深度系统小组第八章离散系统理论ppt课件

1、8.1 8.1 离散系统的根本概念离散系统的根本概念8.2 8.2 信号的采样与坚持信号的采样与坚持 8.3 Z8.3 Z变换与变换与Z Z反变换反变换 8.4 8.4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型 8.5 8.5 稳定性与稳态误差稳定性与稳态误差8.6 8.6 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析 End End 本章作业本章作业A/DD/A数字控制器数字控制器被控对象被控对象丈量元件丈量元件 e*(t)数字计算机数字计算机r(t)e(t) u*(t)uh(t) c(t) _计算机控制系统典型原理图计算机控制系统典型原理图 2. 离散系统：系统中有一处或多处为离散信号的系统称

2、离散系统。离散系统：系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下：典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下： A/D：模数转换器，将延续的模拟信号转换为离散的数字信号。：模数转换器，将延续的模拟信号转换为离散的数字信号。包括采样与量化两过程。包括采样与量化两过程。 1.离散信号：仅定义在离散时间上的信号称离散信号，离散信离散信号：仅定义在离散时间上的信号称离散信号，离散信号以脉冲或数码的方式呈现。号以脉冲或数码的方式呈现。 D/A：数模转换器，将离散的数字信号转换为延续的模拟信：数模转换器，将离散的数字信号转换为延续的模拟信号。

3、包括解码与复现两过程。号。包括解码与复现两过程。8.28.38.48.58.6(a) 延续信号延续信号t(b) 离散信离散信号号t(c) 离散量化信号离散量化信号tA/DD/A数字控制器数字控制器被控对象被控对象丈量元件丈量元件 e*(t)数字计算机数字计算机r(t)e(t) u*(t)uh(t) c(t) _计算机控制系统典型原理图计算机控制系统典型原理图v离散控制系统的特点离散控制系统的特点 1. 校正安装效果比延续式校正安装好，且由软件实校正安装效果比延续式校正安装好，且由软件实现的控制规律易于改动，控制灵敏。现的控制规律易于改动，控制灵敏。 2. 采样信号，特别是数字信号的传送能有效地

4、抑制采样信号，特别是数字信号的传送能有效地抑制噪声，从而提高系统抗干扰才干。噪声，从而提高系统抗干扰才干。 3. 可用一台计算机分时控制假设干个系统，提高设可用一台计算机分时控制假设干个系统，提高设备利用率。备利用率。 4. 可实现复杂控制规律，且可以在运转中实时改动可实现复杂控制规律，且可以在运转中实时改动呼应参数。呼应参数。 e*(t)=e(t)T(t), 其中其中 为理想单位脉冲序列。那么：为理想单位脉冲序列。那么： 0)()(nTnTtt 0*)()()(nnTtnTete 0*)()()(nnTsenTeteLsE对上式取拉氏变换对上式取拉氏变换, ,得得例例8.1 e(t)=eat

5、,8.1 e(t)=eat,试写出试写出e e* *(t)(t)表达表达式。式。 0)()(nanTnTtete 解解： 物理意义：可看成是单位理物理意义：可看成是单位理想脉冲串想脉冲串T (t) 被输入信号被输入信号e(t)进展调制的过程，如右图所示。进展调制的过程，如右图所示。 在图中，在图中，T(t)为载波信为载波信号；号；e(t)为调制信号；为调制信号； e*(t)为为理想输出脉冲序列。理想输出脉冲序列。 8.2.1 采样过程与采样定理采样过程与采样定理e(t)te*(t)te(t)e*(t)S8.18.38.48.58.68.2.2 设计控制系统必需严厉遵守的一条准那么。设计控制系统

6、必需严厉遵守的一条准那么。 1. 问题的提出问题的提出 延续信号延续信号e(t)经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知道经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知道各采样时辰之间的数值。从时域上看，采样过程损失了各采样时辰之间的数值。从时域上看，采样过程损失了e(t)所含的所含的信息。信息。(a)延续信号延续信号t(b)离散信号离散信号t 2. 2. 定性分析定性分析 假设延续信号假设延续信号e(t)e(t)变化缓慢最大角频率变化缓慢最大角频率 maxmax较低，而采较低，而采样角频率样角频率 s s比较高即采样周期比较高即采样周期T=2T=2/ / s s较小，那么较小，那么e e* *

7、(t)(t)根本根本上能反映上能反映e(t)e(t)的变化规律。的变化规律。 3. 采样定理香农定理采样定理香农定理 假设采样器的输入信号最高角频率为假设采样器的输入信号最高角频率为max，那么只需当采，那么只需当采样频率样频率s2max,才能够从采样信号中无失真地恢复出延续信才能够从采样信号中无失真地恢复出延续信号。号。怎样才干使采样信号怎样才干使采样信号e*(t)大体上反映大体上反映e(t)的变化规律呢？的变化规律呢？8.2.2 信号复现及零阶坚持器信号复现及零阶坚持器 信号复现信号复现 将数字信号转换复原成延续信号的过程称信号复现。该将数字信号转换复原成延续信号的过程称信号复现。该安装称

8、为坚持器或复现滤波器。安装称为坚持器或复现滤波器。eh(t)e*(t)e*(t)t 零阶坚持器零阶坚持器eh(t)t 零阶坚持器的数学表达式为零阶坚持器的数学表达式为e(nT+t)=e(nT)；其脉冲呼应；其脉冲呼应为为gh(t)=1(t)-1(t-T)，传送函数为，传送函数为 sesestgLsGTsTshh 11)()( 零阶坚持器零阶坚持器 零阶坚持器是最简单也是工程中运用最广泛的坚持器。零零阶坚持器是最简单也是工程中运用最广泛的坚持器。零阶坚持器的输入输出特性可用以下图描画。阶坚持器的输入输出特性可用以下图描画。8.2.18.3.1 Z变换变换 1. Z变换的定义变换的定义 0*)()

9、()(nnTsenTeteLsE 2. Z 2. Z变换方法变换方法 (1) (1) 级数求和法级数求和法 将将Z Z变换的定义式展开：变换的定义式展开： E(z)=e(0)+e(T)z-1+ e(2T)z- E(z)=e(0)+e(T)z-1+ e(2T)z-2+ e(nT)z-n+2+ e(nT)z-n+(2) (2) 部分分式法部分分式法对于常用函数对于常用函数Z变换的级数方式，都可以写出其闭合方式。变换的级数方式，都可以写出其闭合方式。 先求出知延续时间函数先求出知延续时间函数e(t)的拉氏变换的拉氏变换E (s)； 将将E (s)展开成部分分式之和的方式；展开成部分分式之和的方式；

10、求拉氏反变换，再求求拉氏反变换，再求Z变换变换E(z)。即为即为Z变换的定义式。变换的定义式。 称称E(z)为为e*(t)的的Z变换变换, 记作记作 Ze*(t)=E(z), 或或 Ze(t)=E(z)8.18.48.58.68.28.3.2性质性质动画演示动画演示 0*)()()(nnTtnTete 由上节已知由上节已知令令z=eTs , 那么那么 =e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+ 0)()(nnznTezE对比对比(2)中结果，有中结果，有11)()(00 zznTezEnn1)|z(|111zz1)( 1)(12-10 zzzznTzEnn1)|z(|111zz1)()(1

11、2-10 zzzznTzEnnT (4) 单位斜坡信号单位斜坡信号 e(t)=t，那么，那么 0)(nnznTZE3. 3. 典型信号的典型信号的Z Z变换变换 两边同乘两边同乘(-Tz)，得单位斜坡信号的，得单位斜坡信号的z变换变换两端对两端对z求导数，得求导数，得10 zzznn201)1(1)( zznnn)1( ,)1(20 zzTzznTnn (3) 单位理想脉冲序列单位理想脉冲序列 e(t)=T(t)(1) 单位脉冲函数单位脉冲函数 e(t)=(t)(2) 单位阶跃函数单位阶跃函数 e(t)=1(t)(5) (5) 指数函数指数函数 e(t)=e-at(a e(t)=e-at(a为

12、实常数，那为实常数，那么么(*)1)(332210 zezezezeZEaTaTaTnnanT 这是一个公比为这是一个公比为(e-aTz-1)的等比级数，当的等比级数，当| e-aT z-1 |1时，时，级数收敛级数收敛,那么可写成闭合方式那么可写成闭合方式(*)11)(1 aTaTezzzeZE所以所以利用利用(*)、(*)式，有式，有(6) (6) 正弦信号正弦信号 e(t)=sin e(t)=sin t , t , 由于由于)(21sintjtjeejt )()(21)(21)(000 nnnTjnnnTjnnnTjnTjzezejzeejzE 1cos2sin1)()(2121)(22

13、 TzzTzeezzeezjezzezzjzETjTjTjTjTjTj 进展部分分式展开，有进展部分分式展开，有:)(,)1(1)()7(变换变换的的设设ztesssE 111)1(1)( sssssE再取拉氏反变换再取拉氏反变换参照参照(2)和和(5),得得tetssLte )( 1111)(1)(1()1(1)( 1 )(TTTtezzezezzzzetZzE (1) 线性定理线性定理假设假设 E1(z)=Ze1(t)，E2(z)=Ze2(t)，a为常数，那么为常数，那么 Ze1(t)+e2(t)= E1(z)+ E2(z)，Zae(t)=a E(z) 例例8.2 8.2 知知e(t)=1

14、(t-T),e(t)=1(t-T),求求Z Z变换变换E(z)E(z)。111)(1)(111 zzzztzzTtZ (3) 复数位移定理复数位移定理 知知e (t)的的Z变换为变换为E(z) ，那么有，那么有 2)1()( aTaTatezezTetZ根据复数位移定理，有根据复数位移定理，有例例8.3 8.3 知知e(t)=t e(t)=t e-at,e-at,求求Z Z变换变换E(z)E(z)。2)1( zTztZ Ze(t) Ze(t) =E(z =E(z e e aT)aT)ate)()(10 knnkznTezEz(2) 实数位移定理实数位移定理假设假设 E(z)=Ze(t)，那么那

15、么 Ze(t-kT)=z-kE(z), Ze(t+kT)=解：解：解：知单位斜坡信号的解：知单位斜坡信号的z z变换为变换为8.3.28.3.1(4) z域微分定理域微分定理假设假设 e (t)的的z变换为变换为E(z)，那么，那么)()(zEdzdTztetZ 假设假设 e (t) e (t)的的z z变换为变换为E(z)E(z)，那么，那么 ZanZan e(t)=E(z/a) , ae(t)=E(z/a) , a为常数为常数 例例8.4 8.4 试求试求ncosncos t t的的Z Z变换。变换。1cos2)cos(cos2 TzzTzztZ 1cos2)()cos(cos.2 Tzz

16、TzztZn 则则2211cos21cos1 zTzTz (5) z域尺度定理域尺度定理解：由变换表解：由变换表(6) 初值定理初值定理)(lim)(lim0zEtezt 假设假设e (t)e (t)的的z z变换为变换为E(z)E(z)，函数序列，函数序列e(nT)e(nT)为有限值为有限值(n=0,1,2,)(n=0,1,2,)，且极限且极限 存在，那么存在，那么 )(limnTen )()1(lim)(lim1zEznTezn 设设x(nT)和和y(nT)为两个采样函数，其离散卷积定义为为两个采样函数，其离散卷积定义为x(nT)y(nT)= ，那么卷积定理为：，那么卷积定理为：Zx(nT

17、)y(nT)=X(z)Y(z) 0)()(kTknykTx)(limzEz 假设假设e (t)的的z变换为变换为E(z)，并有极限，并有极限 存在，那么存在，那么(7) 终值定理终值定理(8) 卷积定理卷积定理8.3.2 Z反变换反变换 从从Z域函数域函数E(z)求时域函数求时域函数e*(t)，叫做，叫做Z反变换。反变换。 记作记作Z-1E(z)= e*(t)。 例例8.5 8.5 知知z z变换函数变换函数 ，试求其试求其z z反变换。反变换。)2)(1(10)( zzzzE 解：首先将解：首先将E(z)/zE(z)/z展开成部分分式展开成部分分式210110)2)(1(10)( zzzzz

18、zE210110)( zzzzzE所所以以nzzzzzz22,1111 查查表表可可得得所以所以 e(nT)=(-1+2n)10 e*(t)=e(0)(t)+e(T)(t-T)+e(2T)(t-2T)+ =0+10(t-T)+30(t-2T)+ 70(t-3T)+ 1. 1. 部分分式展开法部分分式展开法 部分分式展开法是将部分分式展开法是将E(z)E(z)展成假设干分式和的方式，展成假设干分式和的方式，对每部分分式查对每部分分式查Z Z变换表找出相应的变换表找出相应的e e* *(t)(t)。因。因Z Z变换表中变换表中Z Z变换函数分子普遍有因子变换函数分子普遍有因子Z Z，所以应将，所以

19、应将E(z)/zE(z)/z展开成部分分展开成部分分式。式。性质性质8.3.1aTezzzzzE 1)(所所以以 例例8.6 8.6 知知z z变换函数变换函数试求其试求其z z反变换。反变换。)(1()1()(aTaTezzzezE 解：解： 由于由于aTaTaTezzezzezzE 111)(1(1)(所以所以 e e* *(t)=e(0)(t)=e(0)(t)+e(T)(t)+e(T)(t-T)+e(2T)(t-T)+e(2T)(t-2T)+(t-2T)+ =0+(1-e-aT) =0+(1-e-aT)(t-T)+(1-e-2aT)(t-T)+(1-e-2aT)(t-2T)+(1-e-(

20、t-2T)+(1-e-3aT)3aT)(t-3T)+(t-3T)+2. 2. 幂级数法综合除法幂级数法综合除法) ) 2-1-0e(2T)ze(T)ze(0)()(nnznTezE 2-2-110221122110zczcc)(1)(nmzazazazbzbzbbzEnnmm 0*)()(nnnTtcte 查表得查表得 e(t)=1(t)-e-at e(t)=1(t)-e-at 那么那么 e(nT)=1-e-anT e(nT)=1-e-anT由由Z Z变换的定义变换的定义而而那么那么c0,c1,c2,c0,c1,c2,就是脉冲序列就是脉冲序列e e* *(t)(t)各采样点的值各采样点的值e(

21、nT) , e(nT) , 所以所以 8.4.1 线性常系数差分方程及其解法线性常系数差分方程及其解法)()1()()()2()1()(1021mkrbkrbkrbnkcakcakcakcmn J 工程中常用迭代法和工程中常用迭代法和Z变换法来求解差分方程：变换法来求解差分方程：J1. 迭代法迭代法J 根据给定差分方程和输出序列的初值，那么可以利用递根据给定差分方程和输出序列的初值，那么可以利用递推关系，一步一步算出输出序列。推关系，一步一步算出输出序列。2.Z2.Z变换法变换法 用用Z Z变换法解差分方程的本质，是对差分方程两端取变换法解差分方程的本质，是对差分方程两端取Z Z变变换，并利用

22、换，并利用Z Z变换的位移性质，得到以变换的位移性质，得到以z z为变量的代数方程，然为变量的代数方程，然后对代数方程的解后对代数方程的解C(z)C(z)取取Z Z反变换即求得输出序列。反变换即求得输出序列。式中：式中：k第第k个采样时辰；个采样时辰； n系统的阶次。系统的阶次。 普通普通n阶线性定常离散系统的输出和输入之间的关系，可用阶线性定常离散系统的输出和输入之间的关系，可用n阶常系数差分方程描画。阶常系数差分方程描画。8.18.38.58.68.28.4.2 脉冲传送函数脉冲传送函数 脉冲传送函数的定义和意义脉冲传送函数的定义和意义 零初始条件下，系统输出零初始条件下，系统输出C(t)

23、C(t)的的z z变换变换C(z)C(z)与输与输入入r(t)r(t)的的z z变换变换R(z)R(z)之比，称为脉冲传送函数，即之比，称为脉冲传送函数，即G(z)=C(z)/R(z)G(z)=C(z)/R(z)。 假设输入假设输入r(t)=(t), r(t)=(t), 那么那么C(z)=G(z)R(z)=G(z), C(z)=G(z)R(z)=G(z), g g* *(t)=Z-1G(z)(t)=Z-1G(z)。即延续系统的脉冲呼应采样后的。即延续系统的脉冲呼应采样后的Z Z变换即为变换即为脉冲传送函数。脉冲传送函数。)()()(),()()()21zDzGzCzRzGzDa )()()()

24、,()()()(21zRzCzGzRzGzGzC )()()()21sGsGsGb )()()()(2121zGGsGsGZzG 记记为为中中：和和在在)ba 开环脉冲传送函数开环脉冲传送函数1. 串联环节串联环节)()()(2121zGzGzGG 2. 有零阶坚持器的情况有零阶坚持器的情况)()()(1zRssGZzCp )()(112zCzzC )()()1 ()()()(121zRssGZzzCzCzCp )()1()()()(1ssGZzzRzCzGp )()()(1sRsGsE )()(1zRGzE )()()(2zEzGzC )()()(12zRGzGzC 3. 延续信号进入延续环

25、节延续信号进入延续环节-闭环脉冲传送函数闭环脉冲传送函数)()()()1sBsRsE )()()()(*sEsHsGsR )()()()()(*sEsHsGsRsE )()()()(zEzGHzRzE )(1)()(zGHzRzE )(1)()()()()(zGHzRzGzEzGzC )(1)()(,)(11)(zGHzGzzGHze )()()()()()221zEzHGzGzRzE )()(1)()()()()()()(212121zHGzGzRzGzGzEzGzGzC )()()()()()()3*sCsHsGsRsGsC )()()()(zCzGHzGRzC )(1)()(zGHzGR

26、zC )()(1)()()(,)()(11)(212121zHGzGzGzGzzHGzGze 动画演示动画演示 S域的虚轴映射成域的虚轴映射成Z域的圆周；左半域的圆周；左半S平面映射在圆周内，右平面映射在圆周内，右半半S平面映射在圆周外。平面映射在圆周外。 一、一、S S域到域到Z Z域的映射域的映射二、离散系统稳定的充要条件二、离散系统稳定的充要条件1. 时域中：特征方程的根满足时域中：特征方程的根满足ai1 (了解即可了解即可2. Z域中：特征方程域中：特征方程1+HG(z)=0的模的模zi1 (结实掌握结实掌握)三、离散系统的稳定性判据三、离散系统的稳定性判据双线性变换与劳氏判据：双线性

27、变换与劳氏判据：1. 双线性变换双线性变换,11 wwz11 zzw2. 劳氏判据劳氏判据: 方式同延续系统。方式同延续系统。8.18.38.48.68.28.5.2例例8.5.1 稳定性判据稳定性判据动画演示动画演示动画动画 设系统的构造图如以下图所示，采样周期设系统的构造图如以下图所示，采样周期T=1s 。设设 K=10，试分析系统的稳定性，并求系统的临界放大系数。，试分析系统的稳定性，并求系统的临界放大系数。例例8.7解：解： 由图得由图得 )1()1(10)1()1()(22 ssesseKsGsTs368. 0368. 1)264. 0368. 0(10)(2 zzzzG331. 2

28、64. 268. 3)(1)()(2 zzzzGzGz由此得系统特征方程为由此得系统特征方程为 z2+2.31z+3=0求解得一对共轭复根求解得一对共轭复根 1=-1.156j1.29， 2=-1.156-j1.29分布在单位圆外，因此系统是不稳定的。分布在单位圆外，因此系统是不稳定的。 )1( ssKC(s)R(s) seTs 18.5.1 8.5.2由由1G(z)=0求得系统特征方程为求得系统特征方程为 z2-(1.368-0.368K)z+(0.368+0.264K) =0 由系统开环脉冲传送函数由系统开环脉冲传送函数368. 0368. 1)264. 0368. 0()(2 zzzKz

29、G 0104.0736.20528.0264.10632.0KKK得到系统的临界放大系数为得到系统的临界放大系数为: Kc=2.4列劳氏表计算列劳氏表计算 w2 2.736-0.104K 0.632K w1 1.264-0.528K 0 w0 0.632K 为使系统稳定，须有为使系统稳定，须有进展进展w变换得变换得 (2.736-0.104K)w2+(1.264-0.528K)w+0.632K=0动画演示动画演示 1. 终值定理法终值定理法 8.5.2 稳态误差的计算稳态误差的计算)(1 )()1(lim)()1(lim)(lim)(111*zGzzRzzEzteezzt 2. 误差系数法误差系数法 (1) 单位阶跃输入时单位阶跃输入时 r(t)=1(t) )(1lim1zGKzp (2) 单位斜坡输入时