浙江省湖州市2013届高三数学二模试题 理（含解析）新人教A版

1、2013年浙江省湖州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设全集U=R，集合A=x|2xx20，集合B=y|y=ex+1，则AB（）Ax|1x2Bx|x2Cx|x1Dx|1x2考点：交集及其运算专题：计算题分析：求出集合A中一元二次不等式的解集，确定出集合A，根据ex大于0，得出集合B中函数的值域，确定出集合B，找出两集合的公共部分，即可确定出两集合的交集解答：解：由集合A中的不等式2xx20，变形得：x（x2）0，解得：0x2，集合A=x|0x2，由ex0，得到集合B中的函数y=ex+11，集

2、合B=y|y1，则AB=x|1x2故选D点评：此题属于以一元二次不等式及指数函数的值域为平台，考查了交集及其运算，是高考中常考的基本题型2（5分）（2012安徽模拟）复数表示复平面内的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，即可推出结果解答：解：=，故它所表示复平面内的点是故选A点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义，考查计算能力3（5分）（2013潍坊一模）已知直线l平面，直线m平面，则“”是“lm”的（）A充分不必要条件

3、B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：常规题型分析：已知直线l平面，根据线面垂直和面面平行的性质进行判断；解答：解：已知直线l平面，直线m平面，若可得l，“lm若lm，则l不一定垂直，与不一定平行；”是“lm”的充分不必要条件，故选A点评：此题本题空间几何体为载体，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，还考查了线面垂直和面面平行的性质；4（5分）设Sn为等比数列an的前n项和，若8a2a5=0，则=（）A8B5C8D15考点：等比数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：利用等比数列an中，8a2a5=0，求出公比，再利用数列的求和

4、公式，即可得到结论解答：解：等比数列an中，8a2a5=0，公比q=2=5故选B点评：本题考查等比数列的定义，考查等比数列的求和，考查学生的计算能力，属于基础题5（5分）（2013温州一模）将函数y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（）Ay=cos2x+sin2xBy=cos2xsin2xCy=sin2xcos2xDy=cosxsinx考点：函数y=Asin（x+）的图象变换专题：计算题分析：根据x以向右取正，以向左为负，所以它向右平移是加，用x+替换原式中的x即得解答：解：由题意得，用x+替换原式中的x，有：y=sin2（x+）+cos2（x+）=cos2xsi

5、n2x故选B点评：本题考查了三角函数的图象变换，三角函数的图象变换包括三种变换，我们分别把三种变换分别称为振幅变换、伸缩变换、平移变换6（5分）（2013丽水一模）某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是（）A10B12C100D102考点：程序框图专题：图表型分析：根据程序框图得S=0+2=2，i=21+1=3，依此类推，一旦不满足判断框的条件就退出循环体，执行输出语句即可解答：解：S=0+2=2，i=21+1=3，S=2+2=4，i=23+1=7，S=4+2=6，i=27+1=15，S=6+2=8，i=215+1=31，S=8+2=10，i=231+1=63，S=10+2=12，i=2

6、63+1=127，由于127100，退出循环，输出S=12故输出的S的值为12故选B点评：本题主要考查了循环结构的当型循环，同时考查了程序框图的应用，属于基础题7（5分）（2011石家庄二模）直线3x4y+4=0与抛物线x2=4y和圆x2+（y1）2=1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为（）A16B4CD考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：计算题分析：由已知圆的方程为x2+（y1）2=1，抛物线x2=4y的焦点为（0，1），直线3x4y+4=0过（0，1）点，则|AB|+|CD|=|AD|2，因为 ，有4y217y+4=0，由此能够推导出解答：解：由已知圆的方程为x2+（y1）2=1

7、，抛物线x2=4y的焦点为（0，1），直线3x4y+4=0过（0，1）点，则|AB|+|CD|=|AD|2，因为，有4y217y+4=0，设A（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=，则有|AD|=（y1+y2）+2=，故=，故选C点评：本题考查圆锥曲线和直线 的综合运用，解题时要注意合理地进行等价转化8（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，且x0时，f（x）=（）x，则函数F（x）=f（x）sinx在，上的零点个数为（）A2B3C4D5考点：正弦函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；正弦函数的奇偶性专题：三角函数的图像与性质分析：根据奇函数的性质求得函数f（x）的解析式，本题即求

8、函数f（x）的图象与函数y=sinx的图象在，上的交点个数，数形结合可得结论解答：解：由于f（x）为定义在R上的奇函数，且x0时，f（x）=（）x 则当x0时，x0，f（x）=2x=f（x），f（x）=2xf（x）=则函数F（x）=f（x）sinx在，上的零点个数，就是函数f（x）的图象与函数y=sinx的图象在，上的交点个数，如图所示：结合图象可得，函数f（x）的图象与函数y=sinx的图象在，上的交点个数为 5，故选 D点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，求函数的解析式，奇函数的性质，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于中档题9（5分）已知A，B，P是双曲线=1上不同的三点，且

9、A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPAkPB=3，则双曲线的离心率为（）ABC2D考点：双曲线的简单性质；直线的斜率专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设出点点的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合kPAkPB=3，即可求得结论解答：解：由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（x1，y1）kPAkPB=，两式相减可得kPAkPB=3，e=2故选C点评：本题考查双曲线的方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题10（5分）（2013沈阳二模）定义在（0，）上的函数f（x），f（x）是它的导函数，且恒有f（x）f（x）tanx成立，则（）ABCD

10、考点：导数的运算专题：计算题；导数的综合应用分析：把给出的等式变形得到f（x）sinxf（x）cosx0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则，整理后即可得到答案解答：解：因为x（0，），所以sinx0，cosx0由f（x）f（x）tanx，得f（x）cosxf（x）sinx即f（x）sinxf（x）cosx0令g（x）=x（0，），则所以函数g（x）=在x（0，）上为增函数，则，即，所以，即故选D点评：本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.）

11、11（4分）二项式（x）7的展开式中，x3的系数为84（用数字作答）考点：二项式定理专题：计算题分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项解答：解：二项式（x）7的展开式中，通项公式为 Tr+1=x7r（2）rxr=x72r，令72r=3，解得 r=2，故x3的系数为 =84，故答案为 84点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题12（4分）已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：根据三视图画出几何体的直观图，判断数据所对应的量，代入体积公式求解即可解答

12、：解：几何体的直观图为：几何体可看做一个三棱柱消去一个三棱锥，V=V三棱柱V三棱锥=2=故答案是点评：本题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断三视图的数据所对应的量13（4分）（2013嘉兴一模）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值是5考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x+y中，求出2x+y的最小值解答：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图可知，当x=1，y=3时，2x+y有最小值5故答案为：5点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤

13、为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解14（4分）（2013沈阳二模）将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有112种放法（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题专题：常规题型分析：7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有2、5和3、4两种数字组合，其中一个笔筒2个另一笔筒5个，有种放法，一个笔筒3个另一笔筒4个，有种放法，两种组合的分法加起来，即可得解解答：解：7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有2、5和3、4两种数字组合，一个笔筒2个另一笔筒5个，有种放法，一个

14、笔筒3个另一笔筒4个，有种放法，答：将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有+=112种放法；故答案为：112点评：本题考查排列组合及简单计数问题，考查分类计数原理，属于基础题15（4分）已知数列an满足a1=1，（nN*），则数列an的通项公式为考点：数列的概念及简单表示法专题：等差数列与等比数列分析：根据数列递推式，变形可得数列是以=为首项，以1为公差的等差数列，由此可得结论解答：解：由题意，可以得到（2n+5）an+1（2n+7）an=（2n+5）（2n+7），即，所以数列是以=为首项，以1为公差的等差数列则有=+（n1）1，所以故答案为：点评：本题考查数列递推

15、式，考查等差数列的判定，考查学生的计算能力，属于基础题16（4分）（2010江苏）已知函数，则满足不等式f（1x2）f（2x）的x的范围是（1，1）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法专题：压轴题分析：由题意f（x）在0，+）上是增函数，而x0时，f（x）=1，故满足不等式f（1x2）f（2x）的x需满足，解出x即可解答：解：由题意，可得故答案为：点评：本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力17（4分）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面

16、上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是0，2考点：平面向量数量积的运算；棱柱的结构特征专题：计算题；平面向量及应用分析：根据题意，可设M、N分别是内切球在正方体左、右侧面的切点，运动点P并加以观察，可得当P与正方体的某个顶点重合时，达到最大值；当P与正方体某个面的中心重合时，达到最小值由此结合数量积的计算公式，即可得到数量积的取值范围解答：解：根据题意，MN是正方体内切球的最大弦长MN是内切球的直径设M、N分别是内切球在正方体左、右侧面的切点，如图当P在正方体表面运动，它与正方体的某个顶点重合时，达到最大值以C1点为例，此时=cosMC1N=2=（）2=2；当点P与正方体某个面的中心重合

17、时，达到最小值此时，得=0综上所述，得数量积的取值范围为0，2故答案为：0，2点评：本题给出正方体的内切球，求一个数量积的取值范围着重考查了平面向量数量积的运算和正方体的性质等知识，属于基础题三、解答题（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18（14分）在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且满足A+C=3B，cos（B+C）=（）求sinC的值；（）若a=5，求ABC的面积考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用专题：解三角形分析：（）先确定B，再将C表示成，利用差角的正弦公式，可求sinC的值；（）先求sinA，再利用正弦定理求出b，c，

18、即可求ABC的面积解答：解：（）由，（1分）所以，（2分）因为，（4分）所以=（7分）（）由已知得，（8分）因为，所以由正弦定理得，解得（12分）所以ABC的面积（14分）点评：本题考查差角的正弦公式，考查直线定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题19（14分）（2011天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（）求在2

19、次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列专题：计算题；综合题分析：（I）（i）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，事件数是C52C32，摸出3个白球事件数为C32C21C21；由古典概型公式，代入数据得到结果，（ii）获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据（i）求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果（II）连在2次游戏中获奖次数X的取值是

20、0、1、2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望解答：解：（）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai（i=，0，1，2，3），则P（A3）=，（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2A3，又P（A2）=，且A2、A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=；（）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2P（X=0）=（1）2=，P（X=1）=C21（1）=，P（X=2）=（）2=，所以X的分布列是X的数学期望E（X）=0点评：此题是个中档题本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识

21、解决实际问题的能力20（14分）如图，一个正ABC和一个平行四边形ABDE在同一个平面内，其中AB=8，BD=AD=，AB，DE的中点分别为F，G现沿直线AB将ABC翻折成ABC，使二面角CABD为120，设CE中点为H（）（i）求证：平面CDF平面AGH；（ii）求异面直线AB与CE所成角的正切值；（）求二面角CDEF的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定专题：空间角；空间向量及应用分析：解法一：（）（i）先证明FD平面AGH，CD平面AGH，再利用面面平行的判定定理，即可证明平面CDF平面AGH；（ii）确定CED或其补角即为异面直线AB与CE所

22、成的角，再用余弦定理，即可求异面直线AB与CE所成角的正切值；（）确定CDF即为二面角CDEF的平面角，再用余弦定理求二面角CDEF的余弦值解法二：（）（i）同解法一；（ii）建立空间直角坐标系，确定的坐标，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AB与CE所成角的正切值；（）确定平面CDE、平面DEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角CDEF的余弦值解答：解法一：（） （i）证明：连FD因为ABDE为平行四边形，F、G分别为AB、DE中点，所以FDGA为平行四边形，所以FDAG（1分）又H、G分别为CE、DE的中点，所以HGCD（2分）因为FD、CD平面AGH，AG、HG平面AGH，所以F

23、D平面AGH，CD平面AGH，而FD、CD平面CDF，所以平面CDF平面AGH（4分）（ii）解：因为DEAB，所以CED或其补角即为异面直线AB与CE所成的角（5分）因为ABC为正三角形，BD=AD，F为AB中点，所以ABCF，ABDF，从而AB平面CFD，而DEAB，所以DE平面CFD，因为CD平面CFD，所以DECD（7分）由条件易得，又CFD为二面角CABD的平面角，所以CFD=120，所以，所以（9分）（） 解：由（）的（ii）知DE平面CFD，即CDDE，FDDE，所以CDF即为二面角CDEF的平面角（12分）所以（14分）解法二：（） （i）同解法一；（ii） 因为ABC为正三角

24、形，BD=AD，F为AB中点，所以ABCF，ABDF，从而CFD为二面角CABD的平面角且AB平面CFD，而AB平面ABDE，所以平面CFD平面ABDE作CO平面ABDE于O，则O在直线DF上，又由二面角CABD的平面角为CFD=120，故O在线段DF的延长线上由得（6分）以F为原点，FA、FD、FZ为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，则由上述及已知条件得各点坐标为A（0，4，0），B（0，4，0），所以，（8分）所以异面直线AB与CE所成角的余弦值为，从而其正切值为（10分）（）由（）的（ii）知，设平面CDE的法向量为=（x，y，z），则由，得令，得=（12分）又平面DEF的一个法向量

25、为=（0，0，1），而二面角CDEF为锐二面角，所以二面角CDEF的余弦为（14分）点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21（15分）已知椭圆C：=1（a）的右焦点F在圆D：（x2）2+y2=1上，直线l：x=my+3（m0）交椭圆于M，N两点（）求椭圆C的方程；（）设点N关于x轴的对称点为N1，且直线N1M与x轴交于点P，试问PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（I）由圆D：（x2）2+y2=1，令y=0

26、，解得圆D与x轴交与两点（3，0），（1，0）在椭圆中c=3或c=1，又b2=3，得到a2=12或a2=4（舍去，因为）即可得到椭圆的方程（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），则N1（x2，y2）直线l的方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，对于直线N1M的方程，令y=0，即可得到点P的坐标；解法一：利用三角形的面积计算公式，把根与系数的关系代入，再利用基本不等式的性质即可得出m的取值与三角形PMN的最大值解法二：利用弦长公式=，及点P到直线l的距离公式求出点P到直线MN的距离d，再利用二次函数的单调性即可得出解答：解：（）由题设知，圆D：（x2）2+y2=1，令y=0，解得圆D与x轴交与两点（3，0），（1，0）所以，在椭圆中c=3或c=1，又b2=3，所以，a2=12或a2=4（舍去，因为）于是，椭圆C的方程为（）设M（x1，y1），N（x2，y2），则N1（x2，y2）联立方程（m2+4）y2+6my3=0，所以，因为直线N1M的方程为，令y=0，则=，所以得点P（4，0）解法一：=当且仅当m2+1=3即时等号成立故PMN的面积存在最大值1（或：令，则当且仅当时等号成立，此时m2=2故PMN的面积存在最大值为1解法