第一章有限单元法的简要介绍和发展历史

1、FINITE ELEMENT METHOD 主讲：江巍参 考 书 目11王勖成王勖成, ,邵敏邵敏. .有限单元法基本原理和数值方法有限单元法基本原理和数值方法. .清华大学出版社清华大学出版社22周中坚周中坚, ,卢耀祖卢耀祖. .机械与机械结构的有限元分析机械与机械结构的有限元分析. . 同济大学出版社同济大学出版社33朱伯芳朱伯芳. .有限单元原理及其应用有限单元原理及其应用. .中国水利水电出版社中国水利水电出版社44蒋孝煜蒋孝煜. .有限元法基础有限元法基础. .清华大学出版社清华大学出版社55徐芝纶徐芝纶. .弹性力学简明教程弹性力学简明教程. .高等教育出版社高等教育出版社v 主

2、要有德国的主要有德国的ASKAASKA；v 英国的英国的PAFECPAFEC；v 法国的法国的SYSTUSSYSTUS；v 美国的美国的ALGORALGOR、ABQUSABQUS、ADINAADINA、ANSYSANSYS、SAP90SAP90、BERSAFEBERSAFE、BOSORBOSOR、COSMOSCOSMOS、ELASELAS、MARCMARC和和STARDYNESTARDYNE等公司的产品。等公司的产品。商 业 软 件v 1818世纪末，欧拉在创立变分法的同时就曾用与现代有限元相似的方法求世纪末，欧拉在创立变分法的同时就曾用与现代有限元相似的方法求解轴力杆的平衡问题解轴力杆的平衡

3、问题 v 19431943年年CourantCourant用最小势能原理和现代有限元法中的线性三角元求解用最小势能原理和现代有限元法中的线性三角元求解st st VenantVenant弹性扭转问题弹性扭转问题 v 19561956年年v 19601960年年 。v Journal of Applied MechanicsJournal of Applied Mechanics许多年都拒绝刊登关于有限元方法许多年都拒绝刊登关于有限元方法的文章的文章 。发 展 历 史 之 启 蒙发 展 历 史 之 启 蒙v 众多数学家的加盟使得有限元进入黄金发展阶段。众多数学家的加盟使得有限元进入黄金发展阶段。

4、v 有限元方法的理论和程序主要来自各个高校和实验室有限元方法的理论和程序主要来自各个高校和实验室 v BerkeleyBerkeley的的Ed WilsonEd Wilson发布了第一个程序，第一代的程序没有名字，第发布了第一个程序，第一代的程序没有名字，第二代线性程序就是著名的二代线性程序就是著名的SAP(structural analysis program)SAP(structural analysis program)，非线，非线性程序就是性程序就是NONSAPNONSAP。 v 位于洛杉矶的位于洛杉矶的MSCMSC公司自公司自19631963创立并开发了结构分析软件创立并开发了结构分

5、析软件SADSAMSADSAM，在，在NASANASA项目资助下项目资助下MSCMSC于于19711971年推出自己的专利版本年推出自己的专利版本MSC.NastranMSC.Nastran。v 第一批非线性有限元方法的主要贡献者有第一批非线性有限元方法的主要贡献者有Argyris(1965)Argyris(1965)，MarcalMarcal和和King(1967)King(1967)，其中，其中Pedro MarcalPedro Marcal毕业于毕业于BerkeleyBerkeley大学，任教于大学，任教于BrownBrown大大学，于学，于19691969年创建了第一家非线性有限元软件

6、公司年创建了第一家非线性有限元软件公司MARCMARC公司，在公司，在19991999年年被被MSCMSC公司收购。公司收购。 发 展 历 史 之 诞 生v K.J. BatheK.J. Bathe（导师（导师Ed WilsonEd Wilson），），MITMIT任教，在任教，在NONSAPNONSAP的基础上发表了著的基础上发表了著名的非线性求解器名的非线性求解器ADINA (Automatic Dynamic Incremental ADINA (Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis)Nonlinear Analysis)，其源

7、代码因为长时期广泛流传而容易获得。，其源代码因为长时期广泛流传而容易获得。 v David Hibbitt David Hibbitt （导师（导师Pedro MarcalPedro Marcal），在），在19721972年与年与KarlssonKarlsson和和SorensenSorensen共同建立共同建立HKSHKS公司，推出了公司，推出了AbaqusAbaqus软件。软件。AbaqusAbaqus凭借强大的技凭借强大的技术、出色的前后处理和可拓展的二次开发功能，稳占高校和研究所的市术、出色的前后处理和可拓展的二次开发功能，稳占高校和研究所的市场，论文发表数量多。场，论文发表数量多。

8、 v John SwansonJohn Swanson博士在博士在WestinghouseWestinghouse公司为核能应用方面发展了一个非线公司为核能应用方面发展了一个非线性有限元程序性有限元程序( (主要是关注非线性材料主要是关注非线性材料) )，于，于19701970年创建年创建SASI(Swanson SASI(Swanson Analysis System,Inc)Analysis System,Inc)公司，后来重组更名为公司，后来重组更名为ANSYSANSYS公司，公司，ANSYSANSYS是著名是著名的多物理材料非线性有限元软件，通过并购发展迅速壮大，模块越来越的多物理材料

9、非线性有限元软件，通过并购发展迅速壮大，模块越来越多，商业化程度和市场占有率很高。多，商业化程度和市场占有率很高。 发 展 历 史 之 崛 起）与其它课程的关系各门课程的任务材料力学：研究杆状构件在拉压，剪切，弯曲，扭转作用下的应力和位移。材料力学：研究杆状构件在拉压，剪切，弯曲，扭转作用下的应力和位移。结构力学：在材料力学基础上研究杆状构件所组成的结构结构力学：在材料力学基础上研究杆状构件所组成的结构 例如，行架，刚架等，这些都是所谓的杆件系统。例如，行架，刚架等，这些都是所谓的杆件系统。弹性力学：非杆状结构，例如板和水坝，地基等实体结构以及对杆状构件弹性力学：非杆状结构，例如板和水坝，地基

10、等实体结构以及对杆状构件作进一步，较精确的分析。它与材料力学的研究方法不同，主要是在材力作进一步，较精确的分析。它与材料力学的研究方法不同，主要是在材力中引入了构件形变状态或应力分布的假设中引入了构件形变状态或应力分布的假设 ，使数学推导大大简化，其解是，使数学推导大大简化，其解是理论解（近似的），而弹性力学则更精确一些。理论解（近似的），而弹性力学则更精确一些。计算力学：是应用结构力学，弹性力学，计算数学，计算机学的一个结合，计算力学：是应用结构力学，弹性力学，计算数学，计算机学的一个结合，提供近似的数值计算方法，解决问题，而有限元法是其中的一种方法。提供近似的数值计算方法，解决问题，而有限

11、元法是其中的一种方法。上述各种方法最终目标是确立研究对象的应力，形变和位移，上述各种方法最终目标是确立研究对象的应力，形变和位移，用以校核其是否有所需要的强度和刚度。用以校核其是否有所需要的强度和刚度。 关于有限元法关于有限元法 英文缩写英文缩写FEMFEM（Finite Element MethodFinite Element Method） 应用中习惯称有限元分析应用中习惯称有限元分析 是一种连续结构离散化数值计算方法，借助于数学和力学知是一种连续结构离散化数值计算方法，借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解决工程技术问题识，利用计算机技术而解决工程技术问题 FEMFEM与与CAECAE

12、 CAECAE计算机辅助工程（计算机辅助工程（Computer Aided EngineeringComputer Aided Engineering） CAECAE范围更广，还包含其它工程分析方法范围更广，还包含其它工程分析方法基本思想基本思想将一个连续的求解域（连续体）离散化即分割成彼此用节点（离将一个连续的求解域（连续体）离散化即分割成彼此用节点（离散点）互相联系的有限个单元，在单元体内假设近似解的模式，用有散点）互相联系的有限个单元，在单元体内假设近似解的模式，用有限个结点上的未知参数表征单元的特性，然后用适当的方法，将各个限个结点上的未知参数表征单元的特性，然后用适当的方法，将各个单

13、元的关系式组合成包含这些未知参数的代数方程，得出个结点的未单元的关系式组合成包含这些未知参数的代数方程，得出个结点的未知参数，再利用插值函数求出近似解。是一种有限的单元离散某连续知参数，再利用插值函数求出近似解。是一种有限的单元离散某连续体然后进行求解得一种数值计算的近似方法。体然后进行求解得一种数值计算的近似方法。由于单元可以被分割各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好由于单元可以被分割各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好的适应复杂的几何形状，复杂的材料特性和复杂的边界条件，再加上的适应复杂的几何形状，复杂的材料特性和复杂的边界条件，再加上它有成熟的大型软件系统支持，使它已成为一种非常受欢

14、迎的，应用它有成熟的大型软件系统支持，使它已成为一种非常受欢迎的，应用极广的数值计算方法。极广的数值计算方法。操作流程位移型有限元法求解静力问题的一般步骤：位移型有限元法求解静力问题的一般步骤：）划分单元；）划分单元；）计算单元刚度矩阵；）计算单元刚度矩阵；）进行载荷移置；）进行载荷移置；）引入约束，解方程组求得位移；）引入约束，解方程组求得位移；）计算应力和应变。）计算应力和应变。注：若以节点力为未知参数，先求出节点处的节点力，后求位移与应注：若以节点力为未知参数，先求出节点处的节点力，后求位移与应力的方法，称为力型有限元法。力的方法，称为力型有限元法。操作流程结构离散化：结构离散化： 1

15、1）划分网格；）划分网格； 2 2）载荷移置；）载荷移置； 3 3）简化约束。）简化约束。单元刚度矩阵与刚度系数：单元刚度矩阵与刚度系数： 1 1）单元刚度矩阵物理意义为单元抵抗变形的能力；）单元刚度矩阵物理意义为单元抵抗变形的能力； 2 2）刚度系数的物理意义是产生单位位移时需要的力的大小。）刚度系数的物理意义是产生单位位移时需要的力的大小。1 单元1100 mm2 单元2 3100 mmxilj( a )( b )iuju3P3u2u1uixjxA1200 mm2 ， A2100mm2 ， lll12100 mm EEE125210MPa P3101104kN N 简单实例uxabxe(

16、) 简单实例1 单 元11 0 0 m m2 单 元2 31 0 0 m mxilj( a )( b )iuju3P3u2u1uixjxu1u2u3简单实例ijiujuixxleyyiozoozxxjzyoxoijoxyxxijky简单实例ijiujuixjxxlxuxuei0:( ) xluxuej:( )aubuuliji/ (2) uxabxe( ) ijx简单实例uxuuuxleiji( ) jiuulxlx1jiulxulx 1形状函数或形函数exN)(单元节点位移矢量 T,jieuulxlxxN1)(简单实例dUe21epeWU简单实例xxuee)(eexNxNjiuull11简单

17、实例ledxEAU0221Ejieuull11dxEAUTle02dxuulllluuEAUjiljie1111,20简单实例jijieuulEAuuU1111,21 eeTeeUK21KEAle1111单元刚度矩阵jieuu对单元 ，对单元 ，12112223uuuu简单实例jjiiepuPuPWjiTjiPPuu eTeP单元节点荷载jiePPP简单实例 2121eeeTeeeTePK0021PeeiiWUuu ，i = 1 , 2 , 3简单实例KPeeee120PKeee简单实例eKKePPKP021eeKK整体刚度矩阵uuu123节点位移PPPP123节点荷载简单实例1 单 元11 0 0 m m2 单 元2 31 0 0 m mxilj( a )( b )iuju3P3u2u1uixjxKE Aluu11115555121111410410410410 u1u2简单实例1 单 元11 0 0 m m2 单 元2 31 0 0 m mxilj( a )( b )iuju3P3u2u1uixjx32555522221021021021021111uulAEK2u3u简单实例KKeuiKuuu 410410041041021021002102