常数为常数,),()(bxakkxf )(a

12、bkkdxba abdx，k，ba 时时当当特特别别地地1如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，证证),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质

13、性质6 6如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性质性质7 7（积分中值定理）（积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使,)(1)( badxxfabf 在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使得以区间使得以区间,ba为为以以曲曲线线)(xfy

14、 底底边边，为为曲曲边边的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的一个矩形的面积。的一个矩形的面积。即即上上的的平平均均值值在在称称为为连连续续函函数数,)()(ybaxff badxxfabfy)(1)(例例3.sinsin204206的的大大小小与与判判断断定定积积分分 xdxxdx解解在积分区间在积分区间0，/2上，上，0sin2x1，从而有，从而有sin6xsin4x，由性质，由性质4得到得到xdxxdx 02046sinsin例例4.51)1(6412 dxx求求证证不不等等式式证证12 x在在1，4上的最大值、最小值分别为上的最大值、最小值分别为

15、2、17，由性质，由性质6得到得到 51)14(17)1()14(26412 dxx5.3 5.3 定积分的计算定积分的计算变速直线运动中路程的两种表示变速直线运动中路程的两种表示 21)(TTdttv设某物体作直线运动，设某物体作直线运动，)(tv是时间段是时间段,21TT上上t时刻的速度，是连续函数，且时刻的速度，是连续函数，且0)( tv，则在，则在这段时间内物体所走过的路程为这段时间内物体所走过的路程为 另一方面设另一方面设s(t)是是t t时刻物体所走过的路程时刻物体所走过的路程, ,则在这则在这段时间内物体所走过的路程为段时间内物体所走过的路程为 )()(12TsTs （一）问题的

16、提出（一）问题的提出).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中5.3.1 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式).()()(aFbFdxxfba ?，xx，ba、xf，dxxfba的的函函数数则则定定积积分分就就是是积积分分上上限限令令上上限限为为下下限限现现固固定定被被积积函函数数与与积积分分有有关关积积分分上上下下限限区区间间积积分分其其值值只只与与被被积积函函数数是是一一个个确确定定的的数数,)(,)()( 记为记为.)()( xadttfx称为称为积分上限函数积分上限函数（二）积分上限函数及其导数（二）积分上限函数及其导数. 0)()( aadttfa.)()

17、( xadttfx定理定理 如果如果)(xf在在,ba上连续， 则积分上限的函上连续， 则积分上限的函数数dttfxxa )()(在在,ba上具有导数，且它的导上具有导数，且它的导数是数是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 积分上限函数的性质积分上限函数的性质证证),(bax xxxxxx )()(lim)(0 xdttfdttfxaxxax )()(lim0 axdttf)( ,)(lim)(0 xdttfxxxxx 由积分中值定理得由积分中值定理得之之间间与与在在xxx xx , 0)(lim0 fx ).()(xfx abxyoxx )( x x,)(lim)(0 xxfx

18、x . )()( xaxfdttf定理（原函数存在定理）定理（原函数存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数. . )()( xaxfdttf xatdt)sin(xsin 例例200sinlimxtdtxx 例:求00分析分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.解解200sinlimxtdtxx 200)()sin(limxtdtxx xxx2sinlim0 21 定理定理2 2 （微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已知已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，CxxF )()(,bax 证证（三）牛顿（三）牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式(Newton-Leibni