第2章弹性力学中变分原理√ 有限元

1、第2章 弹性力学中的虚功原理张量在弹性力学中的应用虚功原理虚位移原理及其变分形式最小势能原理2.1 张量在弹性力学中的应用 1 弹性力学中的物理量TTFFFFffff ,321321TzxyzxyzyxTuuuu321Tzxyzxyzyx222一点的位移 外力 应力 应变这里，应变定义为zzzyzxyzyyyxxzxyxxzzzyzxyzyyyxxzxyxx ，应力应变也可写成如下形式)(21ijjiijxuxu2 指标符号用带有一个下标的符号表示向量(一阶张量)的分量，如ui表示u的分量，fi 表示 f 的分量；下标 i 取值为1，2，3用带有两个下标的符号表示矩阵(二阶张量)的分量，如ij

2、表示的分量；下标 i，j 分别取值为1，2，3还有三阶、四阶等张量3 指标符号的有关约定取值约定：当某个指标在某方程的同一项中只出现一次时,意味着该指标应取值1、2、3例如下式iiicba 333222111cbacbacba代表三个方程：求和约定：当某个指标在某方程的同一项中出现二次时, 意味着对该指标从13求和，例如3322113133221131babababababababababajjjiiijiijiiiii3232323231312323222221213113211211113131cbacbacbacbacbacbacbacbacbacbacbaijjiijjiij逗号约定：

3、在一个量的指标后面加逗号，逗号后再跟指标 i (或ij)等，这意味着该量对xi (或xi , xj ) 求偏导(或二阶偏导)，如lkijklijkijkijjijixxbcxbbxaa2, ，nkinjkijlliibabababa ，注意：取值约定和求和约定同样适用于带逗号的指标例如，ai,j代表如下九项3312312111 xaxaxaxaxa，332211,xaxaxaaii而而非重复出现的指标叫做自由指标，自由指标不能在一项中随意以其它字母代换综上所述，指标符号会出现如下两种情况：在一项中重复出现的指标和非重复出现的招标nkinjkijlliibabababa ，重复出现的指标称哑指标

4、，这是因为一项中的重复指标可代换以其它任何字母而不影响其效果如4 弹性力学问题基本方程和边界条件的张量记法将应力应变记为(1) )(0 )(0)(0)(022,23233332321312222323222112121331221111tuftufxxxtufxxxtufxxxiijij记2(1) 平衡方程) ( 312312332211Tij)222 ( 312312332211Tij(2) 几何方程(2) 21 212121212121,311313312332322312212112333333332222222211111111）（记）（）（）（）（）（）（ijjiijuuxuxuxu

5、xuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxu这里的剪应变相当于弹性力学中剪应变分量的一半。(3) 物理方程jijiEGGGGEEEijkkijijij 0 1(3) 21 212121)(1)(1)(1 313123231212221133331133222233221111，当，当：，其中记)(21 )()1 (1)(1 332211113322111133221111EGEE(4) 边界条件设边界上一点处外法线为n，令方向余弦为 (4) 333323213123232221211313212111ijijFlFlllFlllFlll记，在力的边界s1上有边界条件),cos(),cos(

6、),cos(33211xnlxnlxnl2给定位移的边界s2上有关系iiuuuuuuuu 332211记，(5) 奥-高公式（三维问题的分部积分）设在三维空间里有区域V， V的边界为s，在区域V里，有函数 ，则存在如下关系),(),(zyxgzyxf，(5) d d d ,slgfVgfVgfsjVjVj1 两种可能状态 (1)可能位移和相应的可能应变满足协调性要求的位移场称为几何可能位移场，也即满足位移边界条件和单值连续条件的位移场，简称可能位移将这样的可能位移场代入几何方程，求出的应变场称几何可能应变场，简称可能应变从这样的定义来看，可能位移场和相应的可能应变场是满足了全部协调性要求的位移

7、场和应变场进一步地，如果这样的应变场通过物理方程求出的应力场也满足平衡方程，则这样的可能位移场和相应的可能应变场就是问题的真实解，否则就仅仅是可能的可能解有无数多个，而真解只有一个2.2 虚功原理 (2)满足平衡要求的可能应力满足平衡要求和力边界条件的应力场称为平衡可能应力场，简称可能应力进一步地，如果这样的可能应力场通过物理方程求出的应变场，通过几何方程求出的位移场能够满足所有协调性要求，则这样的可能应力就是问题的真实解，否则就仅仅是“可能的”2 虚功方程设一弹性体，体积为V，体积力为 ，在表面s1上，受表面力 作用，弹性体内产生应力 Tffff321TFFFF321T31231233221

8、1给弹性体一个满足协调性条件的任意可能位移场Tuuuu*3*2*1*T222*31*23*12*33*22*11*相应的可能应变为 这个位移场不一定与，T321ffff，T321FFFF T312312332211有任何联系，因此不一定是真实位移 考虑 f ， 在 上做功，称为外力虚功同时，也在*上做功，称为内力虚功（或称虚应变能）按照常力做功的计算方法，外力虚功为F*uSufuFuFSuFuFuFVufufufssVd )(d )(d )(21*33*22*11*33*22*11*33*22*11VVd )222(*3131*2323*1212*3333*2222*1111虚功原理阐明，对于

9、一个静态平衡的系统，在外力作用下，产生内力，内外力所做虚功总和等于零 sufuFuFsuFuFuFVufufufssVd )(d )(d )(21*33*22*11*33*22*11*33*22*11VVd )222(*3131*2323*1212*3333*2222*1111虚变形能为将虚功方程写成矩阵形式suFsuFVufVTssTTVVTdddd*21也可写成张量的求和形式(6) dddd*21suFsuFVufVisisiiiViVijij其中)()()(311313322323211212333322221111333332323131232322222121131312121111

10、ijijl虚功方程的证明 由奥-高公式(5) d d d ,slgfVgfVgfsjVjVj令 ，代入上式，得*iijugf，(7) ddd*,*,sluVuVusjiijVijijVjiij)a ( dd21d21d21d21d*,*,*,*,*,*,*,*,*,VVuuVuuVuuVuuVuVijijVijjiijVijijjiijVijjijiijVjijiijVjiij（7）式中，第一项为由于应力ij 应满足平衡方程，则(7)式中的第二项为(b) dd*,VufVuiViiVjij考虑边界条件，(7)式的右端项为c)( ddddd*2121suFsuFsulsulsulisisiiis

11、jijsijijsijij将(a),(b),(c)式代入(7)式，即证明了虚功方程(6) (6) dddd*,21sulsulVufVuisjijsijijiViVjiij1 虚位移原理应力场是可能应力场的充分与必要条件是，对于任意可能位移场，均能使虚功方程(6)成立证明：证明必要性，即证明若应力场是可能应力场，则它与任意可能位移场一起代入虚功方程，虚功方程肯定成立其实这就是虚功方程本身的含意，毋需再证证明充分性，即证明：将一个应力场与任意可能位移场一起代入虚功方程，如果虚功方程成立，则这个应力场就是可能应力场我们可以把一个应力场和任意可能位移场以及相应的应变场代入虚功方程，经过演算，可以得到

12、平衡方程和力的边界条件，即应力场是可能应力场 2.3 虚位移原理及其变分形式取应力场 和可能位移场 (相应应变场 )代入虚功方程(6)的左端（第一步用a式，第二步奥高公式）0ij*iu*ij(9) ddddddd*0,*0*0*0,*0*,0*021VusulsulVusulVuVVijijsijijsijijVijijsijijVjiijVijij再来看虚功方程(6)的右端sulsuFVufsijijsiniViiddd21*0*一起代入（6）式0d)(d)(1*0*0,sulFVufsijijniViijij上，在内；，在100,00slFVfjijniijij因而2 虚位移原理的变分形式

13、传统上，虚位移原理的可能位移 用位移变分 来代替。位移变分可以理解为两种可能位移 之差)2(*)1(*)()(iiiuuu*iuiu)2(*)1(*)()iiuu，（这两种可能位移相应的应变之差称为应变的变分)()(21)()(21)()(21)()(,)2(*,)2(*,)1(*,)1(*,)2(*)1(*ijjiijjiijjiijijijuuuuuu由于在s2上两种可能位移 取同样的值，应有)2(*)1(*)()iiuu，（上，在20sui这就是弹性力学的平衡方程和边界条件，因而应力场 是可能应力场。定理得证0ij取上两式之差，则(10) ddd1suFVufVsiniiViVijij这

14、就是虚功方程的变分形式，称为虚位移原理ij由虚位移原理，应力场 应该同时满足sulsuFVufVisjijsiniiViVijijd)(d)(d)(d)(1)*0(1)*(1)*(1)*21sulsuFVufVisjijsiniiViVijijd)(d)(d)(d)(2)*0(2)*(2)*(2)*21基于弹性力学理论，可由虚位移原理推导出最小势能原理如果把弹性力学问题作为势能泛函的极值问题提出，则要寻求的弹性力学问题的解，就是这些泛函的极值函数。在建立弹性力学问题近似解法时，它们等价于虚位移原理由虚位移原理到最小势能原理推导可从虚位移原理即公式 (10) 出发进行由虚位移原理可知，在可能位移

15、中，真实应力场对于任意一种位移变分均能使虚功方程成立；反过来说，对于任意一种位移变分，如果能使式虚功方程成立，它必为真实应力场据此可推导出以可能位移场为自变函数的泛函极值原理2.4 最小势能原理(11) ijijU)(ijUij推导的关键是，对于任一弹性体 V，存在着一个应变能密度函数 ，它取决于一点处的变形状态，故可写成只是应变分量 的函数，这样就有用应变能密度函数表达的应力应变关系（卡斯提埃诺第一定理），既然应变能密度函数U只是应变分量 的函数，根据变分运算，应有(12) ijijijijUU可得ij即在 (10) 式第一个积分中，应变分量的变分与相应的应力分量乘积之和等于应变能密度函数的变分将(12)式代入(10)式，并注意到给定的体力分量 fi 和 s1 上面力分量 Fi不随位移变化，以及积分运算和变分运算可以交换进行的规则，式(10)为0ddd1siiViiVsuFVufVU或写成(13) 0)ddd(1siiViiVsuFVufVU令上式圆括号里的积分为1dddsiiViiVsuFVufVU是以可能位移分量为自变函数的泛函上式中，第一项是某一可能位移下弹性体的应变能，第二项是体力的势能，第三项是 s