浅谈伴随矩阵Word版

1、专业负责人批准日期毕 业 论 文 任 务 书院（系）： 理学院 专业 数学与应用数学（师范） 班 级： 数学08-2 学生： 蔡振强 学号： 08124080213一、毕业论文课题 浅谈伴随矩阵 二、毕业论文工作自 2011 年 3月 20 日起至 2012 年 6 月 15 日止三、毕业论文进行地点 图书馆、论文课室 四、毕业论文的内容要求（一）：内容要求，其中讨论的范围是：一、伴随的定义与基础性质；二、伴随矩阵的计算；三、伴随矩阵与原矩阵的关系；四、伴随矩阵的证明与证明的应用；五、伴随矩阵转化的应用；六、伴随矩阵的推广与探讨。（二）论文撰写具体要求： 1、确定论文题目后，要围绕题目的有关问

2、题，查阅资料，认真研究参考文献，形成论文书写的基本思路，撰写研究研究论文提纲 2、根据论文提纲内容，撰写论文，论文思路要清晰，层次要分明，论点和依据要充分，要有创新，有自己独到见解，语言流畅。 3、论文分综述，论文正文两部分。综述不少于2000字，综述部分应回答研究目的、研究方法、其他研究人员就此问题已做过哪些相关研究、论文研究的主要成果等问题。正文不少于8000字，参考文献不少于10篇，其中外文文献至少一篇。 4、要按学院统一规定时间完成论文，并按学院统一要求的格式打印论文。 指导教师 接受论文任务开始执行日期 2012 年 3 月 6 日学生签名 1 / 51摘要伴随矩阵是高等代数中不可缺

3、少的一部分内容，如果能深入的学习和探讨伴随矩阵，那将充分的充实高等代数中矩阵的内容，则对高等代数的理解、学习、应用起到良好的作用。本文开始详细的阐述了伴随矩阵的定义与基本性质为下面探讨做准备，接着进入伴随矩阵的计算，这是内容的重点和数学思想方法。伴随矩阵与原矩阵的关系，这有利于培养数学思想，提高数学思维。伴随矩阵的证明与转化的应用这是对基础性质和内容的巩固。通过对上面的探讨、进一步深入学习、推广、探索研究，从而丰富伴随矩阵的内容，掌握伴随矩阵的计算方法及数学思想，增强辩证思维，提高学习效率与能力，充实知识与内容。关键词：伴随矩阵 原矩阵 性质 计算 AbstractAdjoint matrix

4、 is an indispensable part of the higher mathematics. To study and explore further of adjoint matrix will not only enrich the knowledge of matrix, but also contribute to the study and understanding of higher mathematics. This thesis will give an elaboration of the definition and properties of adjoint

5、 matrix at the beginning, and focus on the calculation of adjoint matrix in the following chapter, which is the emphasis of the thesis and the thought and method of mathematics. Also, the study of the relationship between adjoint matrix and original matrix is helpful for the cultivation of thinking

6、method on mathematics. The justification and transform of adjoint matrix consolidate the properties and content of adjoint matrix. the thesis try to enrich the adjoint matrix through further study and exploration step by step, and make the readers understand and master the calculation of adjoint mat

7、rix and the thinking method of mathematics, and also influence their dialectical thinking, study effect and ability.Key words: adjoint matrix original matrix properties calculation第一章 引言伴随矩阵是高等代数中不可缺少的一部分，对其研究充分的展示了矩阵内容的全面性，对于伴随矩阵的计算方法，和一些有关于等式的证明，是我们本文所要研讨的内容。关于伴随矩阵的应用，这也是经常会用到的，例如求逆矩阵的时候，我们往往会用到伴随

8、矩阵的知识等等。掌握好伴随矩阵的基本性质，在这个性质上进行计算探讨、证明、应用，最后进行推广。1.1研究背景伴随矩阵在高代中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候我们就更需要这一方面的知识了。伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中的到广泛的推广。从学习上来说，学习伴随矩阵不仅可以增加学习者的知识，在矩阵的研究中，我们通过进一步学习伴随矩阵，使我们的知识得到巩固和扩充。数学思想来说，学习这一方面的知识，可以使学生的数学思想得到有效的提高，通过这一次的数学探讨，学生是有必要的。为了能更好的掌握这一方面的知识

9、，增强学生的数学思维，提高学生的知识能力，取得更好的学习效果，我们来学习本次知识内容。1.2文献综述经过三个多月的努力，我的论文基本完成，在这个过程中，我通过收集的方式参考了很多书籍、文章、报刊和网上学习。通过这些资料，我深入的学习、探讨、研究和分析。我总结出了，这些资料对于我这次的学习有很大的帮助，通过这些资料我们可以更全面的来探讨我们所学的内容，它对我这次完成我的论文起到不可缺少的作用。下面就是我所引用的文献综述：高等代数第五版给出了伴随矩阵的基本性质，关于可逆矩阵与伴随矩阵的转化关系，关于伴随矩阵与矩阵的逆它们的求法。在矩阵中求它的逆，我们是否在求逆方法之外的其他方法呢？通过这些等式我们

10、可以更好的求你矩阵。这些基础性质是伴随矩阵探究不可缺少的内容，是我所写论文的基础。高等代数考研教案，北大·三版，这本书主要是探讨伴随矩阵的一些简单的计算和一些特殊的证明，通过这些计算证明总结出计算方法和数学思想。高等代数北京大学第三版，基础内容，一些困难的计算与证明，这主要是学习一些比较困能的求法和证法，通过这次学习，使知识有更一步的提高，数学思维有明显的进步。一种求伴随矩阵的方法莆田学院学报。这是关于求伴随矩阵的一种计算方法，具有概括性的方法。伴随矩阵的一个性质桂林市教育学院学报（综合版），这是伴随矩阵的一种特殊的情形，这种特殊的情形是有规律的，这种规律可以得出伴随矩阵的规律。高等

11、代数教学研究，西南大学出版的，主要是深入研讨，一些特殊的方法、计算还有其他方面的应用等。还有其他的参考书和网络资料，在这里我就不一一列举，通过这些资料给我启发很大，通过这些资料我才能够顺利的完成了我的学院论文。1.3计算方法本人写作之前在网上和图书管查看了许多相关的资料，也做好了笔记，通过我多方努力，我把握了我需要的材料，经我再三的思考，我总结好我的论文结构，对我所查的资料认真运用，也在这基础我创新出我的观点，相当多的一部分内容是我自己得出的，如我想出运用行列式的技巧来探讨伴随矩阵.1.4勇于创新 勤于思考 本内容是根据高等代数中的伴随矩阵内容而写，其中所探讨的内容有好几方面，有伴随矩阵的基础

12、性质，有关伴随矩阵的计算方法，还有定义、定理、证明等等。内容很多，也有些复杂、凌乱。在学习中有可能慌乱，抓不住主题，课后的习题也比较多，涉及的知识点也很多。因此必须在清楚的认识、理解矩阵的内容和伴随矩阵的知识，才能更好的学习与掌握。通过这一次的学习，我们要学习这种计算方法、证明方法，更重要的是在一系列的学习以后，对知识进行推广与扩充，学习这一种数学方法，做的勇于创新，勤于思考，更好的掌握高等代数的知识与内容。第二章 伴随矩阵的定义性质与计算、应用在高等代数的学习研讨中，每一个知识内容都是不可缺少的，也是有着重要意义的，这些内容包含着重要的数学思想，在矩阵的研讨中，它更是高等代数中不可缺少的一部

13、分，伴随矩阵是矩阵中的一个特殊知识点，伴随矩阵的性质也和原矩阵有着密切的联系。矩阵的计算是矩阵不可缺少的内容，通过伴随矩阵计算，我们可以解决很多应用性的问题。逆矩阵的求法是矩阵的重要组成部分，通过学习伴随矩阵，我们可以更好的解决这方面的内容。伴随矩阵等价关系的证明也是极其重要的，通过这次学习掌握这方面的知识。学习伴随矩阵，我们可以在这个基础上，进行推广。2.1定义与基础性质伴随矩阵的由来，其定义，伴随矩阵是根据原矩阵而定义的，它们存在一定的关系的，在这个基础上它们在一定的条件关系中有一定的等价关系。它们的基础性质也由此而产生了。2.11在矩阵中进行伴随矩阵定义定义2.111 在一个阶行列式中的

14、某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的阶子式.定义2.112阶行列式的元素的余子式附以符号后，叫做元素的带上余子式.元素的代数余子式用符号来表示：定义2.113 设是行列式中元素的代数余子式令我们把叫做矩阵的伴随矩阵。注：我们所说的伴随矩阵是指矩阵，那么对视矩阵时是否存在伴随矩阵呢？这里是不存在的因为对于中代数余子式是没有值的，所以我们这里的伴随矩阵是阶的。2.12伴随矩阵的基本性质性质2.121若，则由，得伴随矩阵可逆，且，再由，得。注：关于证明.容易求得.性质2.122对于，根据，得若，则；若时，可分下面情况；若，则，；若，则可以，于是有非零解，从而，则有.综上所述，总有.性

15、质2.123若，则，.性质2.124若，都是阶可逆方阵，则由，得性质2.125设，若，则，所以，即可逆，从而.若，则至少有阶子式不为0，从而.又，则有，的线性无关的列是线性方程组的线性无关的解，于是，因此得；若，则的所有阶子式都为0，从而.综上所述，有性质2.126因为注：，性质2.127证明：时，则易知；当（对于，此公式不成了，这里不讨论.2.2伴随矩阵的计算.伴随矩阵的计算是本随矩阵不可缺少的一部分内容，那么要学习好伴随矩阵，本人主要是通过伴随矩阵入手，通过探究伴随矩阵的计算，从而更好的研究伴随矩阵，下面的内容是通过两种方法入手。第一种是从定义入手，这个计算方法是基础的，是研究伴随矩阵不可

16、缺少的内容。当然这种计算繁杂，不利于技巧性，也比较的容易出错，对于比较高阶的矩阵是比较的困难的。因此本人又从另一方面进行计算探究，这是分情况讨论性学习，其中是从三种情况进行，通过三种情况分析进行伴随矩阵的求解，我们也可以很容易的求解到结果，从而避免了定义式计算的繁杂。这种方法技巧、灵活，特别是关于这种情况技巧性更强，这是一种最实用的求伴随矩阵的方法。通过这两种求解法来探讨伴随矩阵的计算。另外我们又学习了一种特殊的计算，上三角的两种求法。2.21定义式计算.这是一种根据伴随矩阵的定义来计算，其特点是对于知道一个原矩阵就可以求它的伴随矩阵，其缺点是计算繁杂，不利多阶计算。例1. 已知，求.解：根据

17、定义可求得即例2 已知，求.解：，求得 注：从上例2，我们可以知道计算量会变的很大，如果是4阶的话就会更大，因此我们下面讨论一些特殊的情况，我们可以用一些简便的方法来求。2.22分情况求解法.其中阶方阵.第一种情形；第二种情况；第三种情况。、，即是可逆的，那么我们由因此我们只要求出与即可。因为是知道的，所以可以求出它的行列式。再者因为是可逆的。我们运用前面所学的可以求出的逆：注：这里的变化是初等行变换求可逆，这里只允许实施初等行变换。例3 设，求伴随矩阵。解：，可逆，则有易求得，现在求，根据求得则、对于的情形定理1如果，有基本性质2.125得.可设其中是齐次线性方程组的一个基础解系，证：，并且

18、齐次线性方程组的解空间也是1维的，因此设是其一个基，那么中每一列向量都是的线性组合，故可得，从而现在我们通过下面的方法进行求伴随矩阵：构造阶矩阵，其中阶单位矩阵，只进行行的消法或互换两行的初等变化，则经过上述要求的行初等变换得到如下对于时有对于时有由于时，有，所以时有，根据上面的结果，我们可以求得的基础解系是通过求出则为所求关于的值，假设求得，那么，（）例4求矩阵的伴随矩阵.解：可求得即符合定理1所以容易求得，由于，则、，容易求解到综上所述就是分情况求解法，这三种方法覆盖所有的阶方阵伴随矩阵求解.那么对于方阵，当然容易求解。2.23浅谈上（下）三角的求伴随矩阵的两种方法。首先我们先来探究上三角

19、伴随矩阵的两种求法，利用这种方法我们可以同样的求下三角。现在求的伴随矩阵。第一种方法：直接定义法.现在设表示所求中的某一具体元素，那么分别表示元素的行标和列标；现在设分别表示任意元素的行标和列标。那么不经代数余子式的计算，可按下列方法将中个元素算出来。当的时候，即所求中某一元素的行标数小于列标数，则.当的时候，即所求中某一元素的行标数等于列标数，这时（为元素连乘符号，表示遍取排除后的所有数）当的时候，即所求中某一元素的行标数减去列标数等于1，则(表示遍取排除后的所有数)当的时候，首先来探讨关于这样的一个行列式. 按照这样张开我们可以求得的值，也就是是已知，现在我们来求：第二种方法与第一种方法大

20、概是相同的，只不过它是从的逆矩阵来求，我们都知道当存在逆的时候，那么，这里我们很容易求得，只要求出的逆便可以了。对于我们可以通过上三角化逆进行，我们把分别表示元素的行标和列标。表示的行标和列标的代数余子式，设分别表示任意元素的行标和列标。那么因为可逆，则。我们分别求得：当的时候，即所求中某一元素的行标数小于列标数，则.当的时候，即所求中某一元素的行标数等于列标数，这时（为元素连乘符号，表示遍取排除后的所有数）当的时候，即所求中某一元素的行标数减去列标数等于1，则(表示遍取排除后的所有数)当，即所求中某一元素的行标数减去列标数大于等于2，则，在这里我们还知道所以我们同样可以求得对于下三角我们同理

21、也可以得出这种方法。注：这两种方法同时都是通过发现他们的规律来求元素的，在这里它们仅是不同就是在于所求的矩阵不同，其中第一种方法是直接就求出它的元素，而第二种是间接求出逆矩阵再求伴随矩阵。困难的理解在于两题的第四部分的时候. 不过只需认真就可以发现第四部分的规律，从第一种证明中，我们就可以看出，只要求出就可以求出代数余子式。2.24分块对角可逆阶矩阵求伴随矩阵.这里有一个条件就是分块矩阵都可逆.第一种对角，求.解：因为阶可逆，则可逆，所以求得.第二种对角，求解： 所以求得例5已知求伴随矩阵.解：，其中，根据定理上面第一种方法求得例6已知求伴随矩阵.解：令，即是求得，根据第二种方法求得2.3 关

22、于伴随矩阵有关的一些特殊等式关系.这是关于版随机阵的一些特殊的关系，特殊体现在没有公式可言，但这种关系是存在的，通过这种关系我们可以更好的学习伴随矩阵的内容，也有利于增加我们的知识水平通过这种学习还可以培养我们的兴趣，增广伴随矩阵的内容。引理1 已知阶方阵，则方阵的行列式之值等于它任一行（列）元素与它对应得代数余子式乘积之和，即2.31行（列）之和相等原矩阵与伴随矩阵对应关系.定理2 设阶方阵，若的每一行（列）所有元素之和均为常数，则的伴随矩阵的每一行（列）所有元素之和也相等。证明：设，现在假设它们的列相等为，如下分两种情况来讨论值时，是否成立。 第一对行列式；第二把所有的非列加到列上；再按列

23、展开得.假设，有.假设，有所以有取列行的伴随矩阵得把所有除了第一列加到第一列，化简得第一列置换第二列，再把第二列置换第三列，如此类推一直到列置换列得到即是求得即证得同理可以证得列也是成立的，综上所述，定理得证。2.32行（列）之和相等原矩阵与伴随矩阵对应关系的一个应用定理3若阶方阵可逆，且的每一行（列）所有元素之和均为常数，则每一行（列）所有元素之和为相同的常数且.证：因为可逆，所以，即是的每一行（列）所有元素之和不可能均为常数，否者这将与可逆矛盾，即是.由于可逆，所以既有可以化简成根据定理2，可知道所以即证得行之和是成立的.同理本人可以证得列之和也是成立的，即得证2.33两行（列）对应元素相

24、等的原矩阵与伴随矩阵对应关系.定理4若阶方阵，中的有两行（列）所对应的元素相等，则所对应中的两列（行）所对应的元素相等。证：现在我们假设中的第列和第列所对应的元素全部相等，既有对应的现在我们来证求证得，即所对应的行元素相等。同理所对应的行元素想的时候，则中的两列所对应的元素相等综上所述，得证注：这里所说的是的行对应于的列，而列对应行。2.34两行（列）对应元素等比的一个推论.推论1若阶方阵，中的有两行（列）所对应的元素它们比相等，则所对应中的两列（行）所对应的元素它们比也相等。2.4伴随矩阵的证明.这是关于伴随矩阵的证明及其它证明的应用，这比较的特殊，因为关于证明的题目没有公式，只能对知识的深

25、入的学习、理解的基础上才能更好的灵活运用，通过对知识点的探究，我们可以更好的学习，证明当然包裹本身，也存在于应用之中。对于一条证明题往往存在这技巧性，这些技巧和我们学习内容的性质是有关系的，只有对性质的记忆和理解才能发挥这些性质的作用。因此证明题就是伴随矩阵的一部分重要的内容，更是体现了伴随矩阵的应用。通过证明我们可以更好的充实我们的学习能容和巩固学习知识。2.41关于性质2.122中的另一种证明.求证证明：由于，因此，所以当时，.当时，则，因为，则，因为为阶方阵，所以，得证.综上所述，本题得证2.42性质2.123的另一种证明.求证证明：2.43性质2.123的证明.求证，.证明：，即.既2

26、.5伴随矩阵转化的应用.伴随矩阵的应用充分的展示了伴随矩阵的知识，体现了伴随矩阵的重要性，这是不可缺少的一部分内容，通过伴随矩阵来求其它的矩阵，是根据伴随矩阵的定义与基本性质出发的，因此只有掌握伴随矩阵的知识才能更好的应用。可以充分的展现出伴随矩阵的联系性，通过这一节内容，深刻的探讨、分析及应用。2.51知伴随矩阵求原矩阵与原矩阵的逆，条件是伴随矩阵可逆。如果其中可逆且存在，现在来求与.根据题意我们可以求得的值，假设，我们知道的逆是存在的，因为满秩，根据我们可求得的值且不为0，那么根据来求得。对于，因为，则可以求得。 例7已知现在来求与.解：我们求得，即是所以即是2.52知伴随矩阵求相关矩阵.

27、例8设矩阵的伴随矩阵，且，其中为4阶单位矩阵，求矩阵.解：由于推出即是又给等式右乘得，再左乘得于是有即是而为可逆矩阵，于是。由，求得故求得2.53应用伴随求其它矩阵.例9已知三阶的逆矩阵为是求伴随矩阵的逆矩阵.解：由于，所以这里因为由于可逆有求得， 伴随矩阵的内容及其丰富，本人认为我们可以更加广泛的研究它，我们可以在伴随矩阵的特殊计算中更加深入的探讨，把行列式的计算运用其中，通过这样更加深入的研究，下面我们就开始更加深入的学习.第三章伴随矩阵的探讨及推广这是本人这次论文的重点之一，它根据高等代数的内容出发，是一种具有技巧性的探讨，我们在行列式的计算中，经常会遇到好几种特殊行列式，这些行列式是有

28、规则的，他们有两行型的、有箭爪型的、有三对角型的、还有 hessenberg 型的。另外还有一些更加特殊的情形，现在我们根据这些情形进行有目的的探讨，也就是伴随矩阵的推广，从而是伴随矩阵的内容更加的丰富，培养辩证内力，使学习效率进一步的提高，提高数学思想。因为伴随矩阵中的余子式原本就是一个行列式加符号而已，相当于我们可以办伴随矩阵的元素求出来，在此时这些矩阵的特殊情形，我们就可以应用到伴随矩阵的元素计算中来，当然这些计算存在一定的规律，所以并不需要把每个元素意义求一遍，这也算是，班行列式推向伴随矩阵，是伴随矩阵得到更大的推广。我们先假设.3.1两条线型矩阵求伴随矩阵.两条型的伴随矩阵又有好几种

29、，本人按照行列式计算中把他们分成五种类型，但在这五种类型中，又有几类仅是转至了一下，所以用同一种方法也可以同样的求出，所以我把这五类分成两大类，3.11第一大类.， 现在我们仅对这大类中的一个矩阵进行求伴随矩阵即可，求解如下对于伴随矩阵，求伴随矩阵.解：我们按伴随矩阵的定义，只要求出伴随矩阵中的元素即可，在这里本人设是的第行第列的元素，所以我们只要求出代数余子式即可。下面求：我们从的第1列开始，对应的第一行，同理从第1列的第2个一直到第n-1个，我们可以发现一个规律从第n行到第2个到第n个有除第1列和第n行以外的所有代数余子式.设当时，则当时，即是这是第一大类的求解，同样的道理我们可以求出：，

30、的伴随矩阵.3.12第二大类型.交叉式2n阶矩阵，求伴随矩阵.解：现在我们先求求得：设是的第行第列的元素，所以我们只要求出代数余子式即可。下面求：分五种情况.下面对这五种情况求解：第一种情况是当且，则 第二种情况是当且，则同上理得第三种情况是且，则同上理得第四种情况是且，则同上理得第五种情况是，3.2对n阶箭型矩阵求伴随矩阵.对于n阶箭型的伴随矩阵可有四种类型，在这四种类型中只要求一种便行，因为剩下的三种可以同理得出，下面就是所说的四种类型，它们的共同特点就是.现在来求的伴随矩阵.其中.3.21第一种方法.解：利用求代数余子式的方式来求解，其中分三种情况来讨论.当时，有，当时，有当时，有当取第

31、1行或者第1列时有取第1行的代数余子式时候，有.取第1列的代数余子式时候，有.当取时，得当取除第1行和第1列和剩下的所有代数余子式.这又分两种情况，或者时，则时，有，同理求得 剩下的代数余子式.，当时，有上面为所求那么对于其它的情形的时候也可以同理求得.3.22第二种方法.条件是当矩阵可逆时当时，有，所以当时，有首先，求得，现在求.否者矩阵不可逆 那么我们可以求得.注，在求逆矩阵的时候，使用的是初等航变化，所以不能实施列变换，那样是错误的，只能实施行变换。3.3三对角n阶矩阵求伴随矩阵.条件是与称为三对角矩阵.现在来求他们的伴随矩阵，这两个矩阵是同一种类型的，因此只需求一个矩阵的伴随矩阵即可，另一个矩阵可以同理求它的伴随矩阵. 解：求得伴随矩阵.令，那么按第一行展开有，令，那么，即是的解，现在分两种情况，由于我们在高等代数矩阵求解中都是以非复数为准，的解有两种情况，要么两个都是非复数，要么至少有一个是复数，在这我们不讨论复数的情况，如果需要的话，我们同样可以根据复数来求解。对于为解的方程时，有或者都是方程成成立，所以是已知数，那么我们下面求：首先我们求得 即是 即是求得了，也即是我们用同样的方法可以求得现在我们来求伴随矩阵.按展开的方法求伴随矩阵我们有如下：.当时，有，；时，有，.当时，有按照第1列和第1行和第n列和第n行展开有当时，我们有当时，我们有同理我们可以求