3 第三章.函数极限与连续性ppt课件

1、.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观

2、察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的过程的过程表示表示 xXx. 0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxf

3、x 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近A”.定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim1、定义：、定义：:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim2、另两种情形、另两种情形: Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3、几何解释、几何解释: X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽

4、为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxAxxysin 例例1. 0sinlim xxx证证明明证证xxxxsin0sin x1 , 0 ,1 X取取时时恒恒有有则则当当Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故?/, 1MXM能否取问题：对个。不一定要找最小的那一的取法有无穷多种当然可以，可见定义中,X例例22221lim23xxx证明证证|3|72312222xxx时有使得当要找XxX|, 0, 0|3-|, 3,2xxxx此时有所以限制因为,|7|3|72xx7|,|7,|3-|72xxx即只需使要使,/7, 3maxX

5、取,时有则当Xx ,成立成立 . 2312lim22xxx231222xx二、自变量趋向有限值时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的过过程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程程度度接接近近体体现现xx 定定义义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当1、定义：、定义：2、几何解释、几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内

6、宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx留意：留意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf2.只与任意给定的正数 有关的取法不唯一。因此义中的小的正数都可以作为的任何比后找到一个显然,定例例3. 211lim21 xxx证证明明证证211)(2 xxAxf, 0 任给任给, 只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)( Axf要要使使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx处存在极限。但它在处没有定义虽然在此例说明函数1,11

7、1)(2xxxxxf处可以没有定义。在这个条件下因为在”这个作为条件的原因“极限定义中要求要有这就是为什么在函数的00)(,0 xxxfxx适性。普义失去数学定义应有的这也将使函数极限的定这显然是不合理的，限则本题的函数就没有极”改成“如果把条件“,000 xxxx例例4.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf , 0 任给任给,0 x取,00时时当当 xx00 xxxx ,)( Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx 即可。只要00 xxx.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明因为因为x0211) 1(lim521xxxx证明例) 1(| 1|2| 1|211) 1(

8、|2xxxxxx因为证：时，当取则有即内讨论，限制在时，不妨把当| 1-x|0,min1,2,21| 1|211,| 1-|0201xxxxx211) 1(lim221| 1|2| 1|211) 1(|21x2xxxxxxxx从而证得成立。从而验证了极限的存在此时就有时或当则或取或使之变形为适当放大内讨论或限制在某一范围，将对任给出的的过程。方法如下：解不等式的过程就是或而找的过程或找就是根据的过程定义验证或用“|)(|,)|(|0),/)(/,min|)| /|)(|(| )(|)(|,)(|,)|(|00|)(|)(,)()(lim)(00000)(0axfXxxxXxcxaxfxxxax

9、faxfcxcxxxaxfXXaxfXxx217lim1169xx例6 用极限定义证明222271771691116916971169xxxx证22|1|1|1|(9 16)|(3 4)|(3 4)|xxxxxx1,|1| 1 4,3 45 4|1| 9 4,|3 4| 6 4,xxxxx由于可以先设即则22|1|1|1|3|1|(9 16)|(3 4)|(3 4)|2 |(3 4)|xxxxxxxx1| 1/8,|3 4| |(1) 1/4| 1 4|1| 1 8,xxxx 进而再假定|则3 |1|38|1| 12|1|2 |3 4|2xxxx从而有1,0 |1|8,12x0,取 =min则

10、当时，271169xlimlnln(0).xaxa a 例7 用 - 定义证明0,|lnln|,xa证： 要使即lnxa (1)(1),a exaa e易见上式等价于 min (1), (1)(1),a eaeae故只要取|lnln|limlnln .xaxaxa就有，因此三、单侧极限三、单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记记作作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记记作作yox1xy 112 xy左极限左极限.)(, 0

11、, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不不存存在在验验证证xxxyx11 oxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6证证1) 1(lim0 xxxxxxx00limlim11lim0 x.11lim1的存在性讨论xx

12、x21013/211xxx左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim1不存在xfx例例7证证0) 11(lim11lim11xxxxx1)01(lim11lim11xxxxx四、函数极限的定义和对偶法则000,( ),( ),24xx xxxxxf xAf x 自变量的极限过程有六种，函数的极限过程有四种，交叉后共有种的极限形式。(见下表见下表)0001);:0,:(0),:0,:(),2)( )( ),( ):0,|( )|( ):0,|( )|xxxxxxxxXxxXf xAf xAf xAf xGf xG 极限定义中的描述包含了两部分内容：自变量的过程的描述 如函数过程的描述

13、 如，过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(0000,lim( ),0,|,|( )|lim( ),0, |,|()|xxf xaXxXf xaf xaXxXf xa 函数极限定义的否定的对偶法则 例如：有有0101100|)(|,|0, 0,)(lim|)(|,|0:, 0,)(lim00axfxxxaxfaxfxxxaxfxxxx有：有时010101000| )(|, 0, 0)(lim| )(|

14、,:, 0, 0)(lim00GxfxxxxGxfGxfxxxxGxfxxxx有：有时其它定义的对偶写法可举一反三的类似给出。其它定义的对偶写法可举一反三的类似给出。思考题思考题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.0:

15、( ).f xxx练习1 试证 函数当时极限存在的充分必要条件是左极限、右 极限各自存在并且相等 (2), 自变量趋于有限值时函数的极限; 作业作业 小结 (1), 自变量趋于无穷大时函数的极限; (3), 函数极限的几何意义; (4), 单侧极限的概念; (5), 应用函数极限的定义验证函数极限的方法; P86: 1, 5,6,7. 如果f(x)A(xx0) 那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界 证明有使得那么取设);(, 0, 1,)(lim00 xOxAxfxxo. 1)(1)(AxfAxf.);()(0内有界在即xOxfo 函数极限的性质1.局部有界性局部有界性 如果当xx0时f(x

16、)的极限存在, 那么这极限是唯一的证明，xxfBA时的极限当都是设0,)(0, 0, 0101Axfxx时有当那么,)(0, 0202Bxfxx时有当故有同时成立时则当取，xx)2(),1 (0),min(021.2)()()()(BxfAxfBxfAxfBA.即其极限唯一的任意性得由BA 2.唯一性唯一性 如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么对任何正数rA (或 r 0 (或f(x) -r 0)证明).(lim)(lim),()();()(),(0000 xgxfxgxfxOxgxfxxxxxx那么内有极限都存在且在时假设o,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx设)

17、1 (),(0, 0, 0101xfAxx时有当那么)2(.)(0, 0202Bxgxx时有当于是有同时成立与不等式时则当令，xgxfxx)2(),1 ()()(,0,min021,)()(BxgxfA.,2BABA的任意性知由从而4.保不等式性保不等式性 如果函数f(x)、g(x)及h(x),0|x-x0|0是 的一个周期，若则至少存在一点使得令则由定理可知当，但矛盾。)(lim,)(0110 xPaxaxaxaxPxxnnnn求设求极限举例例 )()(lim,lim,0000 xPxPcxcxNkxxkkxx对解： 有理函数的极限?)()(lim0 xQxPxx 对 当0)(0 xQ时 )

18、()()()(lim000 xQxPxQxPxx 当0)(0 xQ且0)(0 xP时 )()(lim0 xQxPxx 当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0) 解 例例 例例 4 求4532lim2 1xxxx 解解 由于解解 031241513245lim22 1xxxx031241513245lim22 1xxxx 根据无穷大与无穷小的关系得 4532lim2 1xxxx 例例 37412lim231xxxxx求1)34(lim) 1(lim) 1)(34() 1)(1(lim12121xxxxxxxxxxx原式)0(lim22aaxaxaxax求例 2222limaxa

19、xaxaxax解：原式axaxaxaxaxax1)()(lim22axaxaxaxax1)(lima21先用x3去除分子及分母 然后取极限 解解 先用x3去除分子及分母 然后取极限 例例 例例 5 求357243lim2323xxxxx 解解: 73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx 例 例例 6 求52123lim232xxxxx 020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx020512

20、123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx 讨论提示例例 7 求12352lim223xxxxx 例例 解解 解解 因为052123lim232xxxxx 所以 12352lim223xxxxx 所以 有理函数的极限? lim110110 mmmnnnxbxbxbaxaxa mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx 0 lim00110110 mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx 0 lim00110110 ., 011lim2babaxxxx求常数已知例 由极限运算法则得解：

21、, 01limxx111lim111lim11lim1lim02222aaxbaxxxbaxxxxbaxxxxxxxx. 111lim12xxxbax代入原式，将0011)1 ()()1 (1122baaxbxbaxabaxxxaxxxfaxfxx)(lim,)(lim证明设已知例5 )()(1)(xxfxxfxxf解：)()(1)(1)(, 0 xfxxxfxxfxxxfx有当得证。有函数极限的夹逼性，令,x22lim,222xxbaxxbax使练习：求8. 复合函数的极限复合函数的极限BufxgfBufAxgAuxxAuxx)(lim)(lim:,)(lim,)(lim00是是否否成成立立

22、问问设设 请看下面的例请看下面的例子子0)(lim, 1)(lim,0001)(,1sin)(00 xgufuuufxxxgxu显然有令故极限不存在。有和子列显然存在两个趋于零的但, 1)(lim, 0)(lim11, 2, 1,/10/1, 01)(nnnnnnygfxgfnynxnnxnxxxgf导致复合函数导致复合函数f(g(x)的极限不存在的原因有两个：的极限不存在的原因有两个：不不能能得得到到满满足足；，使使得得可可以以无无穷穷多多次次取取到到时时在在|0)(|00,01sin)(xgxxxxg存在呢？件才能保证自然要问，需要什么条)(lim0 xgfxx)0)()0(1)(lim0

23、点不连续在 xxffufu000000lim( ),lim( ),1)(,)( );2) lim( )( )( ( )lim( ( )lim( )(lim( )xxuAuAxxuAxxg xAf uBxxg xAf uf ABf uuAf g xf uBfg xo定理 设如果满足以下条件之一的一个去心邻域，使得在其中在点处连续则成立或。证证 1) 1)由条件由条件limf(u)=B(ulimf(u)=B(uA),A),对对0,0,110,0,使使 得当得当0|u-A|0|u-A|1,1,成立成立|f(u)-B|f(u)-B|0,0,使得使得当当0|x-x0|0|x-x0|, ,成立成立|g(x

24、)-A|g(x)-A|1.1.根据题设条件知在根据题设条件知在x0 x0的的去心邻域内去心邻域内, ,有有0|g(x)-A| 0|g(x)-A| 1,1,因此成立因此成立|f(g(x)-|f(g(x)-B|B|0,0,10,10,使得当使得当|u-A|u-A|1,1,成立成立|f(u)-f(A)|f(u)-f(A)|0,0,使使得当得当0|x-x0|0|x-x0|, ,成立成立|g(x)-A|g(x)-A|1.1.从而成立从而成立|f(g(x)-f(A)|f(g(x)-f(A)|0(无论多么大), )(lim)(0 xfxxx记作： 0(或X0), 当0|xxo|X)时，有|f (x)|M,则

25、称f (x)是x x0(或x )时的无穷大量. 若以“ f (x)M ”代替定义中的 “ |f (x)|M ”, 就得到正无穷大量的定义. )(lim)(0 xfxxx)(lim)(0 xfxxx若以“ f (x)M ”,就得到负无穷大量的定义.分别记作： 0, 0(或X0), 当0|xxo|X)时，有|f (x)|M,.)(lim)(0 xfxxx则记特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或留意留意（1无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界

26、变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim20认认为为极极限限存存在在）切切勿勿将将（ xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0,但但不不是是无无穷穷大大是是一一个个无无界界变变量量时时当当例例如如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充充分分大大时时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充充分分大大时时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，.11lim1 xx证证明明例例证证. 0 M,11Mx 要要使使,11Mx 只只要

27、要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就就有有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy例例2: 试从函数图形判断下列极限试从函数图形判断下列极限.,tglim ,tglim ,tglim ) 1 (222xxxxxx ,lim ,lim )2(xxxxee ,lnlim ,lnlim )3(0 xxxx 解：解： (1)2232xy0 xyy = tgxxy从图上可看出.tglim ,tglim ,tglim222 xxxxxx ,lim xxe从图上看出(2) xoyxxy

28、y ?lim ?,lim(xxxxaa一般 ).1, 10讨论分aaxey . 0limxxex+x ,lnlim )3( xx ).1, 10讨论分aa ?loglim ?,loglim(0 xxaxax一般.lnlim 0 xx注1：若在定义中，将“ f (x)” 换成“ xn” ,注2：若lim f (x)=, 将“ X” 换成“ N” ,将“ x” 换成就得到数列xn为无穷大量定义.“ n”,则表示在该极限过程中f (x)的极限不存在. 0, X0, 当|x|X 时, 有|f (x)|M,.)(limxfx则记注3：不能脱离极限过程谈无穷大量. 注4：无穷大量一定是无界量, 任何常量都

29、不是无穷大量.但无界量不一定是无穷大量.),()cos)(sin)(在或xxxfxxxf例例3 3：.sinlim,sinlim不存在内是无界函数，但xxxxxx只须内无界函数是要说明 .),(sin xxy解：解：阐明0, x0(, +)，使得|x0sinx0|M即可.为自然数，现在取kkx,220，充分大时当则)(22|sin|00kMkxx.sin 是无界函数故xxy ,2Xxkkxkk充分大时当又取| )(|kxf但.0M不大于.sinlimxxx故,) 1(1 (nnnx例4：例4：.) 1(1 (lim nnn但.2 0 2 0 2 0642是无界数列，三、无穷小与无穷大的关系三、

30、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有时时使使得得当当.)(1 xf即即.)(1,0为为无无穷穷小小时时当当xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有时时使得当使得当.)(1Mxf 从从而而.)(1,0为为无无穷穷大大时时当当xfxx , 0)( xf由由于于意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论, ,都可

31、归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论. .四、无穷小的比较四、无穷小的比较 观察两个无穷小比值的极限v观察与比较03lim20 xxx 203limxxx 1sinlim0 xxx 两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢程度 在x0的过程中 x2比3x趋于零的速度快些 反过来3x比x2趋于零的速度慢些 而sin x与x趋于零的速度相仿 v无穷小的阶 设a 及b 为同一个自变量的变化过程中的无穷小 如果0lim 就说是比高阶的无穷小 记为o() 如果lim 就说是比低阶的无穷小 如果0limc 就说与是同阶无穷小 如果0limck k0 就说是关于的 k

32、 阶无穷小 如果1lim 就说与是等价无穷小 记为 )(o记作“属于”。例如示中间的等号的含义是表的函数都可以记为之比的极限为，凡是与等式右边是一个函数类而是一个函数等式左边两边的含义是不同的，等式的比较中注意：在上面无穷小阶),(0)(,)()()(,xoxxxox0)(lim| )()(0 xxxxox其中)0()(cos1xxox中的一个元素。是集合即属于函数类上式表示函数)(cos1),(cos1xoxxox)(,)2()(,) 1 (:axhfhggfaxaxfggfax则时若当传递性则时若当对称性”具有如下性质等价无穷小的符号“则有因为, 1lim, 1lim)2(hggfaxax

33、11limlim, 1lim) 1 (gffggfaxaxax所以因为证：. 1limlimlimlimhggfhggfhfaxaxaxax的性质。同阶无穷小也具有相同同理可证,是同阶无穷小。与时则称当时有使得且存在正数都是无穷小与时若一般的定义同阶无穷小还有一个更)()(,)()()(,)()(,:000 xgxfxxAxgxfaxxAaxgxfxxo界的。的某个去心邻域内是有在即表示是有界量。表示则若取00)()()(1 ()(, 1)(xxfxfxxxfxgo时的无穷小量。是即表示是无穷小量。表示若类似地00)()(),)(1 ()(,xxxfxfxxoxf定理1与是等价无穷小的充分必要

34、条件为o v关于等价无穷小的定理 必要性: 证明 01lim) 1lim(lim所以b a=o(a)由于设ab 只需证b a=o(a) 01lim) 1lim(lim01lim) 1lim(lim 充分性: 设b=a+o(a) 那么 1)(1lim)(limlimoo1)(1lim)(limlimoo1)(1lim)(limlimoo1)(1lim)(limlimoo 因此ab v关于等价无穷小的定理 设 且lim存在 则limlim 定理2 (无穷小等价代换定理） limlimlimlimlimlim 证明 limlimlimlimlimlim 定理2的意义: 求两个无穷小比值的极限时 分子

35、及分母都可用等价无穷小来代替 因此 用简单的无穷小代替复杂的无穷小 则可使计算简化 axaxxxxxexxxxxxxxxxxxln1,1)1 ( ,21cos1,1)1ln(,arcsin,tan,sin02等价时，下列函数与容易证明，在仍然成立。，上述函数的等价式子都换成的将上述等价式中有若在某一极限过程中)(, 0)(,xxx)()()(cos1 (2ln11)(1 (1)(1ln()(arcsin)(tan)(sin)()(xxxaaxexxxxxxxxgeexfxxxgxxfxxxxgxxfxxx1)(,)(,)3(1)(,1)(, 1)2(sin)(,tan)(,0) 1 (11si

36、n2sin32阶比较下列各无穷小量的例同阶无穷小于是时当则令的高阶无穷小是，所以当解3133lim)1 (1limlim, 0,1,)1 (,1)2(0limsintanlimlimsintan, 0) 1 (2303013320200ttttttgftxtxxtgfxxxxxxgfxxxxxtxxxxsin2sin000(3)1,1 ,0,11sin2sinlimlim()limlim1.ttxttttxxtxtfeettgttttfg 令则当时于是与 是等阶无穷小是同阶无穷小。与时当证明例)0( 1)1 ()(sin1tan1)(,02xxgxxxfx是同阶无穷小。与性，即证再由同阶无穷小

37、的传递同阶都与时我们先证当同阶比较繁与解：由于直接证)()(,0,xgxfxgfxgf1coscos1sinsin1tan11limsin1tan1lim00 xxxxxxxxxxx是同阶无穷小。与性即得是同阶无穷小，由传递都与与由于)()(lim1)1 (lim,1)1 (00 xgxfxgfxxxxxxxxxexxexxxxxxxxxeexxxxxxxxxxx2)ln()ln(sinlim)4(sintanlim) 3(2sin)1ln()(tan)2cos1)(lim)2(cos11sin1lim) 1 (3222030tan00下列极限。利用等价无穷小代换求例1sinlim22sinl

38、imcos11sin1lim,2cos1 ,21)1 ( , 0) 1 (0200221xxxxxxxxxxxxxxxx于是解： 122lim2)(tan2)(tanlim2)(tan2) 1(lim2sin)1ln()(tan)2cos1)(lim)2(22022022tan0tan0 xxexxxxxxexxxxeexxxxxeexxxxxxxxxxx21cos2limcos)cos1 (sinlimsintanlim) 3(3203030 xxxxxxxxxxxxxx1sinlim)1ln()sin1ln(limln)ln(ln)ln(sinlim2)ln()ln(sinlim)4(22

39、202220222202220 xxxxxxxxxxxxxxexexexexeexeexxexxex33003300cossincos1limlim2tansintantanlimlim0 xxxxxxxxxxxxxxxxxx 如。加减因子一般不能代换乘积因子可以代换说价无穷小代换。换句话只对其中的一部分用等而不能做整体代换或分母即一定要对整个分子代换为也不能随便将即使函数极限时的或代换求形如注意：利用等价无穷小,)(,)(uuuuwvuvu。实际上此极限等于无法求出。不确定失效但此方法对这样的21,)(limsintanlim.sintanlim303030 xxoxxxxxxxxxxx)(

40、)()()(1xovuxovxouvu如进行代换，的定理但可以利用等价无穷小1212)(32lim2)(3()(2(lim2)1 () 11(lim)21ln(1lim003030 xxoxxxxoxxoxxexxexxxxxxx例如vuvuvuvuvvuuvvuu1,)lim(lim,:，则有且不等于存在或均是无穷小量，且中在相同的某一极限过程一般地有如下的命题题也成立。因而命等于则它们比值的极限就不同号或若同时还可以看出整体替换就可以用求函数极限时在命题成立的条件下由此命题可知, 1,),(,vuvuvuvu0tanlim1,sinxxx 如上题，tanx-sinx=tanx+(-sinx

41、) 故不能替换。0)(lim:vuvuvu事实上只需证明命题的证明)1ln(sin1tan1lim0 xxxx练习：0limlim)(limvuvvvuuuvuvuvu而011limlim, 011limlimvuvuvuvvuvuuvuuu的几阶无穷小？是时当例xaaxax)0(,045555005500limlim()11limlim2nnxxnxxaxaxxxaxaxaaxa解：阶无穷小。时的是当因此函数必须使为使极限为非零常数，50, 55xaxan思考与练习思考与练习性和传递性。证明同阶无穷小的对称. 1)()()5()()()4()()()()3()()()()()2()()()(

42、) 1 (,. 20 xfoxfoxfoxfooxfxfoxfxgxfoxgoxfoxgoxgoxgoxxooo下列各式成立时证明当0)()(lim)()(lim)()()(lim).1 (2000 xgxgoxgxgoxgxgoxgoxxxxxx因为解00)()(lim)()(lim)()()()(lim)()()(lim)3(0000ccxfxfoxfxfxfxfoxfxfxfxfoxfxxxxxxxxooo作业作业 P108 1(2)(4)(6)(8)(10),2,3. v 1 连续性概念v 2 连续函数的性质v 3 闭区间上连续函数的性质1 连续性概念 设函数y=f(x)在点x0的某一

43、个邻域U(x0)内有定义 称 y=f(x0+ x)-f(x0)为函数y在x0处的增量 在邻域U(x0)内 若自变量x从初值x0变到终值x1则称x=x1-x0为自变量x的增量 xy1.函数的增量 函数连续与否的概念源于对函数图像的直观分析。直观的看，如果函数的图像是一条各点相互“连结而不出现“延续的曲线，这样的函数我们称之为连续函数 为了深入研究函数连续的概念，我们首先引入增量的概念分析:0lim0yx设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 假设那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 0lim0yx 或0lim0yx 或)()(lim

44、00 xfxfxx yfx0 xfx00lim0yx0)()(lim00 xfxfxx0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 2、函数在一点处的连续性 那么称函数 在点 处连续，点 称为函数 的 连续点。)(xf0 x0 x)(xf2、函数在一点处的连续性 定义 假设 （1函数 在 处及其近旁有定义；)(xfy 0 x（2） 存在； )(lim0 xfxx（3）)()(0lim0 xfxfxx交换。与函数号可以把极限号极限时，函数连续，则在求函数这个式子意味着：如果即有下式成立点处连续在如果fxfxfxfxxxfxxxxlim)lim()()(lim,)(0000

45、如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？ e 0 d 0 x满足|x-x0|d时 有|f(x)-f(x0)|0 d 0 x满足|x-x0|0当时，注: (1)把定理中的xx0换成x 可得类似的定理(2)定理的结论也可写成)(lim)(lim00 xgfxgfxxxx 提示:93lim23xxx61 函数uy在点61u连续 例例4 例 3 求93lim23xxx 解 93lim23xxx93lim23xxx61 解解 93lim23xxx93lim23xxx6193lim23xxx93lim23xxx61 932xxy是由uy与932xxu复合而成的 sin u 当-u+时是连续的 例例5 例例

46、 4 讨论函数xy1sin的连续性 解解 函数xy1sin是由 ysin u 及xu1复合而成的 x1当x0 和 0 x0,M0,对xo(,)a,b,有 |f(x)|M 但对充分大的n应有an bn o(,)a,b,于是就得到f(x)在这样的an,bn上有界,构成矛盾. 因此函数 f (x)在a b上有界 例例1 设设f(x)在在a,+)上连续上连续,且且limf(x)(x+)存在存在,证明证明f(x)在在a,+)上有界上有界 证明证明 由题设由题设,令令lim f(x)=A(x+),则对则对=1,X0,当当xX时时,有有|f(x)-A|1,从而当从而当xa,+)时，有时，有 |f(x)|=|

47、f (x)-A+A|f (x)-A|+|A| 0,M0,当当xX时时,有有|f(x)-A|A|时，时，f(x)在在a,+)上能取到最大值上能取到最大值M, 若若m-|A|,f(x)在在a,+)上能取到最小值上能取到最小值m,但不一定同时都能取到但不一定同时都能取到f(x)的最大值和最小值。的最大值和最小值。 请同学思考，给出反例。 例例2 设设f(x)是是a,b上的连续函数上的连续函数,且对每一个且对每一个xa,b, 存在存在ya,b,使得使得|f(y)|f(x)|/2。证明。证明f(x)在在a,b中有零点中有零点 证明证明 f(x)是是a,b上的连续函数上的连续函数, |f(x)|在闭区间在

48、闭区间a,b上也是连续的上也是连续的 对函数对函数|f(x)|应用最值定理，则必存在应用最值定理，则必存在a,b，使得，使得 |f()|是函数是函数|f(x)|在在a,b上的最小值，且上的最小值，且|f()|0. 另 一 方 面另 一 方 面 , 由 题 设 条 件 知 ， 存 在由 题 设 条 件 知 ， 存 在 y a , b , 使使|f(y)|f()|/2, 假设假设|f()|0, |f()|就不是最小值，则就与就不是最小值，则就与最值定理矛盾。所以最值定理矛盾。所以|f()|=0，从而，从而f()=0，即，即f(x)在在a,b上上有零点。有零点。 注: 如果x0使f(x0)=0 则x

49、0称为函数f(x)的零点 定理3(零点定理，也称根的存在定理) 设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0 证明 用区间套定理证。 不失一般性, 设f(a)0 但对xa,b,都有f(x)0。将a,b等分,用a1,b1表示满足f(a1)0的那一半区间。再将a1,b1等分,用a2,b2表示满足f(a2)0的那一半区间，如此继续下去，便得到一个闭区间套 a1,b1a2,b2 an,bn满足f(an)0，且bn-an=(b-a)/2n0 (n)由闭区间套定理，存在(a,b),使得 liman=limbn= (n)再由f(x)的连续性

50、,得 f ()=limf(an)0 , f ()=limf(bn)0 (n) 这就表明f()=0。 另证 用确界原理证。 不失一般性, 设f(a)0 令 V=x |f (x)0, xa,b, 显然集合V有界、非空,所以必有 上 界 . 设 = s u p V , 由 f ( x ) 的 连 续 性 及f(a)0,xa,a+1,有f(x)0,20,对xb-2,b,有f(x)0,于是知a+1,b-2 (a,b). 由上确界定义,存在数列xnV,满足 -1/nxn，f(xn)0于是xn, 再由f(x)的连续性,得 f ()=limf(xn)0 (n) 另一方面,由于是V的上确界，且0 f(1)=-2

51、0 根据零点定理根据零点定理 在在(0 1)内至少有一点内至少有一点x 使得使得 f(x)=0 即即 x 3-4x 2+1=0 这说明方程这说明方程x3-4x2+1=0在区间在区间(0 1)内至少有一个根是内至少有一个根是x 例例4 设设f(x)是是0,1上的连续函数上的连续函数,且且f(0)=f(1), 证明对任意证明对任意的自然数的自然数n, 必存在一点必存在一点0,1, 使使 f()=f(+1/n) 证明证明 这类问题通常的思路是构造辅助函数。这类问题通常的思路是构造辅助函数。令令 F(x)= f (x)-f (x+1/n), 显然显然F(x)是是0,1-1/n上的连续函数上的连续函数,

52、 分别令分别令 x=0, 1/n, 2/n, , (n-1)/n，那么，那么 F(0)+F(1/n)+F(2/n)+ F(n-1)/n) = f(0)-f(1) =0 因此因此F(0),F(1/n),F(n-1/n)这这n个函数值中必存在个函数值中必存在0kmn-1使得使得F(k/n)F(m/n)0,x0,1-1/n,于是于是对对k=0,1,n-1,有有 F(k/n)0 f (k/n)f(k+1)/n) 因此推出因此推出f(0)f(1/n)f(1)，可见与题设矛盾。，可见与题设矛盾。定理4(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的

53、任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C 证明 用辅助函数方法证。 不失一般性, 设f(a)C f(b) 考察辅助函数 F(x)=f (x)-C xa,b, 显然函数F(x)在闭区间a,b上连续,且 F(a)=f(a)-C0,由零点存在定理，必有(a,b), 使得 F()=0 , 即 f ()=C推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 换句话说，闭区间上的连续函数的值域也是一个闭区间。 例例5 设设f(x)在在(-,+)上有定义，具有如下的介质性质：上有定义，具有如下的介质性质：介于介于f(a)与与f(b)之间的数之间的数C,则均存在则均存在

54、(a,b),使得使得f()=C,且且f(x)的每个值仅取到一次。证明的每个值仅取到一次。证明 f(x)在在(-,+)上连续上连续 证明证明 用反证法用反证法 假设假设f(x)在在x0处不连续，则必在某一处不连续，则必在某一侧侧不连续，不妨假定不连续，不妨假定f (x)在在x0的右侧不连续，则对的右侧不连续，则对00,对对0 x，当，当0 x -x0f(x0)+0 或或 f(xn)f(x0)+0f(x0)由介质定理由介质定理,则必存在则必存在n(x0, xn)，使得，使得 f(n)=f(x0)+0。即有无穷多个即有无穷多个n取值取值f(x0)+0，这与题设矛盾。，这与题设矛盾。 例例6 设设f(

55、x)在在(a,b)上连续，若存在上连续，若存在xn,yn(a,b)满足满足 Limxn=linyn=a (n)使得使得limf(xn)=A,且且limf(yn)=B(n),则对则对A与与B之间的任意之间的任意数数C,证明必存在数列证明必存在数列zn(a,b),使使limzn=a,(n),且且 limf(zn)=C (n) 证明证明 不失一般性不失一般性 令令AC N 时 ， 有时 ， 有f(xn )(C+B)/2。 即当即当n充分大时有充分大时有 f(xn)C0,0,只要x1,x2X, 满足|x1-x2| 就成立|f(x1)-f(x2)|0,0,都x1,x2X,满足|x1-x2|0, 使得 |

56、 f (xn)- f (yn) | 0 nN+ 若取=1/n，n=1,2,于是xn,ynX, 满足|xn-yn|0,取=，则对任意两点x1,x2R, 只需 |x1-x2|, 就一定成立|sinx1-sinx2 |x1-x2|0,只要取=2，就可以使x1,x2,1) 且 |x1-x2|时, 成立|1/x1-1/x2|。这表明f(x)=1/x在,1)上一 致连续。 但可以证明 f(x)=1/x 在,1)上一致连续。 事实上,对x1,x2,1)，有22121212121|11| )()(|xxxxxxxxxfxf函数在区间I的一致连续性是函数在I上整体变化情况的一种衡量.直观上如果函数变化较为剧烈,

57、即函数图像很陡，那么函数可能就不一致连续；如果连续函数变化较平缓，其函数图像较为平坦，那么它可能是一致连续的。f xx例3 证明 ( )=在0,+ )上当01时一致连续， 当1时不一致连续性。0,1,1)+1x- xxxx 证 当01时,有()（1-11x- x()f xx易见( )=在0,+ )上当00, ( + ) -x xx x1212对,0,+ ), ,有22121112111(1(xxxxxxxxxx()1limlim(1)1limlimxxxxxxxxxxx ( + ) -1210,0,xxx于是取 充分大且有12| 1xx 。( )0,)f xx故在上不一致连续。( )( , , )( )( , )f xa bb cf xa c例4 若函数在区间和上都一致连续，证明在上一致连续。, 2/| )()(|,|), 2/| )()(|,|,(, 0,2211 xfxfxxcbxxxfxfxxbaxx成立时且当使得又存在成立时且使得当对由题设条件证明因此有时且，当取,| ,|,|,min2121 bxbxxxxbx上也是一致连续的。在合并的区间就证明了此时，结论是显然的。因或同属当),()(),(,caxfcbcaxx 22| )()(| )()(| )()(|b