2017海淀区高二(下)期中(数学)理含答案

1、2017海淀区高二（下）期中数 学（理科）一.选择题：本大题共 8小题，每小题4分，共32分.1. （4分）复数1 -百i的虚部为（）A. . ;iB. 1C. . ； D.-lxdx=()02. （4 分）A. 0 B. X C. 1D. - L223. （4分）若复数Z1, Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且 Z1=1+i ,则Z1?Z2=（）A. - 2B. 2C. - 2i D . 2i4. （4分）若a, b, c均为正实数，则三个数 a+, b+, c+1这三个数中不小于 2的数（）b c aA.可以不存在 B.至少有1个C.至少有2个 D,至多有2个5. （4分）定义在R上的

2、函数f （x）和g （x）,其各自导函数f ' （x） f和g' （x）的图象如图所示，则函数 F （x）=f （x） - g （x）极值点的情况是（）卡一/4MA.只有三个极大值点，无极小值点B.有两个极大值点，一个极小值点C.有一个极大值点，两个极小值点D.无极大值点，只有三个极小值点6. （4分）函数f （x） =lnx与函数g （x） =ax2-a的图象在点（1, 0）的切线相同，则实数 a的值为（）A. 1 B. - - C. D.工或-22227. （4分）函数y=ex （2x-1）的大致图象是（）.1) h A.B.C. | D.4 / 98. (4分)为弘扬中国

3、传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查.调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：(1)甲同学没有加入“楹联社”；(2)乙同学没有加入“汉服社”；(3)加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；(4)加入“汉服社”的那名同学在高一年级；(5)乙同学不在高三年级.试问：丙同学所在的社团是()A.楹联社B .书法社 C.汉服社D.条件不足无法判断二.填空题：本大题共 6小题，每小题4分，共24分.9. (4分)在复平面内，复数 上L对应的点的坐标为 .i10. (4分)设函数f (x), g (x)在区间(

4、0, 5)内导数存在，且有以下数据:234341421142413x1f(x)2f '( x)3g(x)3g'(x)2则曲线f (x)在点(1, f (1)处的切线方程是 ;函数f (g (x)在x=2处的导数值是11. (4分)如图，f (x) =1+sinx ,则阴影部分面积是12. (4分)如图，函数f (x)的图象经过(0, 0), (4, 8), (8, 0), (12, 8)四个点，试用二,V”填空:久4AFC2) f(12)-f(8D(2) f ' ( 6) f ' (10).13. (4分)已知平面向量 a= (xi, yi), b=(X2, y

5、2),那么 a?b=xiX2+yiy2；空间向量 a= (xi, yi, zi), b=(X2, y2. Z2),那么 a?b=xix2+yiy2+ziZ2.由此推广到n维向量：a=(ai,a2,，an),b|=(bi,b2,，bn),那么由？b=14. (4分)函数f (x) =ex- alnx (其中aCR, e为自然常数)？ aC R,使得直线y=ex为函数f (x)的一条切线；对？ a<0,函数f (x)的导函数f' (x)无零点；对？ a<0,函数f (x)总存在零点；则上述结论正确的是.(写出所有正确的结论的序号)三.解答题：本大题共 4小题，共44分.解答应写

6、出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (10 分)已知函数 f (x) =x3 - 3x2- 9x+2(I)求函数f (x)的单调区间；(n)求函数f (x)在区间-2, 2上的最小值.16. (10 分)已知数列a n满足 ai=1, an+i+an=n+1 Vn-1, n N*.(I)求 a2, a3, a4；(n)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明.17.12分)已知函数f (x) =x - ( a+1) Inx 一，其中aC R.(I)求证：当 a=1时，函数y=f (x)没有极值点;(n)求函数y=f (x)的单调增区间.18. (12 分)设 f (x) =et(x 1)

7、 tlnx , (t>0)(I )若t=1 ,证明x=1是函数f (x)的极小值点;(n)求证：f (x) >0.5/ 92017海淀区高二(下)期中数学(理科)参考答案选择题：本大题共 8小题，每小题4分，共32分.1 【解答】复数1-有i的虚部为-V5 故选：D.2 .【解答】lxdx=Lx2|1020 2故选：B3 .【解答】二复数zi、Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，zi=1+i,Z2= - 1+i .zi?z2=- (1+i) (1 i) =2.故选：A4 .【解答】假设a+工，b+L, c+上这三个数都小于 2,b c a - a+b+c+v 6b|c|aa+b+c

8、+ (a+工)+ (b+) + (c+) > 2+2+2=6,b|c|aa b |c|这与假设矛盾，故至少有一个不小于 2故选：B5【解答】F' (x) =f' (x) - g' ( x),由图象得f' (x)和g' (x)有3个交点，从左到右分分别令为 a, b, c,故 xC (-巴 a)时，F' (x)<0, F (x)递减,xC ( a, b)时，F' ( x) > 0, F (x)递增，xC ( b, c)时，F' ( x) v 0, F (x)递减，xC (c, +oo)时，f' ( x) &

9、gt;0, F (x)递增，故函数F (x)有一个极大值点，两个极小值点,故选：C.6 .【解答】由题意，f' ( x) =-L, g' ( x) =2ax,:函数f （x） =lnx与函数g （x） =ax2-a的图象在点（1,0）的切线相同,1=2a, a=2故选C.7 .【解答】v' =ex (2x-1) +2ex=ex (2x+1),令 y =0 得 x=-,2当 xv 时，y' v 0,当 x>时，y' > 0,22，y=ex (2x-1)在(-巴二)上单调递减，在(-上，+00)上单调递增, |22当x=0时，y=e°(

10、0T) =-1,.函数图象与 y轴交于点(0, -1);令 y=ex (2x-1) =0得*=, f (x)只有 1 个零点 x=,22当 x<'时，y=ex (2x - 1) < 0,当 x>时，y=ex (2x - 1) >0,22综上，函数图象为 A故选A.8 .【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3）,可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A.二.填空题：本大题共 6小题，每小题4分，共24分.9 .【解答】复数1乜-。*）1 =T - i在复平面内对应的点的坐标

11、（-1, - 1）.i i2故答案为：（-1, - 1）.10 .【解答】f' ( 1) =3, f (1) =2, .曲线f (x)在点(1, f (1)处的切线方程是 y=3x - 1,f (g(x)'=f' (g(x)g' ( x), x=2 时，f ' (g )g' (2) =3X4=12,故答案为y=3x-1; 1211 .【解答】 由图象可得 S= J ； (1+sinx) dx= (x cosx) | ；=兀cost： ( 0 cos0) =2+兀，故答案为：+ +212 .【解答】(1)由函数图象可知if% £(121-

12、m)卫=2,22-0|44|24(2) f (x)在(4, 8)上是减函数，在(8, 12)上是增函数， f ' (6) <0, f' ( 10) > 0, f ' ( 6) vf ' ( 10).故答案为(1) >, (2) v.13 .【解答】 由题意可知W?E=ab1+a2b2+a3b3+anbn.故答案为：ab+a2为+a3b3+anbn.14 .【解答】 对于，函数f (x) =ex - alnx的导数为f'(x)m, f ( m),贝U e=em_m ,em=e alnm,可取m=1, a=0,则？ aC R,使得直线y=e

13、x为函数f (x)的一条切线，故正确;对于，？ av 0,函数f (x)的导函数f' (x)=ex-且，由x>0,可得f' ( x) > 0, x则导函数无零点，故正确；对于，对？ a< 0,函数 f (x) =ex- alnx ,由 f (x) =0,可得 ex=alnx ,分别画出y=ex和y=alnx , (a<0)的图象，可得它们存在交点, 故f (x)总存在零点，故正确.故答案为：.设切点为(11 / 9三.解答题：本大题共 4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 .【解答】(I) f' ( x) =3x2-6x

14、-9=3 (x+1) (x-3),令 f ' ( x) =0,得 x= - 1 或 x=3,当x变化时，f' ( x), f (x)在区间R上的变化状态如下：x;一1,3,一f' (x)+0-0+f (x)/极大极小/所以f (x)的单调递增区间是(-8, 1), (3, +8)；单调递减区间是(-1,3);(n)因为 f ( 2) =0, f (2) =-20,再结合f (x)的单调性可知，函数f (x)在区间-2, 2上的最小值为-20.16.【解答】(I)由题意 a1=1, a2+a1=/2, a3+a2=/3- 1, a4+a3=2- 解得：a2=.12 1,

15、a3=x小近,a4=2 - 3(n)猜想：对任意的 nCN*, an='/n_Vn_l,当n=1时，由a1=1= /1 - V1-1，猜想成立.- - - - - -.假设当n=k (kCN)时，猜想成立，即ak=反-Vk-1贝U 由 ak+1+ak=/ k+1 - 'JkT,得 ak+1 =V k+1 -,即当n=k+1时，猜想成立，由、可知，对任意的nCN*,猜想成立，即数列a n的通项公式为an=Vn - Vn-1.17.【解答】(I)证明：函数 f (x)的定义域是(0, +8).当 a=1 时，f (x) =x2lnx 二,所以函数f (x)在定义域(0, +8)上单

16、调递增,所以当a=1时，函数y=f (x)没有极值点；/ 门、工，/、 a+l a (箕-1)(工、(n) f( x) =1 +- , xC (0, +8)工 22令 f' ( x) =0,得 Xi=1, x2=a,aW0时，由f' ( x) > 0可得x>1,所以函数f (x)的增区间是(1, +8)；当 0v av 1 时，由 f' ( x) > 0,可得 0vxv a,或 x> 1,所以函数f (x)的增区间是(0, a), (1, +00)；当a>1时，由f' (x)> 0可彳导0<x<1,或x>a,

17、所以函数f (x)的增区间是(0, 1), (a, +00)；当a=1时，由(I)可知函数 f (x)在定义域(0, +8)上单调递增.综上所述，当aw。时，函数y=f (x)的增区间是(1, +8)；当0vav1时，所以函数f (x)的增区间是(0, a), (1, +00)；当a=1时，函数f (x)在定义域(0, +00)上单调递增；当a> 1时，所以函数f (x)的增区间是(0, 1), (a, +8).18.【解答】 证明：(I)函数f (x)的定义域为(0, +8),(1分)若 t=1 ,则 f (x) =ex 1 - lnx ,(2 分)因为f ' (1) =0,(3分)且 0vxv1 时，< 把"二，即 f' (x)<0,所以f (x)在(0, 1)上单调递减；(4分)x>1 时，e/T曰口二 1>上，即 f' (x) >0,所以f (x)在(1, +8)上单调递增；(5分)所以x=1是函数f (x)的极小值点；(6分)(n)函数 f (x)的定义域为(0, +8), t>0