解题教学与思维品质的培养

1、解题教学与思维品质的培养湖南省衡东县第五中学 罗江英解题教学是数学教学中一个极其重要的环节，它既能帮助学生全面的深刻的理解和掌握基础知识和方法，领会数学思想。更重要的是能够培养学生的思维品质，从而真正提高学生分析问题解决问题的能力。一一题多解，培养思维的广阔性思维的广阔性表现在多方面，多角度地思考问题，善于发现事物多方面的联系，找出多种解决问题的方法。在教学中，教师可多设计一些问题，引导学生在所学的知识范围内尽可能提出不同的构想不同的解法。例1 已知f（x）=, a、b为相异的实数求证a-b思路1：按证明绝对值不等式的常规方法，经过平方去绝对值符号后利用作差法比较，通过配方判定符号得以证明。思

2、路2：利用作商比较法，通过分子有理化，再用放缩法原理证明之思路3：注意到函数f(x)= 的结构特征，作三角代换：令x=tan,转化为三角不等式证明思路4：考虑方程y=表示双曲线y2-x2=1的上支。而是表示该双曲线上两点a,f(a)与b,f(b)的连线的斜率的绝对值。于是问题可化为双曲线上任一条弦所在直线的斜率的范围问题，而双曲线y2-x2=1的渐近线的斜率为±1.问题即可得证思路5：考察表达式=可视为P(x.1)到O(0,0)的距离，当ab时，P1(a,1), P2(b,1)和原点O(0,0)确定的三角形O P1 P2中任意一边大于其余两边之差，即可得证。思路6：观察函数f(x)=

3、 的特点，联想到复数的模，可构造复数z=1+xi，利用复数的三角不等式进行证明。类似上述这种一题多解的训练，能沟通代数、几何、三角等知识之间的联系，对培养学生思维的广阔性是十分有益的。二、一题多变，培养思维的深刻性思维的深刻性表现在能深入钻研与思考问题，善于从复杂的事物中去把握它的本质，真正领会解决问题的数学思想和方法。一题多变是指变换问题的条件或结论，深入探讨问题，有利于培养思维的深刻性。例2 设A1、A2是圆x2+y2=a2的一条直径的两个端点，P1 P2是与A1A2垂直的弦，求直线A1 P1与A2 P2的交点的轨迹方程。学生可用多种方法求出轨迹方程x2-y2=a2。在教学中，可将上题的条

4、件分别改为“设A1、A2是椭圆+=1长轴上的两个顶点”或 “设A1、A2是双曲线=1实轴上的两个顶点”，引导学生继续探索其轨迹方程。例3 已知圆的方程是 x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0，y0)的方程学生利用“圆的切线垂直于过切点的半径”这一性质，很容易求出切线方程是x0x+y0y=r2.同样在教学中可将此题变换成如下的问题让学生深入思考变题1：如果 M(x0，y0)是圆x2+y2=r2内异于圆心的一点，试判断直线x0x+y0y=r2与圆的位置关系。变题2：如果 M(x0，y0)是圆x2+y2=r2外的一点，试判断直线x0x+y0y=r2与圆的位置关系。三、注重开放题的教学，培养思维的

5、独创性思维的独创性表现在能独立地提出问题，发现问题，分析问题和解决问题，勇于创新，敢于突破常规的思考方法和模式，主动提出新的见解和方法。开放题可充分激发学生的创新潜能，在开放题的教学中，选用的问题既要有一定的难度，又要被大多数学生接受；既要隐含“创新”因素，又要留有让学生可以从不同角度、不同层次充分施展聪明才智的余地。例4 直线y=3x+m与抛物线y=x2相交于A、B两点，-，求直线AB的方程。你能对横线处补充一个恰当的条件，使直线方程得以确定吗？此题一出，学生的思维便很活跃，补充上的条件也是形形色色，百花齐放： =；OAOB；线段AB被Y轴平分；线段AB的中点到Y轴的距离最短等等。学生畅所欲言，涉及到的知识有韦达定理、弦长公式、中点